Verfügbarkeit: Principles of discontinuous dynamical systems

Principles of discontinuous dynamical systems:

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Akhmet, Marat (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	English
Veröffentlicht:	New York, NY Springer New York 2010
Schlagworte:	Diskontinuierlicher Vorgang Dynamisches System Differenzierbares dynamisches System
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adam_text	IMAGE 1 CONTENTS PREFACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 DESCRIPTION OF THE SYSTEM WITH FIXED MOMENTS OF IMPULSES AND ITS SOLUTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 SPACES OF PIECEWISE CONTINUOUS FUNCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 DESCRIPTION OF THE SYSTEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 DESCRIPTION OF SOLUTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 EQUIVALENT INTEGRAL EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 THE GRONWALL-BELLMAN LEMMA FOR PIECEWISE CONTINUOUS FUNCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 EXISTENCE AND UNIQUENESS THEOREMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 CONTINUITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 STABILITY AND PERIODIC SOLUTIONS OF SYSTEMS WITH FIXED MOMENTS OF IMPULSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1 DEFINITIONS OF STABILITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 BASICS OF PERIODIC SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 BASICS OF LINEAR SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 LINEAR HOMOGENEOUS SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 LINEAR NONHOMOGENEOUS SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3 LINEAR PERIODIC SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 NONAUTONOMOUS SYSTEMS WITH VARIABLE MOMENTS OF IMPULSES . . . . . . . . . . 55 5.1 DESCRIPTION OF SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 EXISTENCE, UNIQUENESS, AND EXTENSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3 BEATING PHENOMENA AND RELATED PROPERTIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4 THE TOPOLOGY ON THE SET OF DISCONTINUOUS FUNCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . 62 IX IMAGE 2 X CONTENTS 5.5 B-EQUIVALENCE: GENERAL CASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.6 CONTINUITY PROPERTIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.7 GENERALITIES OF STABILITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.8 B-EQUIVALENCE: QUASILINEAR SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.9 POINCAR´ E CRITERION AND PERIODIC SOLUTIONS OF QUASILINEAR SYSTEMS . . 78 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6 DIFFERENTIABILITY PROPERTIES OF NONAUTONOMOUS SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.1 DIFFERENTIABILITY WITH RESPECT TO INITIAL CONDITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2 DIFFERENTIABILITY WITH RESPECT TO PARAMETERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.3 HIGHER ORDER B-DERIVATIVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4 B-ANALYTICITY PROPERTY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.5 B-ASYMPTOTIC APPROXIMATION OF SOLUTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7 PERIODIC SOLUTIONS OF NONLINEAR SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.1 QUASILINEAR SYSTEMS: THE NONCRITICAL CASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.2 THE CRITICAL CASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8 DISCONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 8.1 GENERALITIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.2 LOCAL EXISTENCE AND UNIQUENESS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.3 EXTENSION OF SOLUTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.4 THE GROUP PROPERTY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.5 CONTINUITY PROPERTIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.6 B-EQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.7 DIFFERENTIABILITY PROPERTIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.8 CONCLUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.9 EXAMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9 PERTURBATIONS AND HOPF BIFURCATION OF A DISCONTINUOUS LIMIT CYCLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 9.1 THE NONPERTURBED SYSTEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.2 THE PERTURBED SYSTEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.3 FOCI OF THE D-SYSTEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9.4 THE CENTER AND FOCUS PROBLEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.5 BIFURCATION OF A DISCONTINUOUS LIMIT CYCLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 9.6 EXAMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 IMAGE 3 CONTENTS XI 10 CHAOS AND SHADOWING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 10.1 INTRODUCTION AND PRELIMINARIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.2 THE DEVANEY'S CHAOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.3 SHADOWING PROPERTY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.4 SIMULATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
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