Finite-Elemente-Methode: rechnergestützte Einführung
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg [u.a.]
Springer Vieweg
2012
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| Ausgabe: | 4., neu bearb. und erg. Aufl. |
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| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XVI, 443 S. Ill., zahlr. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783642295058 |
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IMAGE 1
INHALTSVERZEICHNIS
1 EINLEITUNG
1.1 VORGEHENSWEISE BEI DER FEM 3
1.2 VERSCHIEDENE ELEMENTTYPEN 5
1.3 BEISPIELE ZUR FINITE-ELEMENTE-METHODE 10
1.3.1 BEISPIEL ZU NICHTLINEAREN PROBLEMEN 10
1.3.2 BEISPIELE ZUR OPTIMIERUNG 1 1
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
2.1 SCHREIBWEISEN 19
2.2 VEKTOREN 20
2.2.1 DEFINITION EINES N DIMENSIONALEN VEKTORS 20
2.2.2 SKALARPRODUKT 20
2.2.3 KREUZPRODUKT 20
2.2.4 ABLEITUNG VON VEKTOREN 2 1
2.2.5 DER NABLA-VEKTOR 22
2.2.6 DER GRADIENTENVEKTOR 22
2.2.7 DIVERGENZ UND LAPLACE-OPERATOR 23
2.3 MATRIZEN 23
2.3.1 . DEFINITION EINER MATRIX 23
2.3.2 RECHENREGELN 24
2.3.3 TRANSPONIERTE MATRIX 26
2.3.4 ORTHOGONALE MATRIX 27
2.4 DIE DYADE (TENSOR ZWEITER STUFE) 27
2.4.1 DIFFERENTIALOPERATOR 28
2.4.2 TENSOR HOEHERER STUFE 28
2.5 FELDER 28
2.5.1 SKALARFELDER 28
2.5.2 DAS VEKTORFELD ALS GRADIENT DES SKALARFELDES 29
2.5.3 DAS DYADISCHE FELD 29
2.6 LINEARE TRANSFORMATION 32
2.6.1 TRANSFORMATION EINES VEKTORS 32
2.6.2 TRANSFORMATION EINER DYADE (TENSOR ZWEITER STUFE) 34
2.6.3 BEISPIELE ZUR TRANSFORMATION 34
2.7 FUNKTIONALE 36
2.7.1 DISKRETISIERUNG DES FUNKTIONAIS 38
2.8 DREIECKSKOORDINATEN 39
2.8.1 ABLEITUNGEN IN DREIECKSKOORDINATEN (JAKOBI-MATRIX) 4 1
2.8.2 INTEGRATION IN DREIECKSKOORDINATEN 44
2.9 NUMERISCHE INTEGRATION (QUADRATUR) 45
2.9.1 NUMERISCHE INTEGRATION FUER EINDIMENSIONALE PROBLEME . 45
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IMAGE 2
X
INHALTSVERZEICHNIS
2.9.2 NUMERISCHE INTEGRATION IN DREIECKSKOORDINATEN 46
2.10 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME BEI DER FEM 48
2.10.1 DEFINITION DER BANDBREITE 48
2.10.2 RECHENZEITEN ZUR LOESUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 49
2.10.3 POSITIV DEFINITE MATRIX 50
2.10.4 DAS VERFAHREN VON CHOLESKY 5 1
2.10.5 KONDITION LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 53
2.10.6 ZWANGSBEDINGUNGEN BEI LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN . 55
2.11 NAEHERUNGSFEHLER BEI DER FEM 57
2.12 DAS TONTI-DIAGRAMM 58
3 BESCHREIBUNG ELASTOSTATISCHER PROBLEME
3.1 DIE GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITAETSTHEORIE 6 1
3.1.1 VERKNUEPFUNG DER VERSCHIEBUNGEN MIT DEN DEHNUNGEN . 6 1
3.1.2 DAS STOFFGESETZ 62
3.1.3 GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN 62
3.1.4 RANDBEDINGUNGEN 62
3.1.5 DAS TONTI-DIAGRAMM DES ELASTOSTATISCHEN PROBLEMS 63 3.1.6
VERKNUEPFUNG DER GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTOSTATIK 64
3.2 DAS PRINZIP VIRTUELLER VERRUECKUNGEN 65
3.2.1 DAS PRINZIP VOM GESAMTPOTENTIAL 65
4 DAS VERFAHREN VON RITZ
4.1 AUFPRAEGEN DER WESENTLICHEN RANDBEDINGUNGEN 72
4.1.1 BEISPIEL ZU DEN WESENTLICHEN RANDBEDINGUNGEN 73
4.2 EINDIMENSIONALE STABPROBLEME 75
4.2.1 DISKRETISIERUNG DER FORMAENDERUNGSARBEIT 75
4.2.2 DISKRETISIERUNG DES POTENTIALS DER AEUSSEREN LASTEN 76
4.2.3 BEISPIEL ZUM EINDIMENSIONALEN STAB 77
4.3 EINDIMENSIONALE BALKENPROBLEME 79
4.3.1 DISKRETISIERUNG DER FORMAENDERUNGSARBEIT 79
4.3.2 DISKRETISIERUNG DES POTENTIALS DER AEUSSEREN LASTEN 79
4.3.3 VARIATION DES GESAMTPOTENTIALS 80
4.4 SCHEIBEN PROBLEM 84
4.4.1 VERSCHIEBUNGSANSAETZE 85
4.4.2 WESENTLICHE RANDBEDINGUNGEN 85
4.4.3 DEHNUNGEN UND SPANNUNGEN DER SCHEIBE 86
4.4.4 DISKRETISIERUNG DER FORMAENDERUNGSARBEIT 87
4.4.5 DISKRETISIERUNG DES POTENTIALS DER AEUSSEREN LASTEN 88
4.4.6 VARIATION DES GESAMTPOTENTIALS 89
4.4.7 KRAGBALKEN ALS SCHEIBENPROBLEM 89
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS XI
5 STABELEMENTE
5.1 DAS EINDIMENSIONALE STABELEMENT 95
5.1.1 PROBLEMDEFINITION 95
5.1.2 DAS TONTI-DIAGRAMM DES STABES 95
5.1.3 DAS FUNKTIONAL DES STABPROBLEMES 98
5.1.4 DISKRETISIERUNG DES FUNKTIONAIS DES STABES 98
5.1.5 VARIATION DES FUNKTIONAIS 101
5.1.6 BEISPIEL ZUM EINDIMENSIONALEN STAB 103
5.1.7 DIREKTE ERSTELLUNG DER GESAMTSTEIFIGKEITSMATRIX 109 5.1.8
ERSTELLUNG DER GESAMTSTEIFIGKEITSMATRIX (ALLGEMEIN) 111
5.1.9 UEBUNGSBEISPIELE ZUM EINDIMENSIONALEN STAB 113
5.1.10 VARIABLE QUERSCHNITTSFLAECHE DES STABELEMENTES 115
5.1.11 EINDIMENSIONALES STABELEMENT MIT N KNOTEN 116
5.1.12 EINDIMENSIONALER STAB MIT DREI BZW. VIER KNOTEN 119
5.2 DAS ZWEI- UND DREIDIMENSIONALE STABELEMENT 120
5.2.1 DAS ZWEIDIMENSIONALE STABELEMENT 120
5.2.2 BEISPIEL ZUM ZWEIDIMENSIONALEN STABPROBLEM 123
5.2.3 OPTIMIERUNG EINES STABTRAGWERKES 128
5.2.4 UEBUNGSBEISPIELE ZUM ZWEIDIMENSIONALEN STAB 131
5.2.5 DAS DREIDIMENSIONALE STABELEMENT 134
6 BALKENELEMENTE
6.1 DAS EINDIMENSIONALE BALKENELEMENT 139
6.1.1 PROBLEMDEFINITION 139
6.1.2 DEHNUNGEN UND SPANNUNGEN IM BALKEN 140
6.1.3 DAS TONTI-DIAGRAMM DES BERNOULLI-BALKENS 141
6.1.4 FUNKTIONAL DES BALKENPROBLEMS 142
6.1.5 FORMFUNKTIONEN DES EINDIMENSIONALEN BALKENS 143
6.1.6 DISKRETISIERUNG DES FUNKTIONAIS 145
6.1.7 VARIATION DES DISKRETISIERTEN FUNKTIONAIS 147
6.1.8 BILDEN DER STEIFIGKEITSMATRIX 148
6.1.9 DISKRETISIERUNG DER STRECKENLAST 149
6.1.10 SCHNITTGROESSEN DES BALKENELEMENTES 151
6.2 BEISPIEL ZUM EINDIMENSIONALEN BALKEN 153
6.2.1 ZWEISEITIG GELAGERTER BALKEN MIT STRECKENLAST 153
6.2.2 KONVERGENZTEST BEIM ZWEIKNOTIGEN BALKENELEMENT 157
6.2.3 REALISIERUNG DES GELENKES UEBER EINE ZWANGSBEDINGUNG. 159
6.3 UEBUNGSBEISPIELE ZUM BERNOULLI-BALKEN 161
6.4 BALKENELEMENT MIT N KNOTEN UND P FREIHEITSGRADEN PRO
KNOTEN 164
6.4.1 DAS EINDIMENSIONALE BALKENELEMENT MIT DREI KNOTEN 167
IMAGE 4
XII
INHALTSVERZEICHNIS
6.5 DAS EINDIMENSIONALE BALKENELEMENT MIT DREI FREIHEITSGRA
DEN PRO KNOTEN 171
6.5.1 BALKEN MIT UNSTETIGER KRUEMMUNGSVERTEILUNG 174
6.6 DER TIMOSHENKO-BALKEN 175
6.6.1 SCHNITTGROESSEN BEIM TIMOSHENKO-BALKEN 181
6.6.2 " LOCKING-EFFECT" 182
6.6.3 UEBUNGSBEISPIELE ZUM TIMOSHENKO-BALKEN 184
6.7 DER ELASTISCH GELAGERTE BALKEN 185
6.7.1 BEISPIEL ZUM ELASTISCH GELAGERTEN BALKEN 187
6.8 ZWEIDIMENSIONALES BALKENELEMENT 192
6.8.1 FREIHEITSGRADE DES ZWEIDIMENSIONALEN BALKENS 192
6.8.2 UEBERLAGERUNG DER DEHNUNGEN VON STAB UND BALKEN 192
6.8.3 STEIFIGKEITSMATRIX 193
6.8.4 TRANSFORMATION DER STEIFIGKEITSMATRIX 195
6.9 BEISPIEL UND UEBUNGSBEISPIELE ZUM ZWEIDIMENSIONALEN BAL
KEN 198
6.9.1 WINKELPROBLEM 198
6.9.2 UEBUNGSBEISPIELE ZUM ZWEIDIMENSIONALEN BALKEN 204
7 SCHEIBENPROBLEM
7.1 PROBLEMDEFINITION 209
7.2 DIE GRUNDGLEICHUNGEN DES SCHEIBENPROBLEMS 210
7.2.1 DIE FELDGLEICHUNGEN DER SCHEIBE 211
7.3 DAS FUNKTIONAL DES SCHEIBENPROBLEMS 212
7.4 DISKRETISIERUNG DES FUNKTIONAIS MIT DREI KNOTEN 213
7.4.1 FORMFUNKTIONEN DES DREIECKSELEMENTES MIT DREI KNOTEN . 213
7.4.2 VARIATION DES DISKRETISIERTEN FUNKTIONAIS 217
7.4.3 DISKRETISIERUNG DER VOLUMENKRAEFTE 219
7.4.4 DISKRETISIERUNG DER STRECKEN LASTEN 222
7.4.5 SPANNUNGEN IN DER SCHEIBE 225
7.5 BEISPIELE ZUM SCHEIBENPROBLEM 225
7.6 UEBUNGSBEISPIELE ZUR SCHEIBE 232
8 PLATTEN- UND SCHALENELEMENTE
8.1 PROBLEMDEFINITION 237
8.2 GRUNDBEZIEHUNGEN DER PLATTE 237
8.2.1 VORAUSSETZUNGEN BEI DER KIRCHHOFF-PLATTE 237
8.2.2 KINEMATISCHE GROESSEN DER PLATTE 239
8.2.3 KRUEMMUNGS-MOMENTEN-BEZIEHUNG (STOFFGLEICHUNG) 240 8.2.4
GLEICHGEWICHTSBEZIEHUNGEN DER PLATTE 242
8.2.5 RANDBEDINGUNGEN DER PLATTE 242
8.3 DAS FUNKTIONAL DER PLATTE 243
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS XIII
8.4 ANFORDERUNGEN AN DAS PLATTENELEMENT 245
8.4.1 KOMPATIBILITAET (KONFORME ELEMENTE) 245
8.4.2 STARRKOERPERBEWEGUNG 246
8.4.3 KONSTANTER DEHNUNGSZUSTAND (VERZERRUNGSZUSTAND) 247
8.4.4 EINIGE DREIECKSPLATTENELEMENTE 247
8.5 DISKRETISIERUNG DES FUNKTIONAIS 249
8.5.1 ANSATZFUNKTION FUER DIE DURCHBIEGUNG 249
8.5.2 INTERPOLATIONSBEDINGUNGEN 250
8.5.3 FORMFUNKTIONEN 253
8.5.4 KRUEMMUNGS-VERSCHIEBUNGS-BEZIEHUNG 253
8.5.5 STEIFIGKEITSMATRIX 254
8.5.6 FLAECHENLAST 255
8.5.7 STRECKENLAST ENTLANG EINER ELEMENTKANTE 256
8.6 KONVERGENZTEST DES PLATTENELEMENTES 257
8.6.1 VERGLEICH DER PLATTEN NACH D K T UND SPECHT 258
8.7 SCHALENELEMENT 259
8.7.1 KONVERGENZTEST FUER VERSCHIEDENE SCHALENELEMENTTYPEN. 265
9 RAEUMLICHER SPANNUNGSZUSTAND
9.1 PROBLEMDEFINITION 271
9.2 DIE GRUNDGLEICHUNGEN DES RAEUMLICHEN PROBLEMS 271
9.2.1 DIE FELDGLEICHUNGEN DES RAEUMLICHEN PROBLEMS 272
9.3 DAS FUNKTIONAL DES RAEUMLICHEN PROBLEMS 274
9.4 DAS VIERKNOTIGE TETRAEDERELEMENT 275
9.4.1 VOLUMENKOORDINATEN 275
9.4.2 DAS VIERKNOTIGE TETRAEDERELEMENT IN GLOBALEN KOORDINATEN 276
9.5 DISKRETISIERUNG DES FUNKTIONAIS 276
9.5.1 FORMFUNKTIONEN DES VIERKNOTIGEN TETRAEDERELEMENTES . 276
9.5.2 DEHNUNGS-VERSCHIEBUNGS-BEZIEHUNG 278
9.5.3 SPANNUNGS-VERSCHIEBUNGS-BEZIEHUNG 281
9.5.4 VARIATION DES DISKRETISIERTEN FUNKTIONAIS 282
9.5.5 STEIFIGKEITSMATRIX DES VIERKNOTIGEN TETRAEDERELEMENTES . 282
9.5.6 SPANNUNGEN IM VIERKNOTIGEN TETRAEDERELEMENT 286
9.5.7 FLAECHENLAST BEIM VIERKNOTIGEN TETRAEDERELEMENT 286
9.5.8 VOLUMENKRAEFTE BEIM VIERKNOTIGEN TETRAEDERELEMENT 288
9.5.9 KONVERGENZTEST IN DEN VERFORMUNGEN 289
9.5.10 KONVERGENZTEST IN DEN SPANNUNGEN 290
9.5.11 BEISPIEL ZU EINEM RAEUMLICHEN SPANNUNGSPROBLEM 291
10 FELDPROBLEME
10.1 WAERMEUEBERTRAGUNG 297
10.1.1 DIE POISSON'SEHE GLEICHUNG 297
IMAGE 6
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
10.1.2 RANDBEDINGUNGEN 297
10.1.3 DAS FUNKTIONAL DER WAERMEUEBERTRAGUNG 298
10.2 EINDIMENSIONALE WAERMEUEBERTRAGUNG 299
10.2.1 PROBLEMDEFINITION 299
10.2.2 FUNKTIONAL DES EINDIMENSIONALEN WAERMEUEBERTRAGUNGSPRO
BLEMS 299
10.2.3 DISKRETISIERUNG DES FUNKTIONAIS 300
10.2.4 VARIATION DES FUNKTIONAIS 304
10.2.5 BEISPIEL ZUR EINDIMENSIONALEN WAERMEUEBERTRAGUNG 305
10.2.6 UEBUNGSBEISPIELE: EINDIMENSIONALE WAERMEUEBERTRAGUNG . 310
10.3 ZWEIDIMENSIONALE WAERMEUEBERTRAGUNG 312
10.3.1 PROBLEMDEFINITION 312
10.3.2 RANDBEDINGUNGEN BEI DER ZWEIDIMENSIONALEN WAERMEUEBER
TRAGUNG 313
10.3.3 DISKRETISIERUNG DES FUNKTIONAIS 313
10.3.4 VARIATION DES FUNKTIONAIS 320
10.3.5 BEISPIEL ZUR ZWEIDIMENSIONALEN WAERMEUEBERTRAGUNG 322
10.3.6 UEBUNGSBEISPIELE: ZWEIDIMENSIONALE WAERMEUEBERTRAGUNG. 327
10.4 TORSION VON PRISMATISCHEN KOERPERN 331
10.4.1 FUNKTIONAL DES TORSIONSPROBLEMS 334
10.5 ANALOGIE: WAERMEUEBERTRAGUNG ZU SCHICHTENSTROEMUNG 337
10.5.1 PROBLEMBESCHREIBUNG 337
10.5.2 GRUNDGLEICHUNGEN 337
10.5.3 ANALOGIE DER RANDBEDINGUNGEN 339
10.5.4 ANALOGES FUNKTIONAL DES STROEMUNGSPROBLEMS 340
11 EIGENFREQUENZEN UND SCHWINGUNGSFORMEN VON STAEBEN UND
BALKEN
11.1 DER EINDIMENSIONALE STAB 345
11.1.1 MASSENMATRIX DES EINDIMENSIONALEN STABES 346
11.1.2 EIGENFREQUENZEN UND SCHWINGUNGSFORMEN 346
11.2 BEISPIELE ZUM EINDIMENSIONALEN STAB 348
11.2.1 EINMASSENSCHWINGER 348
11.2.2 ZWEIMASSENSCHWINGER 349
11.2.3 UEBUNGSBEISPIEL ZUR STABSCHWINGUNG 352
11.3 DER EINDIMENSIONALE BALKEN 352
11.3.1 MASSENMATRIX DES EINDIMENSIONALEN BALKENS 353
11.4 BEISPIELE ZUM EINDIMENSIONALEN BALKEN 353
11.4.1 BEIDSEITIG GELENKIG GELAGERTE BALKEN 354
11.4.2 KRAGBALKEN 356
11.4.3 UEBUNGSBEISPIEL ZUR BALKENSCHWINGUNG 359
IMAGE 7
INHALTSVERZEICHNIS
X V
12 NICHTLINEARE PROBLEME
12.1 GROSSE VERFORMUNGEN 363
12.1.1 DEHNUNGS-VERSCHIEBUNGS-BEZIEHUNG 363
12.1.2 DEHNUNGEN FUER STAB UND BALKEN 364
12.1.3 STAB MIT GROSSEN VERFORMUNGEN 364
12.1.4 BALKEN MIT GROSSEN VERFORMUNGEN 367
12.2 KNICKEN VON STAEBEN UND BALKEN 371
12.2.1 BEISPIEL ZUM STABKNICKEN 373
12.2.2 KNICKBEISPIEL I (STAB) 376
12.2.3 BEISPIEL ZUM KNICKEN VON BALKEN 376
12.2.4 DIE VIER EULERFAELLE 379
12.2.5 KNICKBEISPIEL II (BALKEN) 380
12.2.6 KNICKBEISPIEL III (DREIKNOTIGES BALKENELEMENT) 380
13 CALL_FOR_FEM
13.1 UEBERSICHT UEBER CALL_FOR_FEM 385
13.1.1 INSTALLATION VON CALLJOR.FEM AUF DEM RECHNER 386
13.1.2 UPDATES ZU CALL.FOR.FEM 386
13.1.3 LOESUNGEN ZU DEN UEBUNGSBEISPIELEN 387
13.1.4 HINWEISE AUF DIE LERNSOFTWARE DURCH ICONS 387
13.1.5 VIDEO-TUTORIALS ALS LERNMITTEL 387
13.2 NUMERISCHE PROGRAMME 388
13.3 SYMBOLISCHE PROGRAMME 390
13.3.1 SYMBOLISCHE PROGRAMME IN MAPLE UND PYTHON 390
13.3.2 SYMBOLISCHE PROGRAMME IN MAPLE 392
13.4 AUSFUEHRLICHE PROGRAMMBESCHREIBUNGEN 393
13.4.1 DAS PROGRAMM INTERFEM 393
13.4.2 DAS VERFAHREN VON RITZ FUER DEN EINDIMENSIONALEN STAB
(RITZ_STAB) 394
13.4.3 DAS VERFAHREN VON RITZ FUER DEN BALKEN (RITZ_BALKEN). 396
13.4.4 DAS VERFAHREN VON RITZ FUER DIE SCHEIBE (RITZ.SCHEIBE) . 397
13.4.5 EINDIMENSIONALES STABELEMENT (STAB.LD) 399
13.4.6 EINDIMENSIONALES BALKENELEMENT (BALKEN.LD) 402
13.4.7 TIMOSHENKO-BALKEN (TIMOSHENKO_LD) 403
13.4.8 DREIECKSSCHEIBENELEMENT (SCHEIBE-DREIECK) 403
13.4.9 PLATTENELEMENT (PLATTE) 404
13.4.10 KNICKEN EINES EINDIMENSIONALEN BALKENS (KNICKEN_BALKEN) 405
13.4.11 EIGENFREQUENZEN UND SCHWINGUNGSFORM DES BALKENS (DYNAMIK.BALKEN)
407
13.4.12 EINDIMENSIONALE FELDPROBLEME (FELDPROBLEME.LD) 407 13.4.13
ZWEIDIMENSIONALE FELDPROBLEME (FELDPROBLEME.2D) 408
IMAGE 8
XVI
INHALTSVERZEICHNIS
14 BEISPIELE ZU DEN PROGRAMMEN
14.1 ELASTISCH GELAGERTER BALKEN 413
14.2 SCHEIBE GESTUETZT DURCH EINE FEDER 414
14.3 WAERMEUEBERTRAGUNG (TORSION) EINES GLEICHSEITIGEN DREI ECKS
(QUADRATES) 416
VERWENDETE FORMELZEICHEN UND SYMBOLE 421
LITERATUR 433
SACHVERZEICHNIS 437
PROGRAMME 445 |
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