Grundlagen der höheren Informatik: Induktives Vorgehen
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Berlin [u.a.]
Springer Vieweg
2014
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung. 1
1.1 Illustrative Beispiele und typische Probleme. 3
1.2 Das Zusammenspiel von Syntax und Semantik. 9
1.3 Denken in Strukturen: Ein lernpragmatischer Zugang. 12
1.4 Lernziele des ersten Bandes. 14
2 Aussagen und Mengen. 15
2.1 Aussagen. 15
2.1.1 Aussagenlogik . 18
2.1.2 Prädikatenlogik. 23
2.1.3 Logische Beweisprinzipien. 28
2.2 Mengen. 30
2.2.1 Mengenbeziehungen. 31
2.2.2 Potenzmengen. 32
2.2.3 Mengenverknüpfungen. 33
2.2.4 Mächtigkeit endlicher Mengen. 36
2.3 Weiterführende Betrachtungen. 37
2.3.1 Aussagenlogik . 38
2.3.2 Axiomatisches Beweisen. 39
2.3.3 Algebraisches Denken. 41
2.3.4 Korrektheit und Vollständigkeit. 42
2.3.5 Antinomien. 43
2.4 Lernziele. 44
2.5 Aufgaben. 45
3 Relationen und Funktionen . 47
3.1 Relationen. 47
3.1.1 Kartesisches Produkt. 47
3.1.2
/î-stellige
Relationen . 49
3.1.3 Binäre Relationen. 50
3.2 Funktionen. 52
XXIII
xxiv Inhaltsverzeichnis
3.2.1 Eigenschaften von Funktionen. 54
3.2.2 Erhaltungseigenschaften. 58
3.2.3 Mächtigkeit unendlicher Mengen. 59
3.2.4 Partiell definierte Funktionen. 68
3.3 Äquivalenzrelationen. 69
3.3.1 Partitionen. 70
3.4 Weiterführende Betrachtungen. 73
3.4.1 Endliche Bitvektoren. 73
3.4.2 Grenzen der Abzählbarkeit/Berechenbarkeit. 74
3.4.3 Hüllen, Abschlüsse, Vervollständigungen. 75
3.4.4 Äquivalenzrelationen in der objektorientierten
Programmierung. 77
3.4.5 Rechnen mit Kardinalzahlen. 78
3.5 Lernziele. 79
3.6 Aufgaben. 80
4 Induktives Definieren. 83
4.1 Natürliche Zahlen. 84
4.1.1 Peano-Axiome. 84
4.1.2 Operationen auf natürlichen Zahlen. 86
4.1.3 Induktiv definierte Algorithmen. 88
4.2 Induktiv definierte Mengen. 92
4.2.1 Anwendung in der Informatik. 93
4.3 Darstellung und Bedeutung. 96
4.3.1 Zeichenreihen. 97
4.3.2 Semantikschemata. 98
4.3.3 Backus-Naur-Form.101
4.4 Induktive Semantikschemata.104
4.5 Weiterführende Betrachtungen.107
4.5.1 Notationen und Standards.107
4.5.2 Lineare Listen in funktionalen Programmiersprachen.108
4.5.3 Eindeutigkeit der Darstellung.109
4.5.4 BNF ist nicht gleich BNF.111
4.6 Lernziele.112
4.7 Aufgaben.113
5 Induktives Beweisen.115
5.1 Ordnungsrelationen.115
5.1.1 Partielle Ordnungen.116
5.1.2 Quasiordnungen.118
5.1.3 Totale Ordnungen.119
5.1.4 Striktordnungen.119
5.2 Ordnungen und Teilstrukturen.121
5.3 Noethersche Induktion.122
5.3.1 Terminierungsbeweise.126
Inhaltsverzeichnis xxv
5.4 Verallgemeinerte Induktion.129
5.5 Strukturelle Induktion.130
5.6 Vollständige Induktion.133
5.7 Weiterführende Betrachtungen.136
5.7.1 Verschärfung der Induktions voraus Setzung. 137
5.7.2 Anwendung: Das Substitutionslemma. 138
5.7.3 Formale Korrektheitsbeweise. 141
5.7.4 BNF-basierte Induktion. 144
5.7.5 Weitere Formen von Induktionsbeweisen. 147
5.8 Lernziele. 150
5.9 Aufgaben. 150
6 Induktives Vorgehen: Potential und Grenzen. 153
6.1 Potential. 153
6.2 Grenzen. 155
6.3 Pragmatik. 156
Literaturverzeichnis.159
Lösungen der Aufgaben.161
Sachverzeichnis.177
Grundlagen der höheren Informatik
Die auf drei Bände angelegte Reihe mit prüfungsrelevanten Aufgaben und Lösungen erläutert grundlegende
Mathematik-bezogene Methoden der Informatik. Der vorliegende erste Band „Induktives Vorgehen" intoniert
das durch das Zusammenspiel von Struktur, Invarianz und Abstraktion geprägte Leitthema der
Trilogie
zu den
Grundlagen der Höheren fnformatik. Die beide Folgebände,.Algebraisches Denken" und,, Perfektes Modellie¬
ren" greifen dieses Thema dann variierend und in immer komplexer werdenden Zusammenhängen vertiefend
auf. Wie beim
Boléro
von Ravel, wo die gleiche Melodie von immer mehr Musikern mit immer mehr Instru¬
menten gespielt wird, soll dies dazu führen,
dass
der Leser das Leitthema derart verinnerlicht,
dass
er es
selbst an ungewohnter Stelle wiedererkennen und eigenständig auf neue Szenarien übertragen kann. Damit
hat er beste Voraussetzungen für das weitere Informatikstudium und eine erfolgreiche berufliche Zukunft,
sei es in Wissenschaft, Management oder Industrie.
„Interesse entfachen, zum Nachdenken anregen, Querbezüge andeuten. Das schafft dieses Einstiegswerk für
angehende Informatiker hervorragend. Damit geht es über die reine Wissensvermittlung hinaus und fördert
die Ausbildung von echten Kompetenzen im Umgang mit dem Erlernten, Grundlagen der höheren Informatik
bereitet so ideal auf die späteren Herausforderungeivim Informatikstudium vor/1
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