Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies: [Auf einen Blick: was Sie über Zahlen und Rechenoperationen wissen sollten ; mit Gleichungen, Vektoren und Matrizen umgehen ; den Einstieg in die Geometrie bewältigen ; Differential- und Integralrechnung verstehen und anwenden ; vor dem Kurs auf Kurs]
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Weinheim
Wiley-VCH
2013
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | ... für Dummies
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 418 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783527707492 3527707492 |
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Titel: Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies
Autor: Räsch, Thoralf
Jahr: 2013
Inhaltsverzeichnis
Über den Autor 9
Danksagung 9
Einleitung 23
Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik
anhand vieler Beispiele 23
Überall praktische Beispiele 23
Törichte Annahmen über den Leser 24
Konventionen in diesem Buch 24
Wie dieses Buch strukturiert ist 25
Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 25
Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 25
Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 25
Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 26
Teil V: Differentiation und Integralrechnung 26
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 26
Die Symbole in diesem Buch 26
Den modularen Aufbau für sich nutzen 27
Teil 1
Zahlen und Rechenoperationen 29
Kapitel 1
Zahlen und Grundrechenarten 31
Mathematik und ihre natürlichen Zahlen 31
Eigenschaften der Grundrechenarten 33
Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 34
Aufgaben mit Klammern richtig lösen 37
Aus ganz wird rational - Bruchrechnung mal anders 37
Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche 40
Und plötzlich wird's irrational. und real! 42
Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 44
Das Summenzeichen 45
i^M9^m^mm^»Hmm^ /3 -¦
Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies
Kapitel 2
Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 4 7
Alles über Mengen 47
Mengen im Supermarkt? 47
Alles, nichts, oder? - Spezielle Mengen 48
Von Zahlen, Mengen und Intervallen 50
Mit Mengen einfach rechnen können 50
Venn-Diagramme 54
Prozentrechnung für den Alltag 56
Nur zwei Prozent Mieterhöhung 57
Das eigene Heim trotz Provision? 57
Die Bären kommen - Sinkende Aktienkurse 57
Bullen im Vormarsch - Steigende Kurse 57
Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 58
Immer auf die genaue Formulierung achten 58
Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 58
Zinsrechnung zum Verstehen 59
Lohnender Zinsertrag 59
Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 59
Suche nach dem Startkapital 60
Taggenaue Zinsen 60
Kapitalwachstum: Zinseszins 60
Eine feste Anlage für zehn Jahre 61
Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 61
Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 62
Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 62
Kapitel 3
Logische Grundlagen und Beuleismethoden 63
Logische Grundlagen 63
Wahre und falsche Aussagen 63
Aussagen verknüpfen 64
Die Mathematik als Sprache erkennen 65
Terme als die Worte im mathematischen Satz 66
Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 66
Mit Quantoren neue Formeln bilden 67
Notwendige und hinreichende Bedingungen 69
Die Unendlichkeit - unzählige Welten? 71
Mit abzählbaren Mengen zählen lernen 71
Jenseits der Zählbarkeit - überabzählbare Mengen 73
Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 74
Methode 1: Direkter Beweis ••
Methode 2: Indirekter Beweis 715
Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 7?
Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 7^
n
Inhaltsverzeichnis
Kapitel k
Grundlagen der Gleichungen und Ungleichungen 81
Gleichungen in Angriff nehmen 81
Ungleichungen in den Griff bekommen 85
Beträge ins Spiel bringen 87
Teil II
Keine Anqst Vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 91
Kapitel 5
Nicht reell aber real - die komplexen Zahlen 93
Was komplexe Zahlen wirklich sind 93
Komplexe Rechenoperationen 94
Die komplexe Addition 95
Die komplexe Multiplikation 95
Die Konjugierte einer komplexen Zahl 95
Die komplexe Division 96
Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 96
Komplexe quadratische Gleichungen 97
Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 98
Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 99
Der Betrag einer komplexen Zahl 99
Einmal Polarkoordinaten und zurück 100
Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 101
Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 101
Komplexe Potenzen und Wurzeln 102
Anwendungen komplexer Zahlen 104
Kapitel 6
Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume und lineare
Gleichungssysteme 107
Vektoren erleben 107
Vektoren veranschaulichen 109
Mit Vektoren anschaulich rechnen 110
Mit Vektoren rechnen 111
Betrag eines Vektors berechnen 114
Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 115
Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen 117
Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 120
Arten von Linearen Gleichungssystemen 123
Homogene Gleichungssysteme 124
Inhomogene Gleichungssysteme 124
Überbestimmte Gleichungssysteme 125
Unterbestimmte Gleichungssysteme 126
15
Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies
Quadratische Gleichungssysteme 126
Nicht lösbare Gleichungssysteme 127
Graphische Lösungsansätze für LGS 128
Kapitel 7
Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen 129
Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 129
Punkte im Raum 129
Parametergleichung für Geraden 130
Zweipunktegleichung für Geraden 132
Parametergleichung für Ebenen 133
Dreipunktegleichung für Ebenen 134
Koordinatengleichung für Ebenen 134
Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 135
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 137
Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 144
Kapitel 8
Überleben in der Welt der Matrizen 147
Was Matrizen eigentlich sind 147
Addition von Matrizen 148
Skalarmultiplikation von Matrizen 149
Multiplikation von Matrizen 149
Matrizen in Produktionsprozessen 150
Transponierte und symmetrische Matrizen 152
Keine Angst vor inversen Matrizen 152
Matrizen und lineare Gleichungssysteme 153
Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 154
Der Rang von Matrizen 159
Matrizen invertieren in der Praxis 160
Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 161
Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 162
Matrizen und lineare Abbildungen 162
Lineare Abbildungen an Beispielen 163
Matrizen als lineare Abbildungen 164
Bilder und Kerne, Ränge und Defekte - in der Theorie 164
Bilder und Kerne, Ränge und Defekte - in der Praxis 165
Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 167
Matrizen und ihre Determinanten 169
Determinanten von 2 x 2-Matrizen 169
Determinanten von 3 x 3-Matrizen 169
Determinanten von allgemeinen Matrizen 170
Determinanten, Matrizen lineare Gleichungssysteme 173
Die Cramersche Regel 1'3
16
Inhaltsverzeichnis
Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 176
Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 177
Kreuzprodukt von Vektoren 178
Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene 180
Drehungen in der Ebene 180
Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 183
Spiegelungen in der Ebene 183
Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 185
Teil III
Funktionen, Fotqen und Reihen 187
Kapitel 9
Was Funktionen sind! 189
Was Funktionen eigentlich sind 189
Graphische Darstellung von Funktionen 191
Polynome einfach verstehen 192
Bruchrechnung: Rationale Funktionen 195
Keine Angst vor der Polynomdivision 196
Rasch wachsende Exponentialfunktionen 198
Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 199
Von Umkehr- und inversen Funktionen 200
Trigonometrische Funktionen 201
Trigonometrische Funktionen zeichnen 202
Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten 203
Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 203
Kapitel 10
Stetigkeit und Grenzwerte Von Funktionen 207
Grenzwerte einer Funktion verstehen 207
Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 207
Links- und rechtsseitige Grenzwerte 208
Die formale Definition eines Grenzwertes - wie erwartet! 209
Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 209
Grenzwerte für x gegen unendlich 210
Stetigkeit von Funktionen 211
Einfache Grenzwerte auswerten 214
Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 214
Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 215
Methode 1: Faktorisieren 215
Methode 2: Konjugierte Multiplikation 215
Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 216
Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 216
Grenzwerte bei unendlich auswerten 219
17
Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für öummies
Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 219
Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 220
Kapitel 11
Von Folgen und Reihen 221
Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 221
Folgen aneinanderreihen 221
Reihen summieren 225
Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 227
Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 227
Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen
auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 228
Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 231
Quotienten- und Wurzelkriterium 234
Alternierende Reihen 236
Absolute oder normale Konvergenz - das ist die Frage! 236
Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 237
Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 240
Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 242
Potenzreihen (er)kennen 242
Konvergenzbereich von Potenzreihen 244
Rechnen Sie mit Potenzreihen 245
Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 246
Teil IV
Keine Angst (/or Geometrie 2b9
Kapitel 12
Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundtagen der Geometrie 251
Geraden, Strahlen und Winkel 251
Winkel an geschnittenen Geraden 254
Strecken in der Ebene 255
Mit den Strahlensätzen rechnen 255
Goldener Schnitt 257
Das allgemeine Dreieck 259
Das gleichschenklige Dreiecke 260
Das gleichseitige Dreieck 261
Das rechtwinklige Dreieck 261
Interessante Schnittpunkte in Dreiecken 262
Dreiecke und ihre Seitenhalbierende samt Schwerpunkte 263
Dreiecke und ihr Mittelsenkrechte samt Umkreise 263
Dreiecke und ihre Winkelhalbierende samt Inkreisen 264
Dreiecke und ihre Höhenschnittpunkt 264
Kongruenz von Dreiecken 265
Ähnlichkeit von Dreiecken 267
18
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 13
Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum 269
Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken über «-Ecke zu Kreisen 269
Vierecke (er)kennen lernen 269
Allgemeine und regelmäßige «-Ecke 275
Keine Angst vor Kreisen 277
Geometrische Körper - die dreidimensionale Welt 281
Die Welt der Prismen 282
Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben 284
Zylinder aus Prismen entwickeln 287
Aus Pyramiden werden Kegel 288
Die Kugel - schlicht und makellos 289
Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: Optimale Blechbehälter
gesucht! 290
Platonische Körper genießen 292
Teil V
Differential- und Integralrechnung für eine Variable 295
Kapitel H
Differentiation Von Funktionen einer Veränderlichen 297
Erste Schritte des Ableitens 297
Steigungen gesucht! 297
Steigung von Geraden 298
Steigungen von Parabeln 300
Der Differenzenquotient 301
Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 305
Grundlegende Regeln der Differentiation 307
Die Konstantenregel 307
Die Potenzregel 307
Die Koeffizientenregel 308
Die Summenregel - und die kennen Sie schon 308
Trigonometrische Funktionen differenzieren 308
Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 308
Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 310
Die Produktregel 310
Die Quotientenregel 310
Die Kettenregel 310
Implizite Differentiation 314
Logarithmische Differentiation 315
Differentiation von Umkehrfunktionen 315
Keine Angst vor höheren Ableitungen 317
19
Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für öummies
Kapitel 15
KurVendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 319
Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht 319
Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 320
Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 320
Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 321
Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 321
Achtung - Nicht auf der Spitze stecken bleiben 321
Halten Sie sich fest - nun geht's bergab! 321
Jetzt wird's kritisch an den Punkten! 322
Lokale Extremwerte finden 323
Die kritischen Werte suchen 323
Der Test mit der ersten Ableitung - wachsend oder fallend? 324
Der Test mit der zweiten Ableitung - Krümmungsverhalten! 325
Globale Extremwerte über einem abgeschlossenem Intervall finden 326
Globale Extrempunkte über den gesamten Definitionsbereich finden 328
Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 330
Die Graphen von Ableitungen - jetzt wird gezeichnet! 331
Der Zwischenwertsatz - Es geht nichts verloren 334
Der Mittelwertsatz - Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 335
Das nützliche Taylorpolynom 337
Die Regel von l'Hospital 341
Nicht akzeptable Formen in Form bringen 342
Kombinieren der Methoden - nur Geduld! 342
Kapitel 16
Eindimensionale Integration 345
Flächenberechnung - eine Einführung 345
Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 346
Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 350
Stammfunktionen suchen - rückwärts Ableiten 352
Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 354
Flächenfunktion beschreiben 354
Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 356
Die erste Version des Hauptsatzes 357
Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 360
Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 361
Kapitel 17
Integrale praktisch lösen - Tipps und Tricks 365
Stammfunktionen finden - Drei grundlegende Techniken 365
Umkehrregeln für Stammfunktionen 365
Genial einfach: Raten und Prüfen 3( 6
Die Substitutionsmethode 367
20
Inhaltsverzeichnis
Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 370
Partielle Integration: Teile und Herrsche! 371
Wählen Sie weise! 372
Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 374
Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 374
Kapitel 18
Spezielle Integrale praktisch lösen - Tipps und Tricks 377
Integrale mit Sinus und Kosinus 377
Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 377
Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 378
Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 378
Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 379
Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 380
Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 381
Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren
in höherer Potenz 382
Bonusrunde - Der Koeffizientenvergleich 383
Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 384
Grau ist alle Theorie - Praktische Integrale! 385
Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 385
Bogenlängen bestimmen 387
Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 389
Teil VI
öer Top-Ten-Teit 389
Kapitel 19
Zehn häufig gemachte Fehler im (Stochastik-)Alltag 391
Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen muss 391
Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren 392
Falsche Schlussfolgerungen durch Vergleiche ziehen 392
Wahrscheinlichkeiten für kurzfristige Vorhersagen verwenden 392
Nicht glauben, dass 1-2-3-4-5-6 gewinnen kann 392
An Serien beim Würfeln glauben 393
Jeder Situation eine 50-50-Chance einräumen 393
Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln 393
Unabhängigkeit von Ereignissen annehmen 394
Und zu guter Letzt: Das Ziegenproblem 394
Kapitel 20
Zehn interessante Ansätze der Phgsik 397
Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten 397
Dopplers Effekte 399
21
Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für öummies
Keplers Planetengesetze 399
Galileis Fallgesetz 399
Newtons Trägheitsgesetz 400
Maxwell und seine Gleichungen 400
Plancks Wirkung 400
Schrödingers Gleichung 401
Heisenbergsche Unscharfe 401
Einsteins E=mc2 und seine spezielle Theorie zur Relativität 402
Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitätstheorie 402
Kapitel 21
Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschtuss Ihres Mathekurses 405
Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 405
Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 405
Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 406
Schauen Sie auch in die Bücher 406
Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben 406
Gruppenarbeit nicht ausnutzen 406
Lernen Sie nicht nur für die Klausur 407
Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 407
Aus Fehlern lernen 407
Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 408
Zu guter Letzt. 408
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