Wahrscheinlichkeitstheorie:
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Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2013
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Maßtheorie. 1
1.1 Mengensysteme. 1
1.2 Mengenfunktionen. 12
1.3 Fortsetzung von Maßen . 18
1.4 Messbare Abbildungen. 34
1.5 Zufallsvariablen. 43
2 Unabhängigkeit. 49
2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen. 49
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. 56
2.3 Kolmogorov'sches 0-1 Gesetz. 63
2.4 Beispiel: Perkolation. 67
3 Erzeugendenfunktion. 79
3.1 Definition und Beispiele. 79
3.2
Poisson-Approximation
. 82
3.3 Verzweigungsprozesse. 84
4 Das Integral. 87
4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften . 87
4.2 Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou . 95
4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral. 98
5 Momente und Gesetze der Großen Zahl. 103
5.1 Momente . 103
5.2 Schwaches Gesetz der Großen Zahl. 110
X
Inhaltsverzeichnis
5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl .113
5.4 Konvergenzrate im starken GGZ.122
5.5 Der Poissonprozess.125
6 Konvergenzsätze.133
6.1 Fast-überall- und
stochastische
Konvergenz.133
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit.138
6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung.'.145
7 .LP-Räume und Satz von Radon-Nikodym.147
7.1 Definitionen.147
7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz.149
7.3 Hilberträume.155
7.4 Lebesgue'scher Zerlegungssatz.158
7.5 Ergänzung: Signierte Maße.162
7.6 Ergänzung: Dualräume.169
8 Bedingte Erwartungen.173
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten.173
8.2 Bedingte Erwartungen.177
8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung .184
9
Martingale
.193
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten.193
9.2
Martingale
.198
9.3 Diskretes stochastisches Integral.202
9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell.204
10 Optional
Sampling
Sätze.209
10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation.209
10.2 Optional
Sampling
und Optional
Stopping
.213
10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional
Sampling
.217
11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen.221
Inhaltsverzeichnis
XI
11.1 Die Doob'sche Ungleichung.221
11.2 Martingalkonvergenzsätze.;.223
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess.,.233
12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit.235
12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen.235
12.2 Rückwärtsmartingale.240
12.3 Satz von de Finetti.243
13 Konvergenz von Maßen.249
13.1 Wiederholung
Topologie
.249
13.2 Schwache und vage Konvergenz.256
13.3 Der Satz von Prohorov.265
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti - anders angeschaut.275
14 W-Maße auf Produkträumen .279
14.1 Produkträume.280
14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne.283
14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und
Projektive
Familien.292
14.4 Markov'sche Halbgruppen.297
15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz.301
15.1 Trennende Funktionenklassen.301
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele.308
15.3 Der
Lévy'sche
Stetigkeitssatz .315
15.4 Charakteristische Funktion und Momente.320
15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz.326
15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Grenzwertsatz.334
16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen.337
16.1 Die
Lévy-Khinchin
Formel .337
16.2 Stabile Verteilungen.349
17 Markovketten .357
XII Inhaltsverzeichnis
17.1 Begriffsbildung und Konstraktion.357
17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele.364
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit.368
17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz.373
17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten.377
17.6 Invariante Verteilungen.384
17.7 Anwendung: Stochastische Ordnung und Kopplung.390
18 Konvergenz von Markovketten.397
18.1 Periodizität von Markovketten.397
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz.401
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode.406
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit.413
19 Markovketten und elektrische Netzwerke.419
19.1 Harmonische Funktionen.419
19.2 Reversible Markovketten.423
19.3 Endliche Elektrische Netzwerke.424
19.4 Rekurrenz und Transienz.430
19.5 Netzwerkreduktion.436
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung.445
20 Ergodentheorie.449
20.1 Begriffsbildung.449
20.2 Ergodensätze.453
20.3 Beispiele.455
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten.457
20.5 Mischung.460
20.6 Entropie.463
21 Die Brown'sche Bewegung.467
21.1 Stetige Modifikationen.467
21.2 Konstraktion und Pfadeigenschaften.474
Inhaltsverzeichnis XIII
21.3 Starke Markoveigenschaft.479
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse.482
21.5 Konstruktion durch L2-Approximation.485
21.6 Der Raum C([0, oo)) .'.492
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0. oo)).494
21.8 Satz von Donsker.497
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen*.501
21.10Quadratische Variation und lokale
Martingale
.507
22 Gesetz vom iterierten Logarithmus.519
22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown'sche Bewegung.519
22.2 Skorohod'scher Einbettungssatz.522
22.3 Satz von Hartman-Wintner.527
23 Große Abweichungen.529
23.1 Satz von
Cramer
.530
23.2 Prinzip der großen Abweichungen.534
23.3 Satz von Sanov .539
23.4
Varadhan
'sches Lemma und Freie Energie.543
24 Der Poisson'sche Punktprozess.551
24.1 Zufällige Maße.551
24.2 Eigenschaften des Poisson'schen Punktprozesses.555
24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung*.562
25 Das
Itô-Integral
.571
25.1 Das
Itô-Integral
bezüglich der Brown'schen Bewegung.571
25.2
Itô-Integral
bezüglich Diffusionen.580
25.3 Die
Itô-Formel
.583
25.4 Dirichlet-Problem und Brown'sche Bewegung.591
25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown'schen Bewegung.593
26
Stochastische
Differentialgleichungen .597
26.1 Starke Lösungen.597
XIV Inhaltsverzeichnis
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem.606
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität.613
Literatur.621
Notation.631
Glossar englischer Ausdrücke.635
Namensregister.637
Sachregister.641 |
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