Mathematik verstehen und anwenden: von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2013
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| Ausgabe: | 2. überarb. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Lehrbuch
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | XII, 948 S. Ill., graph. Darst. 240 mm x 168 mm |
| ISBN: | 3827430070 9783827430076 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort..............................................................
v
1 Grundlagen..................................................... 1
1.1 Mengenlehre...................................................... 1
1.1.1 Mengenbegriff............................................... 2
1.1.2 Mengenoperationen.......................................... 4
1.1.3 Abbildungen................................................ 7
1.2 Logik............................................................ 12
1.2.1 Aussagenlogik............................................... 12
1.2.2 Prädikatenlogik............................................. 18
1.2.3 Beweise.................................................... 23
1.3 Reelle Zahlen..................................................... 25
1.3.1 Natürliche und ganze Zahlen.................................. 25
1.3.2 Rationale Zahlen............................................ 34
1.3.3 Reelle Zahlen............................................... 43
1.4 Rechnen mit reellen Zahlen......................................... 54
1.4.1 Potenzen und Wurzeln....................................... 54
1.4.2 Summen und Produkte, Binomischer Lehrsatz................... 56
1.4.3 Beträge und Ungleichungen................................... 64
1.4.4 Über das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen............. 70
1.5 Reelle Funktionen................................................. 77
1.5.1 Notation reeller Funktionen................................... 77
1.5.2 Eigenschaften von reellen Funktionen.......................... 80
1.5.3 Umkehrfunktion............................................. 84
1.5.4 Verkettung von Funktionen................................... 86
1.5.5 Signum- und Betragsfunktion................................. 88
1.5.6 Polynome und gebrochen-rationale Funktionen.................. 89
1.5.7 Potenz- und Wurzelfunktionen................................ 100
1.5.8 Exponentialfunktionen und Logarithmen....................... 101
1.5.9 Trigonometrische Funktionen ................................. 111
1.5.10 Hyperbel- und
Areafunktionen
................................ 127
1.6 Komplexe Zahlen ................................................. 130
1.6.1 Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit........ 131
1.6.2 Komplexe Arithmetik........................................ 132
1.6.3 Die Gauß sche Zahlenebene................................... 134
1.6.4 Euler sche Gleichung und Polarform komplexer Zahlen........... 137
1.6.5 Komplexe Wechselstromrechnung* ............................ 143
1.6.6 Fundamentalsatz der Algebra................................. 146
1.7 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen............................. 151
1.7.1
Lineare
Gleichungssysteme....................................151
1.7.2 Matrizen, Zeilen- und Spaltenvektoren.........................153
1.7.3 Lösen linearer Gleichungssysteme.............................. 160
1.7.4
Inverse
Matrix und transponierte Matrix....................... 167
1.7.5 Symmetrische und orthogonale Matrizen ....................... 172
1.7.6 Dreiecksmatrizen, Bandmatrizen und LR-Zerlegung *............. 175
1.8 Determinanten.................................................... 179
1.8.1 Definition und elementare Eigenschaften von Determinanten......179
1.8.2 Determinanten und lineare Gleichungssysteme................... 187
1.9 Aufgaben........................................................ 191
2
Differenziai-
und Integralrechnung..............................203
2.1 Folgen...........................................................203
2.1.1 Definition und Grundbegriffe von Folgen ....................... 204
2.1.2 Konvergenz und Divergenz von Folgen ......................... 208
2.1.3 Rechnen mit konvergenten Folgen ............................. 212
2.1.4 Konvergenzkriterien ......................................... 215
2.1.5 Die Euler sche Zahl
e
als Grenzwert von Folgen ................. 218
2.1.6 Approximation reeller Potenzen............................... 220
2.1.7 Bestimmte Divergenz........................................ 221
2.1.8 Häufungspunkte einer Folge * ................................. 224
2.1.9 Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen *........................ 224
2.2 Zahlen-Reihen.................................................... 228
2.2.1 Definition und Konvergenz einer Reihe......................... 229
2.2.2 Rechnen mit konvergenten Reihen............................. 232
2.2.3 Alternativen zur Definition der Reihenkonvergenz................ 233
2.2.4 Absolute Konvergenz ........................................ 235
2.2.5 Konvergenzkriterien für Reihen................................ 237
2.3 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit ........................... 247
2.3.1 Umgebungen und Überdeckungen .............................247
2.3.2 Grenzwerte von Funktionen...................................249
2.3.3 Stetigkeit...................................................262
2.3.4 Eigenschaften stetiger Funktionen.............................268
2.3.5 Unstetigkeitsstellen..........................................275
2.4 Differenzierbarkeit und Ableitungen.................................278
2.4.1 Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten .............. 278
2.4.2 Ableitungsregeln............................................ 285
2.4.3 Newton-Verfahren........................................... 293
2.4.4 Das
Differenziai
............................................. 295
2.4.5 Höhere Ableitungen.......................................... 298
2.5 Zentrale Sätze der Differenzialrechnung.............................. 300
2.5.1 Satz von
Fermat:
notwendige Bedingung für lokale
Extrema
.......300
2.5.2 Mittelwertsätze der Differenzialrechnung.......................300
2.5.3 Regeln von L Hospital........................................306
2.6 Integralrechnung..................................................312
2.6.1 Definition des Integrals.......................................313
2.6.2 Eigenschaften des Integrals...................................318
2.6.3 Hauptsatz der
Differenziai-
und Integralrechnung................323
2.6.4 Rechenregeln zur Integration..................................326
2.6.5 Numerische Integration.......................................343
2.6.6 Uneigentliche Integrale.......................................345
2.6.7 Volumen und Flächen........................................353
2.7 Satz von Taylor, Kurvendiskussion und Extremalprobleme..............356
2.7.1 Taylor-Summen.............................................356
2.7.2 Kurvendiskussion und Extremalprobleme.......................361
2.8 Potenzreihen .....................................................372
2.8.1 Unendliche Taylor-Summen und Potenzreihen...................372
2.8.2 Einschub: Funktionenfolgen*..................................376
2.8.3 Konvergenz von Potenzreihen.................................385
2.8.4 Differenziation und Integration von Potenzreihen................389
2.8.5 Der Zusammenhang zwischen Potenzreihen und Taylor-Reihen .... 391
2.8.6 Die komplexe Exponentialfunktion.............................392
2.9 Aufgaben........................................................394
3 Lineare Algebra.................................................401
3.1 Vektoren in der Ebene und im Raum................................401
3.1.1 Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln............401
3.1.2 Skalarprodukt und Orthogonalität.............................409
3.1.3 Vektorprodukt und Spatprodukt ..............................415
3.1.4 Anwendungen des
Skalar-,
Vektor- und Spatprodukts............420
3.2 Analytische Geometrie.............................................423
3.2.1 Geraden in der Ebene und im Raum...........................423
3.2.2 Ebenen im Raum............................................430
3.3 Vektorräume .....................................................437
3.3.1 Definition des Vektorraums................................... 437
3.3.2 Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension .................. 444
3.3.3 Skalarprodukt und Norm..................................... 453
3.3.4 Orthogonalität, Orthogonal- und Orthonormalsysteme ........... 459
3.4 Lineare Abbildungen .............................................. 470
3.4.1 Lineare Abbildungen und Matrizen............................470
3.4.2 Summe, skalares Vielfaches und Verkettung linearer Abbildungen . . 475
3.4.3 Kern und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz .........478
3.4.4
Umkehrabbildung
und
inverse
Matrix
.......................... 485
3.4.5 Koordinaten- und Basistransformationen *...................... 487
3.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme ........................... 490
3.5.1 Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.................. 490
3.5.2 Berechnung von linearen elektrischen Netzwerken* .............. 494
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren...................................... 503
3.6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren................................ 503
3.6.2 Diagonalisierung von Matrizen*............................... 513
3.6.3 Hauptvektoren und Jordan-Normalform*....................... 517
3.7 Aufgaben........................................................ 521
4 Funktionen mit mehreren Variablen ............................525
4.1 Grenzwerte und Stetigkeit..........................................528
4.2 Ableitungen von reellwertigen Funktionen mit mehreren Variablen.......532
4.2.1 Ableitungsbegriffe...........................................532
4.2.2 Höhere Ableitungen..........................................545
4.2.3 Fehlerrechnung* ............................................548
4.3 Extremwertrechnung...............................................552
4.3.1 Lokale und globale
Extrema
..................................552
4.3.2
Extrema
unter Nebenbedingungen*............................558
4.4 Integralrechnung mit mehreren Variablen............................. 565
4.4.1 Integration über mehrdimensionale Intervalle....................565
4.4.2 Integration über Normalbereiche ..............................572
4.4.3 Substitutionsregel...........................................576
4.4.4 Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten........................578
4.5
Vektoranalysis
....................................................583
4.5.1 Vektorfelder................................................583
4.5.2 Kurven.....................................................584
4.5.3 Quellen, Senken und Wirbel in Vektorfeldern....................587
4.5.4 Kurvenintegrale.............................................589
4.5.5 Satz von Green * ............................................597
4.5.6 Flächenintegrale* ...........................................599
4.5.7 Die Sätze von Gauß und
Stokes
*..............................603
4.6 Aufgaben ........................................................610
5 Gewöhnliche Differenzialgleichungen............................613
5.1 Einführung.......................................................613
5.1.1 Beispiele für Differenzialgleichungen aus Physik und Technik......614
5.1.2 Grundbegriffe...............................................618
5.1.3 Konstruktion einer Lösung, Existenz und Eindeutigkeit...........623
5.1.4 Iterationsverfahren von
Picard
und
Lindelof
.....................626
5.2 Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen erster Ordnung...........629
5.2.1 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung.................. 630
5.2.2 Nicht-lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung............. 642
5.3 Lineare Differenzialgleichungssysteme................................ 655
5.3.1 Motivation: Eine Schaltung mit Induktivitäten.................. 655
5.3.2 Grundbegriffe............................................... 656
5.3.3 Homogene Lösungen......................................... 659
5.3.4 Partikuläre Lösungen........................................ 664
5.3.5 Komplexe und mehrfache Eigenwerte *......................... 669
5.4 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung...................... 677
5.4.1 Lösung über ein lineares Differenzialgleichungssystem............ 677
5.4.2 Lösung mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite............. 683
5.4.3 Schwingungsgleichung* ...................................... 688
5.4.4 Eine schwingende Saite: Wellengleichung....................... 694
5.5 Aufgaben........................................................ 696
6 Fourier-Reihen und Integraltransformationen...................699
6.1 Fourier-Reihen....................................................700
6.1.1 Fourier-Koeffizienten und Definition der Fourier-Reihe ........... 701
6.1.2 Sinus- und Kosinus-Form der Fourier-Reihe..................... 707
6.1.3 Komplexwertige Funktionen und Fourier-Koeffizienten...........709
6.1.4 Faltung....................................................716
6.1.5 Konvergenz von Fourier-Reihen*.............................. 724
6.1.6 Gibbs-Phänomen............................................734
6.1.7 Entwicklung 2p-periodischer Funktionen........................739
6.2
Fourier-Transformation
............................................740
6.2.1
Fourier-Integral.............................................
740
6.2.2 Fourier-Umkehrtransformation................................744
6.2.3 Fourier-Koeffizienten und
Fourier-Transformation................
746
6.2.4 Eigenschaften der
Fourier-
Transformation ......................748
6.2.5 Faltung....................................................753
6.3
Laplace-
Transformation............................................758
6.3.1 Von der
Fourier-
zur
Laplace-
Transformation.................... 758
6.3.2 Rechnen mit der
Laplace-
Transformation....................... 762
6.3.3
Laplace-
Transformation in der Systemtheorie * .................. 773
6.4 Diskrete
Fourier-
Transformation .................................... 782
6.4.1 Ausgangspunkt: Koeffizienten einer Fourier-Reihe................ 785
6.4.2 Diskrete
Fourier-
Transformation............................... 787
6.4.3 Diskrete Faltung*........................................... 796
6.4.4 FFT-Algorithmus ........................................... 800
6.4.5 Numerische Berechnung von Fourier-Koeffizienten............... 805
6.4.6 Abtastsatz für trigonometrische Polynome...................... 807
6.4.7 Leck-Effekt
(Leakage)
*....................................... 814
6.4.8 Numerische Berechnung der
Fourier-Transformation
............. 815
6.4.9 Abtastsatz der
Fourier-
Transformation......................... 817
6.4.10 Leck-Effekt und Fensterfunktionen* ........................... 826
6.4.11 Zusammenfassung........................................... 828
6.5 Aufgaben........................................................ 829
7 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik......................833
7.1 Beschreibende Statistik............................................834
7.1.1 Grundbegriffe...............................................834
7.1.2 Empirische Verteilungsfunktionen..............................839
7.1.3 Lageparameter..............................................841
7.1.4 Streuungsparameter .........................................846
7.1.5 Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen und Korrelation........848
7.1.6 Lineare Regressionsrechnung..................................852
7.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung........................................857
7.2.1 Zufallsexperimente und Ereignisse.............................857
7.2.2 Wahrscheinlichkeit und Satz von
Laplace
.......................859
7.2.3 Kombinatorik...............................................863
7.2.4 Unabhängige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten.......868
7.2.5 Zufallsvariablen.............................................876
7.2.6 Lage- und Streuungsparameter von Zufallsvariablen..............888
7.2.7 Gesetz der großen Zahlen.....................................898
7.2.8 Zentraler Grenzwertsatz......................................902
7.3 Schließende Statistik...............................................909
7.3.1 Punktschätzungen........................................... 910
7.3.2 Begriffe der Fehlerrechnung*..................................914
7.3.3 Intervallschätzungen.........................................916
7.3.4 Hypothesentests.............................................924
7.4 Aufgaben........................................................929
Literaturverzeichnis ..................................................935
Index.................................................................939
Mathematik verstehen und anwenden
Gegen Angst vor Mathematik hilft Verstehen. Dieses Buch setzt nur elementare Schul¬
kenntnisse voraus und führt schrittweise und systematisch von der Bruchrechnung bis
zu erstaunlichen Sätzen der Höheren Mathematik. Ausgehend von Problemstellungen
aus Elektrotechnik und Maschinenbau werden
Differenziai-
und Integralrechnung,
Vektorrechnung, Differenzialgleichungen, Fourier-Reihen, Integraltransformationen
sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik behandelt. Dabei werden Sie vom
Vertrauten zum Neuen geführt.
Neben vielen Anwendungsbeispielen aus den Ingenieurwissenschaften finden Sie zu
jedem Kapitel zahlreiche Aufgaben (mit Lösungen auf der Website) zum Selbstrechnen.
Trotz der verständlichen Darstellung für ein Bachelor-Studium geht die mathematische
Exaktheit nicht verloren. Hintergrundinformationen und Beweise ergänzen die sehr
umfangreiche Stoffauswahl und bieten Anknüpfungspunkte für ein Master-Studium.
In der zweiten Auflage wurde unter Berücksichtigung der Leserwünsche der Stoff¬
umfang behutsam erweitert, didaktisch überarbeitet und durch weitere anschauliche
Beispiele ergänzt.
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Inhaltsverzeichnis
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2000 SK 110 G593(2) |
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| Exemplar 1 | ausleihbar Verfügbar Bestellen |