Höhere Analysis durch Anwendungen lernen: für Studierende der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften
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Wiesbaden
Springer Spektrum
2014
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INHALTSVERZEICHNIS
1 RIEMANN-INTEGRALE 1
1.1 EIGENTLICHE UND UNEIGENTLICHE RIEMANN-INTEGRALE 1
1.2 AUTGABEN 7
DIE INTEGRATION WICHTIGER SPRUNGFUNKTIONEN 7
EIGENTLICHE UND UNEIGENTLICHE RIEMANN-INTEGRALE 8
NULLMENGEN UND RIEMANN-INTEGRAL 14
DER WALLISSCHE PRODUKTSATZ FUER
N/2
15
DIE EULERSCHE SUMMENFORMEL. TEIL I 17
BERNOULLI-ZAHLEN 18
DIE EULERSCHE SUMMENFORMEL, TEIL II 21
DIE SLIRLINGSCHE FORMEL 23
2 DOPPELINTEGRALE 25
2.1 DOPPELINTEGRALE UEBER EINEM NORMALBEREICH 25
2.2 AUFGABEN : 30
GEBIETE IM K
2
30
KONSTANTE FUNKTIONEN AUF GEBIETEN 32
DOPPELINTEGRALE 33
GEWICHTSMITTELPUNKT EINES EBENEN GEBIETES 34
3 WEGINTEGRALE 37
3.1 WEGINIEGRALE, DER GAUSSSCHE INIEGRALSATZ DER EBENE 37
3.2 AUFGABEN 43
DAS WEGINTEGRAL IN EINEM GRADIENTENFELD 43
DER GAUSSSCHE INTEGRALSATZ DER EBENE 44
DIE INTEGRALE FORM EINER ERHALTUNGSGLEICHUNG 46
HYPERBELFUNKTIONEN 48
DAS MAGNETFELD EINES STROMDURCHFLOSSENEN LEITERS 49
VII
HTTP://D-NB.INFO/1034502247
VIII INHALTSVERZEICHNIS
4 LEBESGUE-INTEGRALE 53
4.1 GRUNDLAGEN DER LEBESGUESCHEN INTEGRATIONSTHEORIE 53
4.2 AUFGABEN 65
LEBESGUE-INTEGRALE 65
ABSOLUTE INTEGRIERBARKEIT UND DREIECKSUNGLEICHUNG 65
SAETZE VON B. LEVI UND H. L. LEBESGUE FUER REIHEN 66
KONVERGENZ GEGEN EIN DIRACSCHES PUENKLMASS 67
INTEGRATION MITTELS KUGELKOORDINATEN .: 68
DIE GAUSSSCHE NORMALVERTEILUNG ! 69
DIE GAMMA- UND DIE ZETA-FUNKTION 73
EULER-MASCHERONISCHE KONSTANTE
Y
76
ALLGEMEINES GAUSSSCHES FEHLERINTEGRAL 79
BESTIMMUNG DER ELLIPSENFLAECHE 81
KOVARIANZMATRIX ZUR N-DIMENSIONALEN GAUSSSCHEN VERTEILUNG . 82
WICHTIGE INTEGRALE IN DER FOURIER-ANALYSIS UND OPTIK 83
EIN FALSCHER GEBRAUCH DES SATZES VON FUBINI 87
5 OBERFLAECHENINTEGRALE
T
89
5.1 OBERFLAECHENINTEGRALE, INTEGRALSAETZE VON GAUSS UND STOKES 89
5.2 DAS POINCARESCHE KREISMODELL DER HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE 101
5.3 TRANSFORMATION DES METRIKTENSORS OHNE FLAECHENEINBETTUNG 105
5.4 AUFGABEN 107
DAS VOLUMEN DER -DIMENSIONALEN EINHEITSKUGEL 107
INTEGRATION ROTATIONSSYMMETRISCHER FUNKTIONEN 110
OBERFLAECHE UND VOLUMEN EINES ROTATIONSKOERPERS 113
EULERSCHES BETAINTEGRAL NACHJACOBI 116
DER GAUSSSCHE INTEGRALSATZ FUER QUADER 118
ANWENDUNGEN DES GAUSSSCHEN SALMS IM R
3
119
ANWENDUNG DES STOKESSCHEN INTEGRALSATZES 122
EINE METRIK FUER DAS POINCARESCHE KREISMODELL 123
6 FOURIER-REIHEN 127
6.1 DIE THEORIE DER FOURIER-REIHEN 127
6.2 AUFGABEN 144
FOURIER-ENTWICKLUNG DER FUNKTIONEN
SS*
144
WELLENGLEICHRICHTER 147
WAERINELEITUNG 149
EINDEUTIGKEITSSATZ FUER FOURIER-REIHEN 156
ABKLINGVERHALTEN FUER FOURIER-REIHEN GLATTER FUNKTIONEN 157
PARTIALBRUCHZERLEGUNG DER COTANGENS-FUNKTION 158
DAS EULERSCHE SINUSPRODUKT 159
GIBBS-PHAENOMEN 160
INHALTSVERZEICHNIS IX
7 FOURIER-TRANSFORMATION 163
7.1 * Z.,,-RAEUME UND
CLIE THEORIE DER FOURIER-TRANSFORMATION 163
7.2 AUFGABEN 179
L,,-FUNKTIONEN AUF BESCHRAENKTEM GEBIET 179
LP-FUNKTIONEN AUF DEM K" 179
RECHENREGELN FUER FOURIER-TRANSFORMIERTE 180
FOURIER-TRANSFORMIERTE VOM RECHTECK- UND DREIECKSFENSTER . 183
DAS DREIECKS FENSTER UND SEINE FOURIER-TRANSFORMIERTE 185
HERMIIE-POLYNOME UND HARMONISCHER OSZILLATOR 188
DIE UNSCHARFE DES HARMONISCHEN OSZILLATORS .* 197
DER HARMONISCHE OSZILLATOR MIT PHYSIKALISCHEN MASSEINHEITEN . 201
8 GRUNDLAGEN DER FUNKTIONENTHEORIE 203
8.1 AUFGABENSTELLUNG UND GRUNDLAGEN DER FUNKTIONENTHEORIE 203
8.2 HOLOMORPHE FUNKTIONEN 204
8.3 KURVENINTEGRALE 214
8.4 MOEBIUS-TRANSFORMATIONEN (GEBROCHEN RARIONALE ABBILDUNGEN) 230
8.5 DER RIEMANNSCHE ABBILDUNGSSATZ 237
8.6 AUFGABEN 242
CAUCHY-RIEMANNSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 242
VERKETTUNG HARMONISCHER MIT HOLOMORPHEN FUNKTIONEN 246
DIE HOLOMORPHE ERGAENZUNG EINER HARMONISCHEN FUNKTION 247
KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTIONEN 249
KOMPLEXE ARCUS-TANGENS-FUNKTIONEN 253
INTEGRALDARSTELLUNG DER HERMITE-POLYNOINE I 255
FRESNELSCHE INTEGRALE. CAUCHYSCHER INTEGRALSATZ 256
DII ICHLET-INTEGRAL UND CAUCHYSCHER INTEGRALSATZ 258
VON DER POISSON-FORMEL ZUM FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA . 261
DER KONVERGENZRADIUS DER BERNOULLISCHEN POTENZREIHE 265
INTEGRALDARSTELLUNG DER LOGARITHMUSFUNKTION 266
DAS MAXIMUMPRINZIP 269
SCHWARZSCHES LEMMA 272
NULLSTELLENANZAHL, SATZ VON ROUCHE 273
ANWENDUNGEN DES RESIDUENSATZES 276
HOMOTOPIE UND EINFACHER ZUSAMMENHANG 279
DIE MOEBIUS-TRANSFORMATION 281
BIHOLOMORPHE ABBILDUNGEN 283
EINE BIHOLOMOQJHE EINSCHRAENKUNG DER SINUS-FUNKTION 285
9 ANWENDUNGEN DER FUNKTIONENTHEORIE 287
9.1 HYPERBOLISCHE GEOMETRIE 287
MOEBIUS-TRANSFORMATIONEN IM POINCARESCHEN KREISMODELL 294
DAS HALBEBENENMODELL DER HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE 298
DIE H-KONGRUENZABBILDUNGEN 304
DIE BIHOLOMORPHEN AUTOMORPHISMEN VON E 305
X
INHALTSVERZEICHNIS
DIE BIHOLOMORPHEN AUTOMORPHISMEN VON H 307
DIE ANALYTISCHE BESCHREIBUNG EINES H-KREISES 307
9.2 DIRICHLETSCHES RANDWERTPROBLEM FUER DIE EBENE LAPLACE-GLEICHUNG .310
INTEGRALFORMELN VON POISSON-SCHWARZ FUER DEN EINHEITSKREIS . 315
STETIG AUF DEN RAND FORTSETZBARE LOESUNGEN IM EINHEIUKREIS . 316
DAS MAXIMUMPRINZIP FUER DAS DIRICHLETSCHE RANDWERTPROBLEM .318
DIE EINDEUTIGKEIT DER STETIG FORTSETZBAREN LOESUNGEN 319
RENORMIERUNG DER SPRUNGUNSTETIGKEITEN EINER RANDVORGABE . 321
NEUMANNSCHE INTERPRETATION DER STATIONAEREN WAERMELEITUNG 323
POISSONSCHE INTEGRALFORMEL FUER DIE HALBEBENE 324
VERPFLANZUNGSMETHODE FUER POTENTIALPROBLEME 327
9.3 POTENTIALPROBLEME IN DER ELEKTROSTATIK UND STROEMUNGSMECHANIK 331
ELEKTROSTATIK UND MOEBIUS-TRANSFORMATIONEN 331
EBENE POTENTIALSTROEMUNG EINER IDEALEN FLUESSIGKEIT 336
JOUKOWSKI ABBILDUNG FUER DIE UMSTROEMUNG EINES TRAGFLUEGELS . 341
VERPFLANZUNG MIT DER JOUKOWSKI-ABBILDUNG 342
9.4 DIE GAMMA-FUNKTION 346
RESIDUEN DER GAMMA-FUNKTION 352
WEITERE EIGENSCHAFTEN DER GAMMA-FUNKTION IM KOMPLEXEN. 353
EULER-STIELTJES FORMEL FUER Y 356
STIRLINGSCHE FORMEL FUER DIE GAMMA-FUNKTION 359
9.5 DER SATZ VON WIENER-LKEHARA 364
VERSCHIEDENE DARSTELLUNGEN DERRIEMANNSCHEN ZETA-FUNKTION . 378
LOGARITHMIERUNG DER RIEMANNSCHEN ZETA-FUNKTION 379
ANWENDUNG DES WIENER-LKEHARA SATZES 381
DER PRIMZAHLSATZ 383
BOCHNER HILFSSATZ 385
DIRICHLET-REIHEN MIT MULTIPLIKATIVEN KOEFFIZIENTEN 387
WEITERE ANWENDUNGEN DES WIENER-LKEHARA SATZES 388
LITERATURVERZEICHNIS 391
INDEXVERZEICHNIS 393 |
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