Einführung in partielle Differentialgleichungen: für Ingenieure, Chemiker und Naturwissenschaftler
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Zürich
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| adam_text | Titel: Einführung in partielle Differentialgleichungen
Autor: Hungerbühler, Norbert
Jahr: 2011
Inhaltsverzeichnis
Vorwort VII
Ergänzende Literatur IX
1 Einführung in die partiellen Differentialgleichungen 1
1.1 Klassifizierungen von PDEs................... 3
1.1.1 Nach Ordnung...................... 3
1.1.2 Nach Typen........................ 3
1.2 Quasilineare PDEs erster Ordnung in zwei Variablen..... 5
1.3 Verfeinerte Klassifikation linearer PDEs zweiter Ordnung . . 8
1.4 Das Superpositionsprinzip.................... 10
1.5 Übungsaufgaben zum Kapitel 1................. 11
2 Fourier-Reihen 13
2.1 Orthogonalitätsrelationen.................... 15
2.2 Fourier-Reihe 27r-periodischer Funktionen........... 17
2.3 Gerade und ungerade Funktionen................ 18
2.4 Funktionen allgemeiner Periode................. 19
2.5 Entwicklung in reine Sinus- bzw. Cosinus-Reihen....... 21
2.6 Komplexe Schreibweise der Fourier-Reihen........... 22
2.7 Distributionen .......................... 24
IV ________Inhaltsverzeichnis
2.8 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)............ 32
2.8.1 Die Trapezregel...................... 32
2.8.2 Approximation der Fourier-Koeffizienten........ 35
2.8.3 Trigonometrische Interpolation............. 36
2.8.4 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) ........ 37
2.9 Ergänzung: Das Gibbs-Phänomen ............... 40
2.10 Übungsaufgaben zum Kapitel 2................. 40
3 Die Wärmeleitungsgleichung 47
3.1 Wärmeleitung im geschlossenen Draht............. 48
3.2 Wärmeleitung in einer Wand.................. 51
3.3 Wärmeleitung in einer Kugel.................. 53
3.4 Übungsaufgaben zum Kapitel 3................. 57
4 Das Fourier-Integral 61
4.1 Definition der Fourier-Transformation............. 61
4.2 Der Fouriersche Integralsatz................... 62
4.3 Fourier-Transformation und PDEs............... 64
4.4 Rechenregeln für die Fourier-Transformation.......... 69
4.5 Das Sampling-Theorem von Shannon ............. 70
4.6 Übungsaufgaben zum Kapitel 4................. 72
5 Die Laplace-Transformation 75
5.1 Definition und Rechenregeln................... 75
5.2 Anwendungen........................... 86
5.2.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen.......... 86
5.2.2 Partielle Differentialgleichungen............. 90
5.3 Die Übertragungsfunktion.................... 91
5.3.1 Rechnen mit Übertragungsfunktionen......... 93
Inhaltsverzeichnis V
5.3.2 Die Stossantwort..................... 95
5.3.3 Stabilität......................... 96
5.3.4 Die Faltung........................ 98
5.3.5 Rechenregeln für die Faltung.............. 100
5.4 Rücktransformation ....................... 100
5.5 Die Gamma-Funktion...................... 102
5.6 Übungsaufgaben zum Kapitel 5................. 103
6 Die Potentialgleichung 107
6.1 Randbedingungen ........................ 107
6.2 Lösbarkeit von Dirichlet- und Neumann-Problemen...... 109
6.3 Beispiele für Dirichlet-Probleme................. 110
6.3.1 Potentialproblem für zwei konzentrische Kreiszylinder 110
6.3.2 Der Kugelkondensator.................. 111
6.3.3 Das Dirichlet-Problem auf der Kreisscheibe...... 112
6.4 Mittelwertsatz und Maximumprinzip.............. 116
6.5 Übungsaufgaben zum Kapitel 6................. 118
7 Einführung in die Variationsrechnung 121
7.1 Der Variationssatz........................ 121
7.2 Die Euler-Lagrange-Gleichung.................. 123
7.3 Dynamik: Das Prinzip der kleinsten Wirkung......... 125
7.4 Übungsaufgaben zum Kapitel 7................. 128
8 Numerik der PDEs 133
8.1 Differenzenverfahren....................... 133
8.1.1 Das Verfahren von Richardson............. 134
8.1.2 Das Gauss-Seidel-Relaxationsverfahren......... 136
8.2 Die Methode der finiten Elemente................ 139
VI _____________________ Inhaltsverzeichnis
8.2.1 Das Verfahren von Ritz.................139
8.2.2 Das Verfahren von Galerkin...............141
8.3 Taylor-Methoden.........................142
8.4 Übungsaufgaben zum Kapitel 8.................143
9 Die Poisson-Gleichung 145
9.1 Allgemeine Lösungsstrategie................... 145
9.2 Die Greensche Funktion des Poisson-Problems......... 151
9.3 Übungsaufgaben zum Kapitel 9................. 154
10 Die Wellengleichung 157
10.1 Die Methode von d Alembert..................157
10.2 Die Charakteristiken hyperbolischer PDEs...........162
10.3 Richardson-Verfahren für die Wellengleichung.........166
10.4 Die Charakteristikenmethode (Numerik)............169
10.5 Übungsaufgaben zum Kapitel 10................172
11 Die Schwingungsgleichung 175
11.1 Die eingespannte Saite......................176
11.2 Schwingungen einer rechteckigen Membran ..........179
11.3 Fundamentalsatz über Schwingungsprobleme.........183
11.4 Diffusionsprobleme........................186
11.5 Übungsaufgaben zum Kapitel 11................189
Lösungen der Übungsaufgaben 193
Symbolverzeichnis 211
Sachverzeichnis 213
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