Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik
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Berlin [u.a.]
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Titel: Bezaubernde Beweise
Autor: Alsina, Claudi
Jahr: 2013
Inhaltsverzeichnis
Vorwort. VII
Einleitung . XV
1 Der Garten der natürlichen Zahlen . 1
1.1 Figurierte Zahlen. 1
1.2 Summen von Quadratzahlen, Dreieckszahlen
und dritten Potenzen. 7
1.3 Es gibt unendlich viele Primzahlen. 11
1.4 Fibonacci-Zahlen. 14
1.5 Der Satz von Fermat. 17
1.6 Der Satz von Wilson. 18
1.7 Vollkommene Zahlen. 19
1.8 Aufgaben. 20
£ Besondere Zahlen. 23
2.1 Die Irrationalität von *fl. 24
2.2 Die Irrationalität von V^für nicht-quadratische k. 25
2.3 Der Goldene Schnitt . 26
2.4 jt und der Kreis. 30
2.5 Die Irrationalität von n . 31
2.6 Comte de Buffon und seine Nadel. 33
2.7 e als Grenzwert. 35
2.8 Eine unendliche Reihe für e. 37
2.9 Die Irrationalität von e. 38
2.10 Steiners Aufgabe zur Euler'schen Zahl e. 38
2.11 Die Euler-Mascheroni-Zahl. 39
2.12 Rationale und irrationale Exponenten. 41
2.13 Aufgaben. 42
XII Bezaubernde Beweise
Punkte in der Ebene. 47
3.1 Der Satz von Pick. 47
3.2 Kreise und Summen von zwei Quadratzahlen. 50
3.3 Der Satz von Sylvester und Gallai. 51
3.4 Exakte Aufteilung von 100.000 Punkten. 53
3.5 Tauben und Taubenschläge. 54
3.6 Zuordnung von Zahlen zu Punkten in der Ebene. 56
3.7 Aufgaben. 58
*! Spielwiese der Vielecke. 61
4.1 Kombinatorik von Vielecken. 61
4.2 Konstruktion eines n-Ecks mit vorgegebenen Seitenlängen. 65
4.3 Die Sätze von Maekawa und Kawasaki. 66
4.4 Die Quadratur von Vielecken. 68
4.5 Die Sterne auf dem polygonalen Spielplatz. 70
4.6 Museumswächter. 73
4.7 Triangulation konvexer Vielecke. 75
4.8 Zykloiden, Zyklogone und polygonale Zykloiden. 78
4.9 Aufgaben. 82
3 Eine Schatzkiste voller Dreieckssätze. 85
5.1 Der Satz des Pythagoras. 85
5.2 Pythagoreische Verwandte. 87
5.3 Der Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks. 89
5.4 Die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras durch Pappus . 91
5.5 Der Inkreis und die Formel von Heron . 93
5.6 Der Umkreis und Eulers Dreiecksungleichung. 94
5.7 Das Höhenfußdreieck . 96
5.8 Die Ungleichung von Erdös und Mordell. 97
5.9 Der Satz von Steiner und Lehmus . 99
5.10 Die Seitenhalbierenden in einem Dreieck. 101
5.11 Sind die meisten Dreiecke stumpfwinklig?. 103
5.12 Aufgaben. 104
Der Zauber des gleichseitigen Dreiecks. 107
6.1 Sätze von der Art des Pythagoras . 107
6.2 Der Fermat'sche Punkt eines Dreiecks. 110
6.3 Der Satz von Viviani. 112
6.4 Eine Dreiecksparkettierung der Ebene und die Ungleichung
von Weitzenböck . 112
6.5 Der Satz von Napoleon . 115
6.6 "Morleys Wunder" . 116
Inhaltsverzeichnis XIII
6.7 Der Satz von van Schooten. 118
6.8 Das gleichseitige Dreieck und der Goldene Schnitt. 120
6.9 Aufgaben. 120
Das Reich der Vierecke . 125
7.1 Mittelpunkte in Vierecken. 125
7.2 Sehnenvierecke. 128
7.3 Gleichungen und Ungleichungen zu Vierecken. 130
7.4 Tangentenviereck und bizentrische Vierecke. 133
7.5 Die Sätze von Anne und Newton. 135
7.6 Der Satz des Pythagoras mit einem Parallelogramm
und gleichseitigen Dreiecken. 137
7.7 Aufgaben. 138
Überall Quadrate . 141
8.1 Ein-Quadrat-Sätze. 141
8.2 Zwei-Quadrate-Sätze. 143
8.3 Drei-Quadrate-Sätze. 149
8.4 Vier und mehr Quadrate . 152
8.5 Quadrate in der Unterhaltungsmathematik . 154
8.6 Aufgaben. 156
Aufregende Kurven. 159
9.1 Quadraturen von Sichelformen. 159
9.2 Die verblüffende archimedische Spirale. 166
9.3 Die Quadratrix des Hippias. 169
9.4 Das Schustermesser und das Salzfässchen. 170
9.5 Kegelschnitte ä la Quetelet und Dandelin. 172
9.6 Archimedische Dreiecke. 174
9.7 Helices. 177
9.8 Aufgaben. 179
Abenteuer mit Parkettierungen und Färbungen. 183
10.1 Ebene Parkettierungen und Mosaike. 184
10.2 Parkettierungen mit Dreiecken und Vierecken . 189
10.3 Unendlich viele Beweise für den Satz des Pythagoras. 192
10.4 Der springende Frosch. 195
10.5 Die sieben Friese. 197
10.6 Farbenfrohe Beweise. 201
10.7 Dodekaeder und Hamilton-Kreise. 211
10.8 Aufgaben. 213
XIV Bezaubernde Beweise
11 Geometrie in drei Dimensionen . 217
11.1 Der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen. 218
11.2 Die Unterteilung des Raums mit Ebenen. 220
11.3 Zwei Dreiecke auf drei Geraden . 222
11.4 Ein Kegel zur Winkeldreiteilung. 222
11.5 Die Schnittpunkte von drei Kugeln . 223
11.6 Der vierte Kreis. 225
11.7 Die Fläche eines sphärischen Dreiecks. 226
11.8 Die Euler'sche Polyederformel. 227
11.9 Flächen und Vertices in Eulers Formel. 229
11.10 Weshalb sich manche Arten von Flächen in Polyedern
wiederholen. 232
11.11 Eulerund Descartesä la Pölya. 233
11.12 Die Quadratur von Quadraten und die "Würfelung" von Würfeln 234
11.13 Aufgaben. 235
"1 £ Weitere Sätze, Aufgaben und Beweise. 237
12.1 Abzählbare und überabzählbare Mengen. 237
12.2 Der Satz von Cantor, Schröder und Bernstein. 239
12.3 Die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung. 241
12.4 Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem
Mittel. 242
12.5 Zwei Origamiperlen. 244
12.6 Wie zeichnet man eine Gerade?. 247
12.7 Einige Schmuckstücke an Funktionalgleichungen. 249
12.8 Funktionalungleichungen. 257
12.9 Die Euler-Reihe für n2/6 . 261
12.10 Das Wallis-Produkt . 264
12.11 Die Stirling'sche Näherung für n!. 265
12.12 Aufgaben. 268
Lösungen zu den Aufgaben . 271
Literaturverzeichnis. 309
Sachverzeichnis . 319 |
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