Algebra: für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik
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Wiesbaden
Springer Spektrum
2013
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| Edition: | 2., aktualis. Aufl. |
| Series: | Aufbaukurs Mathematik
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| Item Description: | Erg. u.d.T.: Fuchs, Clemens: Übungen zur Algebra |
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Algebra
Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit
einem systematischen Aufbau. Der Text kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorle¬
sung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung
notwendig sind (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen
Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel
und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung
in Algebren und Moduln. Der Text wurde für die 2. Auflage vollständig durchgesehen
und an vielen Stellen verbessert.
Der Inhalt
Die Entstehung der Algebra - Symmetrien in der Geometrie - Gruppen - Sätze von
Sylow Satz von Jordan Holder - Symmetrie - Platonische Körper - Universelle Kon¬
struktionen - Endlich erzeugte abelsche Gruppen - Ringe - Lokalisierung - Hauptide¬
alringe und
faktorielie
Ringe - Quadratische Zahlringe - Polynomringe - Grundlagen
der Körpertheorie - Theorie der Körpererweiterungen - Die
Galois-
Korrespondenz
- Kreisteilungskörper - Das quadratische Reziprozitätsgesetz - Auflösung durch Radi
kale
- Konstruktionen mit Zirkel und Lineal - Darstellungen von endlichen Gruppen
- Charaktere - Moduln und Algebren Tensorprodukte
Die Zielgruppen
• Studierende der Mathematik ab dem 3. Semester
• Studierende der Physik und Informatik ab dem 3. Semester
• Mathematiker/innen an Hochschulen
Inhalt
Prolog
Die Entstehung der Algebra.1
Das Erbe der Griechen.1
Die Renaissance in Italien.2
Auf dem Weg zur modernen Algebra.2
Symmetrien.3
Transformationen.3
Affine und euklidische Räume.3
Die Bewegungsgruppe in der euklidischen Ebene.5
Symmetrie von Objekten.6
Teil
I
Gruppen
1 Gruppen.9
1.1 Grundlegende Begriffe.9
1.2 Untergruppen und Homomorphismen.15
1.3 Direkte Produkte und Summen.17
1.4 Aktionen.19
1.5 Normalteiler und Faktorgruppen.25
1.6 Zyklische Gruppen.28
1.7 Anhang: Der euklidische Algorithmus.30
Übungsaufgaben.31
2 Die Sätze von Sylow.35
2.1 Die Klassengleichung.35
2.2 Exponenten.36
2.3 p-Sylow-Untergruppen.36
Übungsaufgaben.39
3 Der Satz von Jordan-Holder.40
3.1 Auflösbare und einfache Gruppen.40
3.2 Verfeinerung von Normalreihen.42
Übungsaufgaben.45
4 Symmetrie.46
4.1 Permutationsgruppen.46
4.2 Beispiele.49
4.2.1 Die Gruppe 93.49
4.2.2 Die Gruppe si4.49
4.2.3 Die Gruppe 9A.50
4.2.4 Die Gruppe db.50
Übungsaufgaben.51
5 Platonische Körper.53
5.1 Polytope und Polyeder.53
5.2 Das Tetraeder.56
5.3 Der Würfel und das Oktaeder.57
5.4 Das Dodekaeder und das Ikosaeder.57
6 Universelle Konstruktionen.59
6.1 Produkte und Koprodukte von Mengen.59
6.2 Produkte und Koprodukte von Gruppen.60
6.3 Semidirekte Produkte.62
6.4 Freie Gruppen.66
6.5 Beispiele.68
Übungsaufgaben.71
7 Endlich erzeugte abelsche Gruppen.72
7.1 Freie abelsche Gruppen.72
7.2 Torsion in Gruppen.74
7.3 Struktur endlicher abelscher Gruppen.76
Übungsaufgaben.79
Teil
II
Ringtheorie
8 Ringe.80
8.1 Grundlagen.80
8.2 Unterringe und Homomorphismen.82
8.3 Produkte von Ringen.84
8.4 Ideale und Faktorenringe.85
8.5 Ideale in kommutativen Ringen.87
8.6 Der chinesische Restsatz.90
Übungsaufgaben.93
g
Lokalisierung.96
9.1 Lokalisierung von Ringen.96
9.2 Ideale und Lokalisierung.98
Übungsaufgaben.99
10 Haupt idealringe und
fakt
or ielle
Ringe.100
10.1
Faktorielie
Ringe.100
10.2 Euklidische Ringe.103
Übungsaufgaben.103
11 Quadratische Zahlringe.104
11.1 Zahlringe.104
11.2 Einheiten.105
11.3 Die
pelisene
Gleichung.107
11.4 Primelemente im gaussschen Zahlring.110
Übungsaufgaben.111
12 Polynomringe.112
12.1 Polynome.112
12.2 Polynome in mehreren Variablen.113
12.3 Auswerten von Polynomen.115
12.4 Potenzreihen.116
12.5 Derivationen.116
12.6 Symmetrische Funktionen.118
12.7 Resultante und
Diskriminante
.122
12.8 Eindeutige Primfaktorzerlegung.125
12.9 Irreduzibilität.127
Übungsaufgaben.129
Teil
III
Abriss der Körpertheorie
13 Grundlagen der Körpertheorie.132
13.1 Körper und Primkörper.132
13.2 Körpererweiterungen.133
13.3 Algebraische Körpererweiterungen.135
13.4 Algebraisch abgeschlossene Erweiterungen.137
13.5 Konjugierte Erweiterungen.138
Übungsaufgaben.141
14 Theorie der Körpererweiterungen.142
14.1 Separabilität.142
14.2 Inseparabilität.148
14.3 Normale Erweiterungen.149
Übungsaufgaben.151
Teil
IV
Galois-Theorie
15 Die Galois-Korrespondenz.153
15.1 Galois-Erweiterungen.153
15.2 Hauptsatz der Galois-Theorie.155
15.3 Ein Beispiel.159
15.4 Anwendungen der Galois-Theorie.160
Übungsaufgaben.162
16 Kreisteilungskörper.164
16.1 Einheitswurzeln.164
16.2 Irreduzibilität des Kreisteilungspolynoms.168
Übungsaufgaben.171
17 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.172
17.1 Quadratische Erweiterungen.172
17.2 Gausssche Summen.174
17.3 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.175
Übungsaufgaben.177
18 Auflösung durch Radikale.178
18.1 Der Satz von Speiser.178
18.2 Kummer-Theorie.180
18.3 Artin-Schreier-Theorie.183
18.4 Zyklische Erweiterungen.184
18.5 Der Hauptsatz.185
18.6 Kubische Gleichungen.187
19 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.189
Teil
V
Darstellungen von endlichen Gruppen
20 Grundlagen.192
20.1 Darstellungen.192
20.2 Grundlegende Beispiele.193
20.3 Projektoren.197
20.4 Irreduzible Darstellungen.199
20.5 Die induzierte Darstellung.203
20.6 Adjungierte Funktoren.206
Übungsaufgaben.208
21 Charaktere.210
21.1 Der Charakter einer Darstellung.210
21.2 Orthogonalitätsrelationen.212
21.3 Zerlegung der regulären Darstellung.,.215
21.4 Anzahl der irreduziblen Darstellungen.216
21.5 Beispiele.218
21.5.1 Die Gruppe 5r2.218
21.5.2 Zyklische Gruppen.218
21.5.3 Die Gruppe ,93.218
21.5.4 Die Gruppe dA.219
21.5.5 Die Gruppe 9A.220
Übungsaufgaben.221
Teil
VI
Moduln und Algebren
22 Moduln und Algebren.222
22.1 Grundlegende Begriffe.222
22.2 Homomorphismen und freie Moduln.224
22.3 Vollständig reduzible Moduln.226
22.4 Der Satz von Wedderburn.229
22.5 Quaternionenalgebren.231
Übungsaufgaben.234
23 Tensorprodukte.235
23.1 Tensorprodukt von Moduln.235
23.2 Assoziativität des Tensorprodukts.237
23.3 Homomorphismen und direkte Summen.238
23.4 Tensorprodukt von Algebren.240
Inhalt
23.5 Die Tensoralgebra.241
23.6 Die symmetrische Algebra.243
23.7 Die
Clifford-
Algebra.244
Literaturverzeichnis.245
Liste der Symbole.247
Index.249 |
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| spelling | Wüstholz, Gisbert 1948- (DE-588)129338710 aut Algebra für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik Gisbert Wüstholz 2., aktualis. Aufl. Wiesbaden Springer Spektrum 2013 XIV, 256 S. graph. Darst. 240 mm x 168 mm txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Aufbaukurs Mathematik Erg. u.d.T.: Fuchs, Clemens: Übungen zur Algebra Algebra (DE-588)4001156-2 gnd rswk-swf (DE-588)4123623-3 Lehrbuch gnd-content Algebra (DE-588)4001156-2 s DE-604 Erscheint auch als Online-Ausgabe 978-3-8348-8678-1 X:MVB text/html http://deposit.dnb.de/cgi-bin/dokserv?id=4012573&prov=M&dok_var=1&dok_ext=htm Inhaltstext Digitalisierung UB Passau - ADAM Catalogue Enrichment application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=025418155&sequence=000003&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis Digitalisierung UB Passau - ADAM Catalogue Enrichment application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=025418155&sequence=000004&line_number=0002&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Klappentext |
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