Analysis in einer Veränderlichen:
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München [u.a.]
Pearson
2012
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Titel: Analysis in einer Veränderlichen
Autor: Jong, Theo de
Jahr: 2012
Inhaltsverzeichnis
Einführung 11
Kapitel 0 Mengen und Funktionen 15
Kapitel 1 Die reellen Zahlen 19
1.1 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen. 26
1.2 Vollständige Induktion. 28
1.3 Definition der reellen Zahlen. 30
1.4 Supremum und Infimum. 32
1.5 Addition und Multiplikation von positiven Zahlen. 34
1.6 Addition und Multiplikation, Betrag. 38
1.7 Die binomische Lehrformel. 40
1.8 Intervalle, Häufungspunkte . 42
1.9 Abzahlungen . 44
Kapitel 2 Die Winkelfunktionen 45
2.1 Abstand und Isometrie. 48
2.2 Winkel. 50
2.3 Die Additionstheoreme. 52
2.4 Das Bogenmaß. 54
2.5 Graphen der Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion. 58
2.6 Arcsinus, Arccosinus und Arctangens. 60
Kapitel 3 Folgen und stetige Funktionen 63
3.1 Konvergente Folgen. 68
3.2 Einschließungssatz, Divergenz gegen ±oo . 70
3.3 Stetige Funktionen. 72
3.4 Der Zwischenwertsatz. 74
3.5 Grenzwerte. 76
3.6 Asymptote. 78
3.7 Umkehrfunktionen. 80
3.8 Die Exponentialfunktion. 82
3.9 Der Logarithmus. 86
3.10 Maxima und Minima. 88
3.11 Cauchyfolgen. 90
Kapitel 4 Differenzieren 91
4.1 Definition der Differenzierbarkeit. 96
4.2 Rechenregeln für differenzierbare Funktionen. 98
4.3 Ableitung der Winkelfunktionen. 100
4.4 Satz von Rolle und Mittelwertsatz. 102
4.5 Ableitung der Exponentialfunktion. 104
4.6 Extremwerte, höhere Ableitungen. 106
4.7 Die l'Hôpitalsche Regel. 108
4.8 Die Taylorformel. 110
4.9 Konvexität, Konkavität und Wendepunkte. 112
4.10 Kurvendiskussion. 114
4.11 Das Newton-Raphson- Verfahren. 116
4.12 Implizites Differenzieren. 118
Kapitel 5 Reihen und Potenzreihen 121
5.1 Konvergenz von Reihen. 126
5.2 Vergleichskriterium. 128
5.3 Leibniz-Kriterium. 130
5.4 Quotienten- und Wurzelkriterium. 132
5.5 Die Umordnungssätze. 134
5.6 Potenzreihen. 138
5.7 Differenzieren von Potenzreihen. 140
5.8 *Kehrwert von Potenzreihen* . 142
5.9 'Berechnung von Logarithmen*. 144
Kapitel 6 Die komplexen Zahlen 147
6.1 Definition der komplexen Zahlen. 150
6.2 Geometrie der Addition und Multiplikation . 152
6.3 Reihen mit komplexen Termen. 154
6.4 Polynomiale Gleichungen . 156
6.5 *Hauptsatz der Algebra* . 158
Kapitel 7 Integrieren 161
7.1 Das Integral für stetige Funktionen. 166
7.2 Hauptsatz der Differenziai- und Integralrechnung. 172
7.3 *Das Riemann-Integral* . 174
7.4 Stammfunktionen, Substitutionsregel. 176
7.5 Partielle Integration. 178
7.6 Integrieren von rationalen Funktionen . 180
7.7 Spezielle Substitutionen . 182
7.8 Integrale über (halb-)offenen Intervallen. 184
7.9 Trapezregel und Simpsonsche Regel . 186
7.10 Das Integralkriterium. 188
7.11 Bogenlänge . 190
7.12 *Das Fehlerintegral*. 192
7.13 'Irrationalität von n* . 193
7.14 *Das Lebesgue-Integral*. 194
Kapitel 8 Funktionenfolgen 199
8.1 Gleichmäßige Konvergenz. 202
8.2 Integrieren und differenzieren:
Vertauschungsgesetze. 204
8.3 Reihen von Funktionen: Weierstraßkriterium. 206
8.4 *Das Sinusprodukt*. 208
8.5 *Partialbruchzerlegung des Cotangens*. 209
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