Irrfahrten und verwandte Zufälle: ein elementarer Einstieg in die stochastischen Prozesse
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| Späterer Titel: | Irrfahrten - Faszination der Random Walks |
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| 1. Verfasser: | |
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Springer Spektrum
2013
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| Schriftenreihe: | Lehrbuch
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Inhaltsverzeichnis
1 Die einfache symmetrische Irrfahrt auf
Z
— gedächtnisloses Hüpfen
auf den ganzen Zahlen 1
1.1 Grundbegriffe, Spiegelungsprinzip. 7
1.2 Das Hauptlemma. 11
1.3 Der Zeitpunkt der letzten Nullstelle . 15
1.4 Die Anzahl der Nullstellen.25
1.5 Erstwiederkehr zeit, Rekurrenz. 36
1.6 Verweilzeiten.42
1.7 Maximum und Minimum. 46
1.8 Anzahl und Lage der Maximalstellen. 54
1.9 Leiterzeitpunkte und Leiterepochen. 65
1.10 Schnittpunkte von Irrfahrten. 75
1.11 Vorzeichenwechsel . 84
1.12 Das Betragsmaximum. 93
1.13 Ein Test auf Symmetrie.100
1.14 Dualität: Neue Einsichten.104
1.15 Ausblicke.107
2 Brückenwege — Ausgleich nach 2n Zeitschritten 115
2.1 Die Anzahl der (inneren) Nullstellen.117
2.2 Verweilzeiten.131
2.3 Letzte Nullstelle und Erstwiederkehrzeit.135
2.4 Maximum und Minimum.139
2.5 Vorzeichenwechsel .146
2.6 Betragsmaximum, Kolmogorov-Verteilung.152
2.7 Der Kolmogorov-Smirnov-Test .159
2.8 Ausblick: Die Brownsche Brücke .165
3 Asymmetrische Irrfahrten und Verwandtes 169
3.1 Leiterzeitpunkte .169
3.2 Die Anzahl der Nullstellen.176
Inhaltsverzeichnis ix
3.3 Irrfahrten mit absorbierenden Rändern:
Das Spieler-Ruin-Problem.179
3.4 Längste Auf- und Abwärtsruns.185
3.5 Der Galton-Watson-Prozess.191
4 Irrfahrten auf dem ganzzahligen Gitter in höheren Dimensionen 201
4.1 Rekurrenz und Transienz .202
4.2 Die Anzahl der besuchten Zustände.206
5 Hilfsmittel aus
Analysis,
Kombinatorik und Stochastik 213
5.1 Ein kanonischer Wahrscheinlichkeitsraum .213
5.2 Verteilungskonvergenz.214
5.3 Zentrale Grenzwertsätze.216
5.4 Ungleichungen für die Logarithmus-Funktion .216
5.5 Erwartungswert und Varianz No-wertiger Zufallsvariablen.216
5.6 Die Stirling-Formel.217
5.7 Erzeugende Funktionen .218
5.8 Einige Identitäten für Binomialkoefnzienten.220
5.9 Die Binomialreihe.222
5.10 Legendre-Polynome.223
5.11 Das Lemma von
Borei-Cantelli
.224
Literaturverzeichnis 226
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