Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung desarguesscher Ebenen
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München
Oldenbourg
2013
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IMAGE 1
INHALTSVERZEICHNIS
EINLEITUNG 1
1 AFFINE INZIDENZEBENEN 7
1.1 DEFINITION AFFINER INZIDENZEBENEN 7
1.2 EINFACHE FOLGERUNGEN 9
1.3 KOLLINEATIONEN 12
1.4 PUNKTABBILDUNG EINER KOLLINEATION 14
1.5 DILATATIONEN 15
1.6 SCHLIESSUNGSSAETZE 17
1.6.1 DER GROSSE UND DER KLEINE SATZ VON DESARGUES 17
1.6.2 DER GROSSE UND DER KLEINE SATZ VON PAPPOS 2 0
1.6.3 DER SCHLIESSUNGSSATZ (D*) 21
1.6.4 DER GROSSE UND DER KLEINE SCHERENSATZ 23
1.6.5 ZUSAMMENHAENGE ZWISCHEN DEN SCHLIESSUNGSSAETZEN 24
1.6.6 (D)-EBENEN U. AE 25
2 PARALLELVERSCHIEBUNGEN IN (D)-EBENEN 27
2.1 DEFINITION VON PARALLELOGRAMMEN 27
2.2 ZUR DEFINITION UNEIGENTLICHER PARALLELOGRAMME 31
2.3 EIGENSCHAFTEN VON PARALLELOGRAMMEN 32
2.4 DEFINITION VON PARALLELVERSCHIEBUNGEN 36
2.5 EINIGE EIGENSCHAFTEN DER PARALLEL VERSCHIEBUNGEN 38
2.6 DIE ABELSCHE GRUPPE DER PARALLELVERSCHIEBUNGEN 39
2.7 PARALLELVERSCHIEBUNGEN RESPEKTIEREN DIE KOLLINEARITAET 41
2.8 PARALLELVERSCHIEBUNGEN ALS KOLLINEATIONEN 42
*2.9 PARALLELVERSCHIEBUNGEN ALS DILATATIONEN 43
2.10 FIXPUNKTE, FIXGERADEN, SPUREN, RICHTUNG VON PARALLELVERSCHIEBUNGEN
. 43
2.11 DIE UNTERGRUPPEN T S VON T 44
2.12 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN T UND V, SOWIE ZWISCHEN T FL UND V G 45
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IMAGE 2
VI INHALTSVERZEICHNIS
2.13 KONJUGATIONEN IN GRUPPEN 46
2.14 KONJUGATION VON PARALLELVERSCHIEBUNGEN MIT KOLLINEATIONEN 47
2.15 ALGEBRAISCHE STRUKTUR DER GRUPPE (T, O) 48
2.16 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN PARALLELVERSCHIEBUNGEN UND TRANSLATIONEN 49
2.17 OPERIEREN DER TRANSLATIONSGRUPPE T AUF DER PUNKTMENGE V 52
ERGAENZUNGEN ZU KAPITEL 2 57
2.18 PARALLELGLEICHHEIT; VEKTOREN ALS AEQUIVALENZKLASSEN 57
2.19 ORTSVEKTOREN 58
2.20 EIN GEOMETRISCHER BEWEIS VON EIGENSCHAFT 2.5(2) 59
3 STRECKUNGEN IN (D)-EBENEN 6 1
3.1 DEFINITION VON Z-TRAPEZEN 62
3.2 ZUR DEFINITION VON UNEIGENTLICHEN Z-TRAPEZEN 64
3.3 EIGENSCHAFTEN VON Z-TRAPEZEN 65
3.4 DEFINITION VON STRECKUNGEN 68
3.5 EINIGE EIGENSCHAFTEN DER STRECKUNGEN 70
3.6 DIE GRUPPE DER STRECKUNGEN MIT ZENTRUM Z 71
3.7 STRECKUNGEN ERHALTEN DIE KOLLINEARITAET 74
3.8 STRECKUNGEN ALS KOLLINEATIONEN 75
3.9 STRECKUNGEN ALS DILATATIONEN 75
3.10 FIXPUNKTE, FIXGERADEN, SPUREN VON STRECKUNGEN 76
3.11 ZUSAMMENHANG IN (D)-EBENEN ZWISCHEN DER MENGE ALLER Z-STRECKUNGEN
UND DER MENGE ALLER PUNKTE EINER GERADEN DURCH Z 76
3.12 KONJUGATION VON STRECKUNGEN MIT KOLLINEATIONEN 78
3.13 ISOMORPHIE ALLER STRECKUNGSGRUPPEN 78
3.14 KONJUGATION VON PARALLELVERSCHIEBUNGEN MIT STRECKUNGEN 79
3.15 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN STRECKUNGEN UND DILATATIONEN MIT EINEM
FIXPUNKT 80
3.16 DIE STRECKUNGSGRUPPE MIT ZENTRUM Z OPERIERT IN (D)-EBENEN AUF JEDER
GERADEN DURCH Z 82
ERGAENZUNGEN ZU KAPITEL 3 85
3.17 Z-STRECKUNGSGLEICHHEIT 85
3.18 EIN GEOMETRISCHER BEWEIS VON SATZ 3.14 86
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS
VII
3.19 (D) IST EINE NOTWENDIGE VORAUSSETZUNG FUER SATZ 3.11 88
4 SCHIEFKOERPER DER SPURTREUEN ENDOMORPHISMEN VON T 91
4.1 ZWEI ERGEBNISSE AUS DER LINEAREN ALGEBRA 93
4.1.1 DER ENDOMORPHISMENRING EINER ABELSCHEN GRUPPE 93
4.1.2 ABELSCHE GRUPPEN ALS LINKSMODULN UEBER IHREM ENDOMORPHISMENRING .
93
4.2 ANWENDUNG AUF DIE ABELSCHE GRUPPE (T, O) DER PARALLELVERSCHIEBUNGEN.
94
4.3 SPURTREUE ENDOMORPHISMEN VON (T, O) 97
4.4 GEOMETRISCHE VERHAELTNISSE BEI DER ANWENDUNG SPURTREUER
ENDOMORPHISMEN VON (T, O) IN (D)-EBENEN 99
4.5 SPURTREUE ENDOMORPHISMEN VON (T, O) IN (D)-EBENEN 101
4.6 DER GRUPPENHOMOMORPHISMUS KONJ : DIL (A) - AUT(T, O) 105
4.7 DER SCHIEFKOERPER K DER SPURTREUEN ENDOMORPHISMEN VON (T, O) IN
(D)-EBENEN 107
4.8 DER EINER (D)-EBENE ZUGEORDNETE LINKSVEKTORRAUM J -T 112
ERGAENZUNGEN ZU KAPITEL 4 113
4.9 EIGENSCHAFTEN DER VON OE VERSCHIEDENEN SPURTREUEN ENDOMORPHISMEN IN
(D)-EBENEN 113
4.10 DER SCHIEFKOERPER K DER SPURTREUEN ENDOMORPHISMEN IN (D)-EBENEN 118
4.11 ALGEBRAISCHER BEWEIS DER INJEKTIVITAET DER VON OE VERSCHIEDENEN
SPURTREUEN ENDOMORPHISMEN IN (D)-EBENEN 122
4.12 ALGEBRAISCHER BEWEIS DER SURJEKTIVITAET DER VON O VERSCHIEDENEN
SPURTREUEN ENDOMORPHISMEN IN (D)-EBENEN 122
4.13 ALGEBRAISCHER BEWEIS VON K = KONJ S Q U { 0 } IN (D)-EBENEN 123
5 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN (D)-EBENEN UND ALGEBRAISCH AFFINEN EBENEN 127
5.1 ALGEBRAISCH AFFINE EBENEN 127
5.1.1 ALGEBRAISCHE AFFINE RAEUME UND EBENEN 128
5.1.2 AFFINE STANDARDRAEUME 130
5.1.3 UNTERRAEUME EINES ALGEBRAISCH AFFINEN RAUMES 130
5.1.4 EINIGE EIGENSCHAFTEN AFFINER UNTERRAEUME 133
5.1.5 SEMI-AFFINITAETEN UND AFFINITAETEN ZWISCHEN AFFINEN RAEUMEN 134
5.2 DIE EINER ALGEBRAISCH AFFINEN EBENE A KANONISCH ZUGEORDNETE
(D)-EBENE G(A) 140
5.3 DIE EINER (D)-EBENE A KANONISCH ZUGEORDNETE ALGEBRAISCH AFFINE EBENE
F (A) 143
IMAGE 4
VIII INHALTSVERZEICHNIS
5.4 KOLLINEATIONEN ZWISCHEN (D)-EBENEN INDUZIEREN SEMI-AFFINITAETEN
ZWISCHEN DEN KANONISCH ZUGEORDNETEN ALGEBRAISCH AFFINEN EBENEN 144
5.5 SEMI-AFFINITAETEN ZWISCHEN ALGEBRAISCH AFFINEN EBENEN INDUZIEREN
KOLLINEATIONEN ZWISCHEN DEN KANONISCH ZUGEORDNETEN (D)-EBENEN 150
5.6 DAS KOMPOSITUM G O F DER KANONISCHEN ZUORDNUNGEN LIEFERT EINE
KOLLINEATION A K G O F ( A ) VON (D)-EBENEN 152
5.7 DAS KOMPOSITUM F O G DER KANONISCHEN ZUORDNUNGEN LIEFERT EINE
SEMI-AFFINITAET F O G ( T) ALGEBRAISCH AFFINER EBENEN 153 5.7.1
BEZEICHNUNGEN 153
5.7.2 BESTIMMUNG VON T (G (A)) 154
5.7.3 BESTIMMUNG DER UNTERGRUPPEN T J VON T (G (.4)) 156
5.7.4 BESTIMMUNG DES SCHIEFKOERPERS K(G(A )) 156
5.7.5 STRECKUNGEN MIT ZENTRUM O IN G (A) 159
5.7.6 SEMI-AFFINITAET VON A AUF F ( G (.A)) 159
5.7.7 ERGEBNIS 160
5.8 BIJEKTION ZWISCHEN DER MENGE DER ISOMORPHIEKLASSEN VON (D)-EBENEN
UND DER MENGE DER ISOMORPHIEKLASSEN VON ALGEBRAISCH AFFINEN EBENEN .
161
5.9 DER HAUPTSATZ DER AFFINEN GEOMETRIE UND SEIN ANALOGON 162
5.10 KOORDINATEN IN (D)-EBENEN 164
ERGAENZUNGEN ZU KAPITEL 5 167
5.11 IST DER GRUNDKOERPER VON A KOMMUTATIV, SO GILT IN G (A) DER GROSSE
SATZ VON PAPPOS 1 6 7
6 AFFINE KOLLINEATIONEN, INSBESONDERE AXIALE KOLLINEATIONEN IN
(D)-EBENEN; AFFINITAETEN UND ACHSENAFFINITAETEN IN ALGEBRAISCH AFFINEN
EBENEN 169
6.1 AFFINE KOLLINEATIONEN IN (D)-EBENEN 170
6.2 (II FL , A) - VIERECKE 172
6.3 EIGENSCHAFTEN VON (II G , A) - VIERECKEN 176
6.4 ZUR DEFINITION UNEIGENTLICHER (II G , A) -VIERECKE 181
6.5 ( N G , A) - ABBILDUNGEN 182
6.6 ( UE G , A) - ABBILDUNGEN INDUZIEREN KOLLINEATIONEN 186
6.7 EIGENSCHAFTEN DER (II G , A) - KOLLINEATIONEN 190
6.8 AXIALE KOLLINEATIONEN 192
6.9 AEQUIVALENZ VON (II G , A)-KOLLINEATIONEN UND AXIALEN KOLLINEATIONEN
192
6.10 FUNDAMENTALSATZ DER AFFINEN GEOMETRIE IN (D)-EBENEN 196
6.11 KOMPOSITION AXIALER KOLLINEATIONEN MIT GLEICHER ACHSE 198
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS
IX
ERGAENZUNGEN ZU KAPITEL 6 201
6.12 (II 3 , A) - AEQUIVALENZ 201
6.13 AXIALE KOLLINEATIONEN UND ACHSENAFFINITAETEN 202
6.14 ALGEBRAISCHE BESCHREIBUNG, INSBESONDERE MATRIZENDARSTELLUNG VON
ACHSENAFFINITAETEN 203
6.14.1 ALGEBRAISCHE BESCHREIBUNG VON ACHSENAFFINITAETEN 203
6.14.2 MATRIZENDARSTELLUNG VON SCHERUNGEN 204
6.14.3 MATRIZENDARSTELLUNG VON ACHSENAFFINITAETEN, DIE KEINE SCHERUNGEN
SIND . 205
7 HILBERTSCHE STRECKENRECHNUNG IN (D)-EBENEN 207
7.1 EINLEITUNG 207
7.2 WIEDERHOLUNG AUS DER ALGEBRA 208
7.3 DER SCHIEFKOERPER DER HILBERTSCHEN STRECKENRECHNUNG 209
7.4 GEOMETRISCHE KONSTRUKTION DER ADDITION VON STRECKEN 214
7.5 GEOMETRISCHE KONSTRUKTION DER MULTIPLIKATION VON STRECKEN 216
7.6 KOORDINATEN BEI DER HILBERTSCHEN STRECKENRECHNUNG 218
7.7 KENNZEICHNUNG DER GERADEN ALS LINEARE MANNIGFALTIGKEITEN 219
7.8 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN DEN KOORDINATEN GEMAESS DER HILBERTSCHEN
STRECKENRECHNUNG UND UNSEREN KOORDINATEN 227
ANHANG 231
8 TEILVERHAELTNIS UND PROPORTIONEN IN (D)-EBENEN 233
8.1 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN DES TEILVERHAELTNISSES 233
8.2 STRAHLENSAETZE 235
8.3 TEILVERHAELTNIS BEI AFFINEN KOLLINEATIONEN UND BEI
PARALLELPROJEKTIONEN . . . 237
8.4 PROPORTIONEN IN DER HILBERTSCHEN STRECKENRECHNUNG 239
9 BEWEISE DER VERWENDETEN ZUSAMMENHAENGE ZWISCHEN DEN SCHLIESSUNGSSAETZEN
241
9.1 AUS (D) FOLGT (D) 242
9.2 AUS (D) FOLGT (P) 245
9.3 AUS (P) FOLGT (S) 249
9.4 AUS (P) FOLGT (D) 252
9.5 AUS (D) FOLGT (D*) 266
IMAGE 6
X
INHALTSVERZEICHNIS
9.6 AUS (D) FOLGT (S) 274
10 KONSTRUKTIVE DEFINITION VON ZENTRALKOLLINEATIONEN IN PROJEKTIVEN
(D)-EBENEN 281
10.1 PROJEKTIVE EBENEN 283
10.2 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN PROJEKTIVEN UND AFFINEN EBENEN 285
10.3 DER SATZ VON DESARGUES IN PROJEKTIVEN EBENEN 2 8 7
10.3.1 DER SATZ VON DESARGUES IN PROJEKTIVEN EBENEN 287
10.3.2 ZUSAMMENHANG DER BEIDEN AFFINEN SCHLIESSUNGSSAETZE (D) UND (D*) 289
10.3.3 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN (D A FF) UND (D PRO J) 290
10.3.4 ALLGEMEINERE FORMULIERUNG VON (D PR0 J) 291
10.4 (Z, A)-VIERECKE 291
10.5 EIGENSCHAFTEN VON (Z, A)- VIERECKEN 295
10.6 ZUR DEFINITION UNEIGENTLICHER (Z, A)-VIERECKE 297
10.7 (Z, A)-PUNKTABBILDUNGEN 298
10.8 (Z, A)-PUNKTABBILDUNGEN INDUZIEREN KOLLINEATIONEN 303
10.9 ZENTRALKOLLINEATIONEN IN PROJEKTIVEN EBENEN 305
10.10 AEQUIVALENZ DER AXIOMATISCHEN DEFINITION VON ZENTRALKOLLINEATIONEN
UND DER KONSTRUKTIVEN DEFINITION VON (Z, A)-KOLLINEATIONEN IN
PROJEKTIVEN (D)-EBENEN 309
10.11 BEZIEHUNGEN DER (Z, A)-KOLLINEATIONEN ZU DEN IN DEN KAPITELN 2, 3
UND 6 DEFINIERTEN AFFINEN KOLLINEATIONEN 311
ERGAENZUNGEN ZU KAPITEL 10 313
10.12 (Z, A)-AEQUIVALENZ 313
10.13 KOMPOSITION ZENTRALER KOLLINEATIONEN MIT DERSELBEN ACHSE, ABER
VERSCHIEDENEN ZENTREN 313
10.14 AEQUIVALENZ DES SCHLIESSUNGSSATZES D (Z,A) MIT DER LINEAREN
TRANSITIVITAET DER GRUPPE Z(Z,A ) 318
10.15 ANMERKUNGEN ZUR GRUPPE T(A) 321
LITERATURVERZEICHNIS 323
BEZEICHNUNGEN 325
INDEX 329 |
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