Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung ; Struktur, Funktion, Zahl
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Wiesbaden
Springer
2012
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1 Mathematik kulturhistorisch begreifen !
1.1 Mathematik zwischen Anwendung und Spiel 1
1.1.1 Vorbemerkung 1
1.1.2 Das Morley-Dreieck zwischen Anwendung und Spiel 2
1.1.3 Mathematik zwischen
„homo
faber und
„homo ludens
4
1.1.4 Mathematik und das Menschenrecht auf Irrtum 5
1.1.5 Ein Blick in die Anfange der Geometrie 7
1.1.5.1 Geometrisches Handeln in vorgeschichtlicher Zeit 7
1.1.5.2 Am Beginn geschichtlicher Zeit 10
1.1.5.3 Ein kurzer Blick in andere Kulturen: China, Japan und Neuseeland 12
1.1.6 Einige aktuelle Beispiele 13
1.1.6.1 Raumgeometrie und Raumanschauung 13
1.1.6.2 Inzidenzgeometrie und Endliche Geometrie 15
1.1.6.3 Tropische Geometrie 16
1.1.6.4 Freiformarchitektur und Mathematik 18
1.1.7 Fazit 18
1.2 Mathematik im kulturhistorischen Kontext 19
1.2.1 Fundamentale Ideen und grundlegende Begriffe 19
1.2.1.1 Grundsätzliche Betrachtungen 19
1.2.1.2 Kriterien bezüglich fundamentaler Ideen 21
1.2.1.3 Ein Beispiel: „Mittelwert & Mittelwertbilden und Konsequenzen 22
1.2.2 Historische Verankerung 24
1.2.2.1 Verankernde Ideen 24
1.2.2.2 Otto Toeplitz: „genetische Methode als didaktisches Konzept 25
1.2.3 Fazit: „historische Verankerung statt „genetische Methode 28
1.3 Mathematik, Begriff und Begriffsbildung 32
1.3.1 Was ist ein Begriff? - Ein erster Zugang und Gottlob
Frege
32
1.3.2 Begriffsbildung als Prozess 34
1.3.2.1 Begriffsbildung in ontogenetischer und in kulturhistorischer Sicht 34
1.3.2.2 Aspektvielfalt von „Begriffsbildung im mathematikdidaktischen Kontext 35
1.3.2.3 Phasen der Begriffsbildung 37
1.3.2.4 Das epistemologische Dreieck 39
1.3.3 Fazit 40
2 Grundlagen mathematischer Strukturen 41
2.1 Überblick 41
2.2 Algebra: vom Verfahren zur Struktur - uhd wieder zurück 41
2.2.1 Elementare algebraische Strukturen in naiver Sicht 41
2.2.2 Die grundlegende Wende in der „Algebra : vom Verfahren zur Struktur 42
2.2.3 „Algebra : zur Entstehung der Bezeichnung 43
2.2.4
Cardano
und seine Formeln 45
2.2.5 „Gruppen : wie es dazu kam 46
2.2.5.1 Gleichungslehre: 47
mit Permutationen von
Cardano
über Hudde bis zu Abel und
Galois
2.2.5.2 Felix Klein und die Geometrie: Invarianten bei Bewegungen 55
2.2.5.3 Gauß, Lagrange und die Zahlentheorie: Quadratische Formen 56
2.2.5.4 Gruppen bei Cayley und Weber: die Geburt der modernen Algebra 58
2.3 Logik und Mengen 59
2.3.1 Vorbemerkung 59
2.3.2 Aussagen und „klassische Aussagenlogik 59
2.3.3 Aussagenlogische Junktoren 64
2.3.3.1 Das aussagenlogische NICHT 64
2.3.3.2 Das aussagenlogische UND - die Konjunktion 66
2.3.3.3 Das aussagenlogische ODER - Adjunktion und Disjunktion 67
2.3.3.4 Das aussagenlogische WENN... DANN - die Subjunktion 67
2.3.3.5 Das aussagenlogische GENAUDANN ... WENN - die
Bifunktion
68
2.3.3.6 Gegensätze: „konträr versus „kontradiktorisch 68
2.3.4 Aussagenkalkül und aussagenlogische „Gesetze 68
2.3.5
Quantoren
und Variablenbindung 71
2.3.6 Zur „Ersetzungsregel und einer Konsequenz 72
2.3.7 Mengen 73
2.3.7.1 Zur Entstehung der Mengenlehre 73
2.3.7.2 Mengen - grundlegende Notationen und Definitionen 77
2.3.7.3
Extensionalitãtsprinzip
und Mengeninklusion 79
2.3.7.4 Aussonderungsprinzip und leere Menge 79
2.3.8 Mengenalgebra 81
2.3.8.1 Verknüpfungen von Mengen und Venn-Diagramm 81
2.3.8.2 Potenzmengen 84
2.3.8.3 Mengenalgebra als Struktur 85
2.3.9 Paarmengen und Produktmengen 88
2.3.10 Erste Anmerkungen zur „axiomatischen Mengenlehre 90
2.3.11 Vage Logik
(Fuzzy
Logic) - ein kurzer Einblick 91
3 Zu den historischen Wurzeln des Zahlbegriffs
3.1 Was ist eine Zahl?
3.1.1 Subj ektive Theorien zum Zahlbegriff
3.1.2 Vertiefende Diskussion
3.1.3 Aspekte von Begriffsbildung
3.2 Zum Zahlbegriff in vorgeschichtlicher Zeit
3.3 Zum Zahlbegriff in der Antike
3.3.1 Babylonische Keilschrifttafeln
3.3.1.1 Grundsätzliches
3.3.1.2
Yale
YBC 7289
3.3.1.3
Plimpton
322
3.3.2 In Kürze: zur Arithmetik der alten Ägypter
3.3.3 Hatten Babylonier und Ägypter schon einen „Zahlbegriff ?
3.3.4 Pythagoreer: Größenverhältnisse als Proportionen
3.3.4.1 Pythagoreer: Mathematik als „freie Wissenschaft , als „Spiel des Geistes
3.3.4.2 Zum Zahlenverständnis der Pythagoreer - Eins ist keine „Zahl !
3.3.4.3 „Alles ist Zahl
3.3.4.4 Wechselwegnahme und größtes gemeinsames Maß
3.3.4.5 Pythagoreische Mittelwerte und
babylon ischer
Approximationsalgorithmus
3.3.4.6 Babylonischer Algorithmus und Heron-Verfahren
3.3.5 Die Entdeckung der Irrationalität durch Hippasos von Metapont
3.3.5.1 Das Pentagramm der Pythagoreer
3.3.5.2 Hippasos von Metapont und das Pentagon
3.3.5.3 Wechselwegnahme bei Diagonale und Seite im regelmäßigen Fünfeck
3.3.5.4 Inkommensurabilität und Konsequenzen für die Verhältnisgleichheit
3.3.5.5 Irrationalität
3.3.5.6 Alternativen zur Entdeckung der Inkommensurabilität?
3.3.5.7 Ergänzungen
3.4 Fazit
4 Zur Kulturgeschichte des Funktionsbegriffs
4.1 Was ist eine Funktion? - Problematisierung
4.2 Zeittafel zur Entwicklung des Funktionsbegriffs
4.3
Markante Etappen
bei der Entwicklung des Funktionsbegriffs 132
4.3.1
Babylonier
132
4.3.2 Griechische Antike und Mittelalter - von kinematischen Kurven bis hin zu 132
zeitachsenorientierten Darstellungen
4.3.2.1 Griechische Antike: kinematisch erzeugte Kurven als Funktionen 133
4.3.2.2 Erstes Auftreten zeitachsenorientierter Darstellungengegen 1000 n. Chr. 134
4.3.2.3 Darstellung zeitabhängiger Größen durch Nicole d Oresme 137
4.3.3 Neuzeit: auf dem Weg zur Begriffsentwicklung-empirische Daten und 140
formale Ansätze von 1500 bis Anfang des 19. Jhs.
4.3.4 19. und 20. Jahrhundert: die Phase der Entwicklung des modernen 149
Funktionsbegriffs
4.4 Funktionen - die aktuelle große Vielfalt 156
4.4.1 Funktion als Relation - oder? 156
4.4.2 Aktuelle Gesichter von Funktionen 158
4.4.2.1 Rückblick und Konsequenz 158
4.4.2.2 Hörbare Funktionen 158
4.4.2.3 Digitalisierung und Diskretisierung als Funktionen 160
4.4.2.4 Sichtbare Funktionen 162
4.5 Fazit 163
4.6 Rückblick und didaktischer Ausblick: „Funktion als Tabelle 164
5 Strukturierung durch Relationen und Funktionen l65
5.1 Relationen und Funktionen - grundlegende Definitionen 165
5.1.1 Vorbetrachtungen zur Defmitionsfmdung 165
5.1.2 Binäre und mehrstellige Relationen 166
5.1.3 Funktionen 168
5.1.4 „Mehrstellige Funktionen versus „Funktionen mehrerer Veränderlicher ? 176
5.1.5 Binäre Operationen (Verknüpfungen) und mehrstellige Operationen 177
5.1.6 Verkettung von Relationen 179
5.2 Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen 181
5.2.1 Grundlegende Eigenschaften von binären Relationen - 181
Formalisierang und Visualisierung
5.2.2 Quotientenmengen und Zerlegungen 184
5.2.3 Halbordnung, Totalordnung, Striktordnung,
Trichotomie,
Wohlordnung 188
5.3 Strukturierung und
Axiomatik
- Grundsätzliches 192
5.3.1
Axiomatische
Methode 192
5.3.1.1 Was sind Axiome? 192
5.3.1.2 Was ist
Axiomatik?
194
5.3.1.3 Deduktion, Induktion undAbduktion 194
5.3.2 Axiomensysteme 195
5.3.2.1 Anforderungen an ein Axiomensystem 195
5.3.2.2 Widerspruchsfreiheit 196
5.3.2.3 Unabhängigkeit 197
5.3.2.4 Vollständigkeit 198
5.3.3 „Modell und „Modellierung - (wie) passt das zusammen? 198
5.3.4 Mengenalgebra als Boolesche Algebra 199
5.3.5 Zur Unabhängigkeit eines Axiomensystems am Beispiel von Gruppen 200
6 Natürliche Zahlen in axiomatischer Sichtweise 207
6.1 Was sind natürliche Zahlen? 207
6.2 Die Nachentdeckung der Dedekind-Peano-Axiome 209
6.3 Abstraktion: Dedekind-Peano-Algebra 213
6.4 Analyse von Dedekind-Peano-Algebren 217
6.4.1 Vollständige Induktion 217
6.4.2 Unabhängigkeit der Dedekind-Peano-Axiome 219
6.4.3 Homomorphismen in Dedekind-Peano-Algebren 220
6.4.4 Der Monomorphiesatz für Dedekind-Peano-Algebren 226
6.4.5 Der Rekursionssatz 228
6.5 Der angeordnete Halbring der natürlichen Zahlen 230
6.6 Endlichkeit und Abzählbarkeit 235
7 Brüche und Bruchentwicklungen 239
7.1 Was ist eigentlich ein „Bruch ? — Erste vorsichtige Ansätze 239
7.1.1 Vorgeschichte 239
7.1.2 Paradoxien bei Brüchen — das Chuquetmittel 239
7.1.3 Etymologische Aspekte 242
7.1.4 Erste historische Aspekte 242
7.1.5
Was ist
em
Brach? — (Typische?) Schlaglichter einer Umfrage
243
7.1.6
Wir tasten uns heran — erste algebraische Aspekte
244
7.1.7
Strukturmathematische Präzisierang
246
7.1.8
Brüche und „Aufbau des Zahlensystems
249
7.1.9
Die Menge der Bruchzahlen
250
7.1.10
Wohldefiniertheit bei Brachverknüpfungen
253
7.2
Grundvorstellungen bei Brüchen
255
7.2.1
Vorbemerkung
255
7.2.2
Einige Einstiegsbeispiele
255
7.2.3
Bruch als „Teil eines Ganzen oder als „Teil mehrerer Ganzer
256
7.2.4
Quasikardinaler Aspekt bei Brüchen
259
7.2.5
Quasiordinaler Aspekt bei Stammbrüchen
260
7.2.6
Brach als (Zahlen-)Verhältnis
261
7.2.7
Brach als Vergleichsinstratnent — der „von-Ansatz
262
7.2.8
Subjektive Erfahrungsbereiche
263
7.3
Vorstellungen und Darstellungen von
(Bruch-)Zahlen
267
7.3.1
Gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche
267
7.3.2
Brüche als Namen für Zahlen
268
7.3.3
Konkrete und abstrakte Brüche
269
7.3.4
Gleichwertigkeit konkreter Brüche
270
7.3.5
Brachzahlen als „Zahlen ?
270
7.4
Bruchrechnung
271
7.4.1
Vorbemerkung
271
7.4.2
Erweitern und Kürzen
271
7.4.3
Größenvergleich von Brüchen
276
7.4.4
Addition von Brächen
279
7.4.5
Subtraktion von Brüchen
285
7.4.6
Multiplikation von Brächen
286
7.4.7
Einbettung der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der
290
Brachzahlen
7.4.8
Identifizierung von Brachschreibweise und Divisionsschreibweise
290
7.4.9
Division von Brüchen
291
7.4.10
Doppelbräche
296
7.5 Bruchentwicklungen 297
7.5.1 Vorbemerkung 297
7.5.2 Stammbrachentwicklungen 298
7.5.3 Kettenbrachentwicklungen 304
7.5.4 Farey-Folgen und Fordkreise 307
8 Struktur der Zahlenbereiche 309
8.1 Ganze Zahlen und rationale Zahlen 309
8.1.1 Unvollständigkeiten des angeordneten Halbrings der natürlichen Zahlen 309
8.1.2 Einbettung — eine Übersicht 310
8.1.3 Konstraktion des Rings der ganzen Zahlen — Skizze 312
8.1.4 Konstraktion des Körpers der rationalen Zahlen — Skizze 316
8.2 Der archimedisch angeordnete, unvollständige Körper der 318
rationalen Zahlen
8.2.1 Der angeordnete Ring der ganzen Zahlen 318
8.2.2 Der angeordnete Körper der rationalen Zahlen 320
8.2.3 Dichtheit des angeordneten Körpers der rationalen Zahlen 321
8.2.4 Archimedizität des angeordneten Körpers der rationalen Zahlen 324
8.2.5 Folgenkonvergenz in angeordneten Körpern 328
8.2.6 Unvollständigkeit des angeordneten Körpers der rationalen Zahlen 336
8.3 Konstruktion der reellen Zahlen über Fundamentalfolgen 339
8.3.1 Der Körper der reellen Zahlen 339
8.3.2 Der archimedisch angeordnete Körper der reellen Zahlen 341
8.3.3 Zur Vollständigkeit des Axiomensystems der reellen Zahlen — Übersicht 344
8.3.4 Zur Monomorphie des Axiomensystems der reellen Zahlen 345
8.4 Ergänzungen und Ausblick 346
8.4.1
Axiomatische
Kennzeichnung der reellen Zahlen und der Unterstrukturen 346
8.4.2 Äquivalente Fassungen des Vollständigkeitsaxioms der reellen Zahlen 349
8.4.3 Alternative Konstraktionsmöglichkeiten der reellen Zahlen 352
8.4.4 Reelle Zahlen: „Konstraktion versus
„axiomatische
Kennzeichnung 352
8.4.5 Abzählbarkeitsfragen 353
8.4.6 Komplexe Zahlen und Quaternionen 360
9 Zu den Lösungen der Aufgaben 365
10 Literatur 403
11 Index 411
12 Symbolverzeichnis 425
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