Philosophie der Mathematik:
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Berlin [u.a.]
de Gruyter
2012
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT ZUR 2. AUFLAGE VII
VORWORT ZUR 1. AUFLAGE IX
EINLEITUNG 1
1 AUF DEM WEG ZU DEN REELLEN ZAHLEN 7
1.1 IRRATIONALITAET 7
1.2 INKOMMENSURABILITAET 10
1.3 RECHNEN MIT A / 2 ? 14
1.4 NAEHERUNGSVERFAHREN, INTERVALLSCHACHTELUNGEN UND VOLLSTAENDIGKEIT . .
. . 15
1.5 ZUR KONSTRUKTION DER REELLEN ZAHLEN 21
1.6 UEBER DEN UMGANG MIT DEM UNENDLICHEN 23
1.7 UNENDLICHE NICHT PERIODISCHE DEZIMALBRUECHE 25
2 AUS DER GESCHICHTE DER PHILOSOPHIE UND MATHEMATIK 28
2.1 PYTHAGORAS UND DIE PYTHAGOREER 30
2.2 PIATON 33
2.3 ARISTOTELES 36
2.4 EUKLID 40
2.5 PROKLOS 42
2.6 NIKOLAUS VON KUES 44
2.7 DESCARTES 47
2.8 PASCAL 51
2.9 LEIBNIZ 53
2.10 KANT 56
2.11 MILL UND EMPIRISTISCHE KONZEPTIONEN 61
2.12 BOLZANO 65
2.13 GAUSS 68
2.14 CANTOR 69
2.15 DEDEKIND 74
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IMAGE 2
XII
INHALTSVERZEICHNIS
2.16 POINCARE 78
2.17 LOGIZISMUS 83
2.18 INTUITIONISMUS 9 2
2.19 KONSTRUKTIVISMUS 103
2.20 FORMALISMUS 105
2.21 PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK VON 1931 BIS IN DIE 1950ER JAHRE 113
2.22 DER EVOLUTIONAERE STANDPUNKT - EINE NEUE PHILOSOPHISCHE
GRUNDPOSITION 119
2.23 PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK NACH 1960 126
2.23.1 QUASI-EMPIRISCHE KONZEPTIONEN 128
2.23.2 REALISMUS UND ANTIREALISMUS 136
3 UEBER GRUNDFRAGEN DER PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK 139
3.1 ZUM ZAHLBEGRIFF 139
3.1.1 UEBERBLICK UEBER EINIGE ANSICHTEN 140
3.1.2 RESUEMEE 141
3.2 UNENDLICHKEITEN 146
3.2.1 UEBER DIE PROBLEMATIK DES UNENDLICHEN 146
3.2.2 DIE AUFFASSUNG DES ARISTOTELES 149
3.2.3 DIE IDEALISTISCHE AUFFASSUNG 150
3.2.4 DER EMPIRISTISCHE STANDPUNKT 151
3.2.5 UNENDLICHKEIT BEI KANT 152
3.2.6 DIE INTUITIONISTISCHE UNENDLICHKEIT 154
3.2.7 DIE LOGIZISTISCHE HYPOTHESE DES UNENDLICHEN 154
3.2.8 UNENDLICHKEIT UND DIE NEUERE PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK . . . 155
3.2.9 FORMALISTISCHE HALTUNG UND HEUTIGE TENDENZEN 156
3.3 DAS KONTINUUM UND DAS UNENDLICH KLEINE 157
3.3.1 DAS ALLGEMEINE PROBLEM 158
3.3.2 AUS DER GESCHICHTE DES KONTINUUMS 160
3.3.3 WAS IST EIN PUNKT? 172
3.3.4 AUS DER GESCHICHTE DES KONTINUUMS - FORTSETZUNG 177
3.3.5 EINE UEBERSICHT UEBER AUFFASSUNGEN DES KONTINUUMS 181
3.3.6 NOTIZEN ZUR ARITHMETISIERUNG DES KONTINUUMS 184
3.3.7 DAS ENDE DER INFINITESIMALIEN UND IHRE WIEDERENTDECKUNG . . . 186
3.3.8 NICHTSTANDARDZAHLEN UND DAS KONTINUUM 192
3.3.9 FOLGEN FUER DIE AUFFASSUNG DES KONTINUUMS 196
3.3.10 DAS VERSCHWINDEN DER GROESSEN 202
3.3.11 ABSCHLIESSENDE BEMERKUNGEN 209
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS X I I I
3.4 ZUM PROBLEM DER ANWENDBARKEIT DER MATHEMATIK 213
3.4.1 ASPEKTE DES PROBLEMS 213
3.4.2 DAS PROBLEM DER ANWENDUNG IN HISTORISCHEN AUFFASSUNGEN . . 2 1 8
3.4.3 DIE KLASSISCHEN POSITIONEN 224
3.4.4 NEUERE KONZEPTIONEN 227
3.4.5 RUECKBLICK 228
3.5 SCHLUSS 232
3.5.1 VON DEN NATUERLICHEN ZU DEN RATIONALEN ZAHLEN 234
3.5.2 INKOMMENSURABILITAET UND IRRATIONALITAET 235
3.5.3 ADJUNKTION 237
3.5.4 DAS LINEARE KONTINUUM 237
3.5.5 DAS UNENDLICH KLEINE 238
3.5.6 KONSTRUKTION, UNENDLICHKEIT, UNENDLICHE NICHT PERIODISCHE
DEZIMALBRUECHE 240
3.5.7 SCHLUSSBEMERKUNG 241
4 MENGEN UND MENGENLEHREN 243
4.1 PARADOXIEN DES UNENDLICHEN 244
4.2 UEBER DEN BEGRIFF DER MENGE 246
4.2.1 MENGEN UND DAS UNIVERSALIENPROBLEM 247
4.3 ZWEI MENGENLEHREN 250
4.3.1 DIE MENGENLEHRE NACH ZERMELO UND FRAENKEL 252
4.3.2 DIE MENGENLEHRE NACH VON NEUMANN, BERNAYS UND GOEDEL . . . 260
4.3.3 ANMERKUNGEN 266
4.3.4 UEBER MODIFIKATIONEN 268
4.4 AUSWAHLAXIOM UND KONTINUUMSHYPOTHESE 269
4.4.1 SUCHE NACH NEUEN AXIOMEN 275
4.4.2 WEITERE BEMERKUNGEN UND FRAGEN 280
4.5 SCHLUSS 281
5 AXIOMATIK UND LOGIK 286
5.1 EINIGE ELEMENTE DER MATHEMATISCHEN LOGIK 287
5.1.1 SYNTAX 287
5.1.2 SEMANTIK 290
5.1.3 KALKUEL 293
5.2 BEMERKUNGEN ZUR GESCHICHTE 295
5.2.1 AUS DER GESCHICHTE DER LOGIK 296
5.2.2 ZUR GESCHICHTE DER AXIOMATIK 304
IMAGE 4
X I V
INHALTSVERZEICHNIS
5.3 LOGISCHE AXIOMATIK UND THEORIEN 310
5.3.1 PEANO-ARITHMETIK 312
5.3.2 EINE AXIOMATIK FUER DIE REELLEN ZAHLEN 313
5.4 UEBER DIE ARITHMETIK DER NATUERLICHEN ZAHLEN 315
5.4.1 ZUM SYNTAKTISCHEN ASPEKT 316
5.4.2 ZUM SEMANTISCHEN ASPEKT 319
5.5 WAHRHEIT UND BEWEISBARKEIT 323
5.5.1 FORMALE WAHRHEIT 324
5.5.2 VOLLSTAENDIGKEIT UND WAHRHEIT 325
5.5.3 SYNTAKTISCHE REDUKTION DER WAHRHEIT 328
5.5.4 WAHRHEIT UNGLEICH BEWEISBARKEIT 330
5.5.5 SUCHE NACH AUSWEGEN 332
5.5.6 SCHLUSSBEMERKUNG 334
5.6 SCHLUSSFOLGERUNGEN 335
5.6.1 SCHLUSS 336
6 RUECKBLICK 339
6.1 SETZUNG DER REELLEN ZAHLEN 340
6.2 AXIOMATISCHE METHODE 342
6.3 ZAHLBEGRIFF 343
6.4 UNENDLICHKEIT, AUSWAHLAXIOM UND KONTINUUMSHYPOTHESE 343
6.5 DAS UNENDLICH KLEINE UND DAS KONTINUUM 345
6.6 ANWENDBARKEIT 346
6.7 THEORETISCHE GRENZEN 347
6.8 COMPUTEREINSATZ 348
6.9 WAS IST PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK UND WOZU DIENT SIE? 349
6.10 EVIDENZ UND TRANSZENDENZ 351
KURZBIOGRAPHIEN 354
LITERATURVERZEICHNIS 368
PERSONENVERZEICHNIS 382
SYMBOLVERZEICHNIS 387
BEGRIFFSVERZEICHNIS 389
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