Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
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Wiesbaden
Springer Spektrum
2012
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
I
Nichtsteife Differentialgleichungen 1
1 Theoretische Grundlagen 1
1.1 Einführung............................... 1
1.2 Existenz, Eindeutigkeit und Sensitivität............... 3
1.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten............ 9
1.4 Beispiele................................. 12
1.5 Aufgaben................................ 17
2 Einschrittverfahren 20
2.1 Einführung in klassische Diskretisierungsverfahren......... 20
2.2 Konsistenz und Konvergenz...................... 23
2.3 Rundungsfehleranalyse bei Einschrittverfahren........... 29
2.4 Runge-Kutta-Verfahren ........................ 32
2.4.1 Struktur der Runge-Kutta-Verfahren............. 32
2.4.2 Ordnungsaussagen und B-Reihen .............. 37
2.4.3 Explizite Runge-Kutta-Verfahren bis zur Ordnung vier ... 49
2.4.4 Explizite Runge-Kutta-Verfahren höherer Ordnung..... 55
2.5 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung............. 57
2.5.1 Fehlerschätzung mittels
Richardson-Extrapolation
..... 59
2.5.2 Fehlerschätzung mittels eingebetteter Verfahren....... 64
2.5.3 PI-Regler............................ 67
2.6 Stetige explizite Runge-Kutta-Verfahren............... 70
2.7 Weiterführende Bemerkungen..................... 73
2.8 Aufgaben................................ 76
3 Explizite Extrapolationsverfahren 79
3.1 Asymptotische Entwicklung des globalen Fehlers.......... 79
3.2 Gespiegelte und symmetrische Verfahren............... 81
3.3 Der Extrapolationsvorgang ...................... 85
3.4 Das Gragg-Bulirsch-Stoer-Verfahren................. 90
3.5 Explizite Runge-Kutta-Verfahren beliebiger Ordnung........ 93
3.6 Bemerkungen zur Schrittweiten- und Ordnungssteuerung...... 94
viii Inhaltsverzeichnis
3.7 Weiterführende Bemerkungen..................... 96
3.8 Aufgaben................................ 97
4 Lineare Mehrschrittverfahren 99
4.1 Adams-Verfahren............................ 99
4.1.1 Explizite Adams-Verfahren.................. 99
4.1.2 Implizite Adams-Verfahren..................102
4.2 Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren auf äquidistantem Gitter . 105
4.2.1 Konsistenz und Ordnungsaussagen..............106
4.2.2 Lineare Differenzengleichungen................116
4.2.3 Nullstabilität und erste Dahlquist-Schranke.........121
4.2.4 Schwach stabile lineare Mehrschrittverfahren........128
4.2.5 Konvergenz...........................130
4.3 Prädiktor-Korrektor-Verfahren....................136
4.4 Lineare Mehrschritt verfahren auf variablem Gitter.........141
4.4.1 Adams-Verfahren auf variablem Gitter............141
4.4.2 Konsistenz, Stabilität und Konvergenz............144
4.4.3 Adams-Verfahren in Nordsieckform..............149
4.5 Schrittweiten- und Ordnungssteuerung in
PECE-
Verfahren .... 153
4.6 Weiterführende Bemerkungen.....................157
4.7 Aufgaben................................161
5 Explizite Peer-Methoden 164
5.1 Definition der Methoden und Konsistenz ..............164
5.2 Konvergenz...............................168
5.3 Superkonvergenz............................169
5.4 Implementierung............................175
5.5 Weiterführende Bemerkungen.....................177
5.6 Aufgaben................................181
6 Numerischer Vergleich nichtsteifer Integratoren 182
6.1 Vergleichskriterien und spezielle Integratoren............182
6.2 Numerische Tests von Verfahren für nichtsteife Systeme......184
II
Steife Differentialgleichungen 191
7 Qualitatives
Lösungs
verhalten von Differentialgleichungen 191
7.1 Ljapunov-Stabilität...........................191
7.2 Einseitige Lipschitz-Konstante und logarithmische Matrixnorm . . 194
7.3 Differentialgleichungen als dynamische Systeme...........200
Inhaltsverzeichnis ix
7.4 Steife Differentialgleichungen.....................203
7.4.1 Charakterisierung steifer Systeme...............203
7.4.2 Auftreten steifer Systeme...................208
8 Einschritt- und Extrapolationsverfahren 212
8.1 Implizite Runge-Kutta-Verfahren...................212
8.1.1 Die vereinfachenden Bedingungen...............213
8.1.2 Gauß-Verfahren.........................220
8.1.3 Radau-Verfahren........................222
8.1.4 Lobatto-Verfahren.......................225
8.1.5 Kollokationsverfahren.....................228
8.1.6 Diagonal-implizite Runge-Kutta-Verfahren..........231
8.1.7 Stetige implizite Runge-Kutta-Verfahren...........233
8.2 Stabilität von Runge-Kutta-Verfahren................234
8.2.1 Die Stabilitätsfunktion.....................234
8.2.2
А
-Stabilität, A(a)-Stabilität und L-Stabilität........238
8.2.3
Padé-Approximationen
der Exponentialfunktion ......240
8.2.4
А
-Stabilität von Runge-Kutta-Verfahren hoher Ordnung . . 243
8.2.5
А
-Stabilität von SDIRK-Verfahren..............245
8.2.6 AN-stabile Runge-Kutta-Verfahren..............248
8.2.7 BN-stabile Runge-Kutta-Verfahren..............250
8.2.8 Stabilitätsgebiete expliziter Runge-Kutta-Verfahren .... 258
8.3 Ordnungssterne ............................259
8.4 Das Konzept der B-Konvergenz....................264
8.4.1 Motivation ...........................264
8.4.2 B-Konsistenz und B-Konvergenz...............267
8.5 W-Transformation...........................271
8.6 Implementierung impliziter Runge-Kutta-Verfahren.........275
8.6.1 Lösung der nichtlinearen Gleichungssysteme.........275
8.6.2 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung.........281
8.7
ROW-
und W-Methoden........................282
8.7.1 Herleitung der Methoden...................283
8.7.2 Konsistenz ...........................285
8.7.3 Stabilität............................291
8.7.4 Bemerkungen zur Implementierung..............292
8.7.5 Partitionierte Verfahren....................294
8.7.6 Krylov-W-Methoden......................300
8.8 Bemerkungen zu Extrapolationsverfahren..............306
8.9 Weiterführende Bemerkungen.....................310
8.10 Aufgaben................................313
χ
Inhaltsverzeichnis
9 Lineare Mehrschrittverfahren 314
9.1 Stabilitätsgebiete und zweite Dahlquist-Schranke..........314
9.2 BDF-Methoden.............................323
9.2.1 Darstellung und Eigenschaften................323
9.2.2 Nordsieck-Darstellung.....................330
9.3 One-Leg-Methoden und G-Stabilität.................333
9.4 Weiterführende Bemerkungen.....................337
9.5 Aufgaben................................340
10 Linear-implizite Peer-Methoden 342
10.1 Definition der Verfahren und Konsistenzaussagen.......... 342
10.2 Stabilität und Konvergenz....................... 345
10.3 Bestimmung konkreter Verfahren................... 349
10.4 Verallgemeinerungen.......................... 350
10.5 Weiterführende Bemerkungen..................... 353
10.6 Aufgaben................................ 353
11
Exponentielle
Integratoren 354
11.1 Motivation und theoretische Grundlagen...............354
11.2
Exponentielle
Runge-Kutta-Verfahren................357
11.3
Exponentielle
Mehrschrittverfahren..................363
11.4
Exponentielle
Peer-Methoden.....................367
11.5 Fragen der Implementierung und numerische Illustration......374
11.6
Adaptive
Runge-Kutta-Verfahren...................379
11.7 Weiterführende Bemerkungen.....................387
11.8 Aufgaben................................389
12 Numerischer Vergleich steifer Integratoren 390
III
Differential-algebraische Gleichungen 396
13 Theorie
different
ial-algebraischer Gleichungen 396
13.1 Einführung...............................396
13.2 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten............397
13.2.1 Eigenschaften linearer DAEs .................397
13.2.2 Weierstraß-Kronecker-Normalform..............399
13.3 Indexbegriffe..............................407
13.3.1 Der Differentiationsindex...................407
13.3.2 Der Störungsindex.......................417
13.4 Anwendungen..............................422
13.4.1 Elektrische Netzwerke.....................422
Inhaltsverzeichnis xi
13.4.2 Mechanische Mehrkörpersysteme...............428
13.4.3 Grenzprozess
singular
gestörter Systeme...........435
13.5 Weiterführende Bemerkungen.....................441
13.6 Aufgaben................................442
14
D
iskretisierungs
ver
fahren für differential-algebraische
Gleichungen 445
14.1 Ein Beispiel - Euler-Verfahren .................... 445
14.2 Verfahren für Index-1-Systeme in Hessenbergform.......... 448
14.2.1 Runge-Kutta-Verfahren.................... 449
14.2.2 Rosenbrock-Methoden..................... 453
14.2.3 Lineare Mehrschrittverfahren................. 455
14.3 Verfahren für Index-2-Systeme in Hessenbergform.......... 457
14.3.1 Runge-Kutta-Verfahren.................... 457
14.3.2 Projizierte implizite Runge-Kutta-Verfahren......... 458
14.3.3 Lineare Mehrschrittverfahren................. 460
14.3.4 Partitionierte halb-explizite Runge-Kutta-Verfahren .... 462
14.4 Indexreduktion und Drift-off-Effekt.................. 467
14.5 Weiterführende Bemerkungen..................... 477
14.6 Aufgaben................................ 479
Literaturverzeichnis 480
Symbolverzeichnis 499
Sachverzeichnis 501
|
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| author | Strehmel, Karl 1934- Weiner, Rüdiger 1953- Podhaisky, Helmut 1973- |
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