Introduction à la logique standard: calcul des propositions, des prédicats et des relations
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Paris
Flammarion
2011
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3027 : Essais |
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TABLE DES MATIERES
A VERTISSEMENT 9
PARTIE I : LA LOGIQUE DES PROPOSITIONS
CHAP. I : LE LANGAGE DES PROPOSITIONS : LP 17
1.1.1 LANGUE/METALANGUE 17
I. 1.1.1 METAVARIABLES 18
I. 1.1.2 SEPARATEURS 19
1.1.1.3 DEFINITION 20
1.1. 1.4 YERITE ET FAUSSETE 21
1.1.1.5 DEDUCTION ET VALIDITE 22
1.1.2 L APPROCHE SEMANTIQUE 22
1.1.2.1 PROPOSITION 23
1.1.2.2 TRADUCTION EL PRINCIPE DE BIVALENCE 25
1.1.3 FONCTIONS A UNE VARIABLE: *A 28
1.1.3.1 TAUTOLOGIE 29
1.1.3.2 AFFIRMATION 30
1.1.3.2.1 PROPOSITION SIMPLE 31
1.1.3.3 NEGATION 32
1.1.3.3.1 PROPOSITION COMPLEXE 33
1.1.3.4 ANTILOGIE 33
1.1.4 FONCTIONS A DEUX VARIABLES : A * B 34
1.1.4.1 CONJONCTION 36
1.1.4.2 DISJONCTION EXCLUSIVE 36
1.1.4.3 DISJONCTION INCLUSIVE 37
1.1.4.4 INCOMPATIBILITE 38
1.1.4.5 REJET 39
I. 1.4.6 CONDITIONNEL 39
IMAGE 2
440 INTRODUCFLON A LA LOGIQUESTANDARD
1.1.4.6.1 IMPLICATION 42
1.1.4.7 BICONDITIONNEL 42
1.1.4.7.1 EQUIVALENCE 43
1.1.5 LE PRINCIPE D EXTENSIONNALITE 45
1.1.6 SUBSTITUTION ET REMPLACEMENT 48
1.1.6.1 SUBSTITUTION 48
1.1.6.2 REMPLACEMENT 49
CHAP. 11: PROCEDURESD EVALUATION & LOIS 51 1.2.1 L EVALUATION DES
PROPOSITIONS COMPLEXES 51 1.2.2 VALIDITELINCONSISTANCE/CONSISTANCE 55
1.2.2.1 VALIDITE 55
1.2.2.2 INCONSISTANCE 56
1.2.2.3 CONSISTANCE 56
1.2.3 LES PRINCIPALES LOIS DU CALCUL 57
1.2.3.1 DOUBLE NEGATION 58
1.2.3.2 IDEMPOTENCE 58
1.2.3.3 COMMUTATIVITE 59
1.2.3.4 ASSOCIATIVITE 59
1.2.3.5 DISTRIBUTIVITE 60
1.2.3.6 ABSORPTION 61
1.2.3.7 SIMPLIFICATION 62
1.2.3.8 SEMI-ABSORPTION 63
1.2.3.9 CONTRACTION 63
1.2.3.10 DUALITE 63
1.2.3.11 LOIS DU CONDITIONNEL 65
1.2.3.12 PRINCIPALESLOIS 67
1.2.4 LA MISE ENFORME NORMALE 69
1.2.4.1 FORMES NORMALESCONJONCTIVES 69
1.2.4.1.1 TEST DE VALIDITE 69
1.2.4.2 FORMES NORMALESDISJONCTIVES 70
1.2.4.2.1 TEST D INCONSISTANCE 71
1.2.4.2.2 TEST DE CONSISTANCE 72
1.2.5 L EVALUATIONPARL ABSURDE 74
1.2.6 L EVALUATION PARLES ARBRES 76
1.2.6.1 PRINCIPE 77
IMAGE 3
TABLE DES MATIERES 441
1.2.6.2 REGLES 77
1.2.6.3 OPERATIONS 78
1.2.6.4 PROCEDURE 79
1.2.7 LA METHODE DE RESOLUTION (MR) 82
1.2.7.1 REGLES 83
1.2.7.2 JUSTIFICATION 83
1.2.7.3 USAGE DEDUCTIF 85
1.2.7.4 USAGE EVALUATIF 86
CHAP. III: PRESENTATIONS & PROPR1E:RES METALOGIQUES 89
1.3.1 PRESENTATION AXIOMATIQUE DE LPA 89 1.3.1.1 SYNTAXE 90
1.3.1.1.1 DEMONSTRATIONS 94
1.3.1.1.2 DEDUCTIONS 96
1.3.1.1.3 METATHEOREME DE DEDUCTION 96
1.3.1.2 SEMANTIQUE 97
1.3.1.2.1 DEMONSTRATION PAR LES MODELES 101 1.3.1.3 ECONOMIE AXIOMATIQUE
102
1.3.2 PRESENTATION INFERENTIELLE DE LPI 104 1.3.2.1 REGLES OPERATOIRES
105
1.3.2.2 REGLES GENERALES 107
1.3.2.3 DEDUCTIONS 107
1.3.2.4 DEMONSTRATIONS 109
1.3.3 PRESENTATION DIALOGIQUE DE LPD 111 1.3.3.1 REGLES DU JEU 112
1.3.3.1.1 REGLES DE SIGNIFICATION 112
1.3.3.1.2 REGLES D ARGUMENTATION 112
1.3.4 COMPARAISON DES METHODES DE PREUVE 116 1.3.5 LES PROPRIETES
METALOGIQUES 118
1.3.5.1 CONSISTANCE 119
1.3.5.2 COMPIETUDE 120
1.3.5.3 DECIDABILIRE 121
1.3.5.4 ADEQUATION DES FONCTEURS PRIMITIFS 122
1.3.5.5 INDEPENDANCE DES AXIOMES 123
IMAGE 4
442 INTRODUCFLON A LA LOGIQUE STANDARD
PARTIE II : LA LOGIQUE DES PREDICATS
2.0 INTRODUENON : L ANALYSE DES PROPOSITIONS 2.0.1 NECESSIT6 TECHNIQUE
125
2.0.2 INTER~T PHILOSOPHIQUE 128
CHAP. I : LA SYLLOGISTIQUE TRADITIONNELLE & SON DEPASSEMENT
DIAGRAMMATIQUE 131 2.1.1 LE PRINCIPE DES RELATIONS INTERNES 131 2.1.2
LA CLASSIFIEATION DES PROPOSITIONS
ET LE EARRE DES OPPOSITIONS 134
2.1.3 LES SYLLOGISMES ET LEUR CLASSIFIEATION 136 2.1.4 PROCEDURES
D EVALUATION 141
2.1.4.1. DIAGRAMMES DE VENN 142
2.1.4.1.1 METHODE DE REPRESENTATION 142
2.1.4.1.2 PROCEDURE D EVALUATION 145
2.1.4.1.3 CAS PARTICULIERS 147
2.1.4.2. MATRICES DE CARROLL 149
2.1.5 LE TRAITEMENT LOGIQUE DE L EXISTENEE 152 2.1.6 LES LIMITES DE LA
SYLLOGISTIQUE 155
CHAP. II : LE LANGAGE DES PREDICATS : LQ 159 2.2.1 FONETION
PROPOSITIONNELLE ET VARIABLE 159 2.2.1.1 FONETION MATHEMATIQUE 159
2.2.1.2 FONETION D EGALITE 160
2.2.1.3 CONCEPT 161
2.2.1.4 FORMALISATION 161
2.2.2 QUANTIFIEATION, GENERALISATIONS, INSTANCIATIONS 2.2.2.1
QUANTIFICATION UNIVERSELLE 163
2.2.2.1.1 GENERALISATION : GU 164
2.2.2.1.2 INSTANCIATION : IU 165
2.2.2.2 QUANTIFICATION EXISTENTIELLE 166
2.2.2.2.1 GENERALISATION : GE 167
2.2.2.2.2 INSTANCIATION : IE 168
2.2.3 LES DISTINETIONS D ORDRE 168
2.2.4 GENERALISATIONS ET NEGATIONS 169
2.2.4.1 NEGATION DE LA PROPOSITION 170
2.2.4.2 NEGATION DU PREDICAT 170
IMAGE 5
TABLE DES MATIERES 443
2.2.4.3 N6GATIONDE LA PROPOSITIONET DU PR6DICAT 170 2.2.5 L
INTERTRADUCTIBILITE DES QUANTIFICATEURS 170 2.2.6 LA CONSTRUCTION DES
PROPOSITIONS 173
2.3.6.1TRADUCTIONDE A, E, 1, 0 ET DES SYLLOGISMES 173 2.2.7 LES
DESCRIPTIONS DEFINIES 176
2.2.8 LA CLASSIFICATION DES PROPOSITIONS 179
2.2.9 LA PORTEE DES QUANTIFICATEURS 180
2.2.10 VARIABLES, FORMULES, SUBSTITUTIONS 181
2.2.10.1VARIABLESLIBRESLLI6ES 181
2.2.10.2FORMOLESOUVERTESLFERM6ES 182
2.2.10.3SUBSTITUTIONDES VARIABLESLIBRESLLI6ES 182 2.2.11 LES FORMES
NORMALES PRENEXES 183
2.2.11.1R~GLESDE PASSAGE 184
CHAP. III: LES PROCEDURESD EVALUATION 187 2.3.1 LA CONSTRUCTION DE
MODELES 187
2.3.1.1 STRUCTURED INTERPR6TATIONET MO~LE 188
2.3.1.2R6ALISABILIT6LVALIDIT6 191
2.3.2 L EVALUATION PAR TABLES 194
2.3.3 LA REDUCTION AU CALCUL PROPOSITIONNEL 197 2.3.4 L EVALUATION PAR
ARBRES 198
2.3.5 LA METHODE DE RESOLUTION 200
2.3.5.1USAGED6DUCTIF 201
2.3.5.1.1EN CALCOL DES PR6DICATS 201
2.3.5.1.2SYS~MES EXPERTS 203
2.3.5.2 USAGE6VALUATIF 208
2.3.6 PRINCIPALES LOIS DU CALCUL DES PREDICATS 209 2.3.6.1LOIS RESULTANT
DU CALCOL PROPOSITIONNEL 209 2.3.6.2 G6N6RALISATIONS,INSTANTIATIONS 210
2.3.6.3OE I UNIVERSEL A I EXISTENTIEL 210
2.3.6.4INTERD6FINISSABILIT6 211
2.3.6.5R~GLESDE PASSAGE 211
2.3.6.6 DISTRIBUTIVIT6 TOTALE 211
2.3.6.7 DISTRIBUTIVIT6 PARTIELLE 211
CHAP. IV : PRESENTATIONS & METALOGIQUE 213 2.4.1 PRESENTATION
AXIOMATIQUE DE LQA 213
IMAGE 6
444 INTRODUCTION A. LA LOGIQUESTANDARD
2.4.1.1 D6MONSTRATIONS 214
2.4.2 PRESENTATION INFERENTIELLE DE LQI 215 2.4.2.1 RAEGLES DE
QUANTIFICATIONUNIVERSELLE 215 2.4.2.2 RAEGLES DE
QUANTIFICATLONEXISTENTIELLE 216 2.4.2.3 D6MONSTRATION 218
2.4.2.4 D6DUCTIONS 218
2.4.3 PRESENTATION DIALOGIQUE DE LQD 220 2.4.4 PROPRIETES METALOGIQUES
222
2.4.4.1 CONSISTANCE 222
2.4.4.2 COMPL6TUDE 222
2.4.4.3 DOCIDABILIT6 223
CHAP. V : LE CALCULDES CLASSES 225
2.5.1 INTENSION/EXTENSION 226
2.5.2 LE PRINCIPE D EXTENSIONNALITE 227
2.5.3 DE QUELQUES CLASSES REMARQUABLES 229 2.5.3.1 CLASSE UNIVERSELLE
229
2.5.3.2 CLASSEVIDE 229
2.5.3.3.CLASSE-UNIT6 230
2.5.3.4.PAIRE 230
2.5.4 PRINCIPALES OPERATIONS 230
2.5.4.1 COMP16MENTAIRE 230
2.5.4.2INTERSECTION 232
2.5.4.3 R6UNION 232
2.5.4.4INCLUSION 233
2.5.4.5 EGALIT6 234
2.5.5 ALGEBRE DE BOOLE ET ISOMORPHIE 234
2.5.6 PARADOXES ET THEORIE DES TYPES 236
2.5.6.1 LE PARADOXEDES CLASSES 237
2.5.6.2 LA THOORIEDES TYPES 238
PARTIE M : LA LOGIQUE DES RELATIONS
3.01 LA SPECIFICITE DES RELATIONS 245
CHAP.I: LE LANGAGEDES RELATIONS: LR 247 3.1.1 LA DEFINITION DE LA
RELATION 247
3.1.1.1 EN INTENSION 247
3.1.1.1.1DEGR6 DES RELATIONS 248
IMAGE 7
TABLEDES MATIERES 445
3.1.1.2EN EXTENSION 250
3.1.1.2.1REDUCTIONDES RELATIONS 252
3.1.2 LES REPRESENTATIONS 254
3.1.2.1 MATRICIELLE 254
3.1.2.2SAGITTALE 255
3.1.3 DOMAINE, CO-DOMAINE ET CHAMP 255 3.1.4 LES PROPRIETES DU CHAMP 257
3.1.4.1UNIVOCITE 257
3.1.4.2CO-UNIVOCITE 258
3.1.4.3BIUNIVOCITE 258
3.1.4.4PLURIVOCITE 259
3.1.5 STRUCTURE ET ISOMORPHIE 259
3.1.6 LESFONCTIONS 262
3.1.6.1 FONETIONSNUMERIQUES 262
3.1.6.2FONETIONSDESCRIPTIVES 263
3.1.7 LES PROPRIETES DES RELATIONS 264
3.1.7.1 SYMETRIE 264
3.1.7.2ASYMETRIE 265
3.1.7.3NON-SYMETRIE 265
3.1.7.4NON-ASYMETRIE 265
3.1.7.5ANTISYMETRIE 266
3.1.7.6TRANSITIVITE 267
3.1.7.7INTRANSITIVITE 267
3.1.7.8NON-TRANSITIVITE 267
3.1.7.9NON-INTRANSITIVITE 268
3.1.7.10 REFLEXIVITE 268
3.1.7.10.1RELATIVE 268
3.1.7.10.2TOTALE 269
3.1.7.11IRREFLEXIVITE 269
3.1.7.12NON-REFLEXIVITE 269
3.1.7.13NON-IRREFLEXIVITE 269
3.1.7.14CONNEXITE 270
3.1.7.15DENSITE 271
3.1.8 RAPPORT ENTRE PROPRIETES DES RELATIONS 272 3.1.9 EXEMPLES
D ANALYSE DE RELATIONS: [ AMOUR ET LE MARIAGE 272
IMAGE 8
446 INTRODUCTION A. LA LOGIQUESTANDARD
3.1.9.1 AIMER 273
3.1.9.2 RELATIONMARITALE 274
3.1.10 RELATIONS REMARQUABLES 275
3.1.10.1 EQUIVALENCE 275
3.1.10.2 IDENTITE 277
3.1.10.2.1 L IDENTITE ET SES PROPRIETES 277 3.1.10.2.2
QUANTIFICATIONNUMERIQUE 278 3.1.10.2.3 IDENTITEDES INDISCEMABLES 281
3.1.10.2.4 DEFINITIONDE L IDENTIW 282
3.1.10.2.5 SUBSTITUTIONDES IDENTIQUES 283 3.1.10.3 RELATIONSD ORDRE 284
3.1.1 0.3.1 ORDRE PARTIEL STRICT 284
3.1.1 0.3.2 ORDRE PARTIELLARGE 285
3.1.10.3.3 ORDRE TOTAL STRICT 286
3.1.10.3.4 ORDRE TOTALLARGE 286
3.1.10.3.5 DEFINITIONSRECURSIVES 287
3.1.10.3.6 RELATIONANCETRE 290
CHAP. 11: OPERATIONS,PROCEOURES D EVALUATION & LOIS DU CALCULDES
RELATIONS 293 3.2.1 OPERATIONS SUR LES RELATIONS 293
3.2.1.1 CONVERSE 293
3.2.1.2 NEGATION 295
3.2.1.3 PRODUIT LOGIQUE 295
3.2.1.4 SOMMELOGIQUE 296
3.2.1.5 INCLUSION 296
3.2.1.6 EGALITE 296
3.2.1. 7 PRODUITRELATIF 297
3.2.1.8 PUISSANCE 297
3.2.2 QUANTIFICATIONS ET RELATIONS 298
3.2.2.1 GENERALISATIONS 299
3.2.2.2 INSTANCIATIONS 299
3.2.2.3 QUANTIFICATIONMIXTE ET DEPENDANCEQUANTIFICATIONNELLE 300 3.2.3
LES LOIS DU CALCUL DES RELATIONS 302
3.2.3.1. LOIS OBTENUESPAR SUBSTITUTION 302
3.2.3.2 INTERTRADUCTIBILITEDES QUANTIFICATEURS 303
IMAGE 9
TABLEDES MATIERES 447
3.2.4 L EVALUATION PAR ARBRES 304
3.2.4.1EXTENSIONDE LA METHODE 304
3.2.4.2TRAITEMENTARBORESCENTDE L IDENTITE 306 3.2.5 L EVALUATION PAR
CONSTRUCTION DE MODELES 309 3.2.5.1PROCEDUREINTUITIVE 309
3.2.5.2PROCEDUREALGORITHMIQUE 310
3.2.6 LA METHODE DE RESOLUTION 312
3.2.6.1DEDUCTION 312
3.2.6.2EVALUATION 313
3.2.7 LA PUISSANCE ANALYTIQUE DE LR 315
CHAP. III : PRESENTATIONS & PROPRIERES METALOGIQUES 321 3.3.1
PRESENTATION AXIOMATIQUE DE LRA 321 3.3.1.1DEMONSTRATIONS 322
3.3.2 PRESENTATION INFERENTIELLE DE LRI 324 3.3.2.1DEMONSTRATIONS 325
3.3.3 PRESENTATION DIALOGIQUE DE LRD 327 3.3.4 PROPRIETES METALOGIQUES
334
3.3.4.1CONSISTANCE 334
3.3.4.2COMPLETUDE 334
3.3.4.3INDECIDABILITE 334
3.3.4.3.1FONCTIONSDE SKOLEM 337
PARTIE IV: EXERCICES CORRIGES & COMMENTES
CHAP. I : EN CALCULDES PROPOSMONS 342
CHAP. II : EN CALCULDES PREDICATS 364 CHAP. III : EN CALCULDES RELATIONS
377
GLOSSAIRE
TABLE DES PRINCIPAUXSYMBOLES
BIBLIOGRAPLLLE
INDEXDES NOMS PROPRES
INDEXDES CONCEPTS
TABLEDES MATIERES
397
409
413 427
431
439
IMAGE 1
DENIS VERNANT
INTRODUCTION A LA LOGIQUE STANDARD CALCUL DES PROPOSITIONS, DES
PREDICATS ET DES RELATIONS
LA LOGIQUE A ACQUIS AU XXE SIECLE UN STATUT DETERMINANT: ELLE N EST PAS
SEULEMENT L OUTIL PRIVILEGIE DE L INTELLIGENCE ARTIFICIELLE; ELLE
S IMPOSE AUSSI DANS LE PARCOURS DES PHILOSOPHES, DES MATHEMATICIENS, DES
ECONOMISTES,
DES JURISTES... LE PRESENT OUVRAGE S ADRESSE A TOUS CEUX QUI VEULENT
S INITIER A LA LOGIQUE CONTEMPORAINE. IL PROPOSE EN TROIS TEMPS (1.
CALCUL DES PROPOSITIONS; 2. CALCUL DES
PREDICATS; 3. CALCUL DES RELATIONS) UN EXPOSE COMPLET ET PEDAGOGIQUE DE
SES FONDEMENTS. 11 PERMET, ENFIN, AU LECTEUR DE METTRE EN OEUVRE SES
CONNAISSANCES AU MOYEN D EXERCICES CORRIGES ET
COMMENTES.
DENIS VERNANT EST PROFESSEUR DE PHILOSOPHIE DE LA LOGIQUE ET DU LANGAGE
A L UNIVERSITE PIERRE MENDES FRANCE DE GRENOBLE. II EST NOTAMMENT
L AUTEUR D UNE INTRODUCTION A LA PHILOSOPHIE CONTEMPORAINE DU LANGAGE
(ARMAND COLIN, 2011).
E E Q
PRIX FRANCE :10 * E O
ISBN.978-2-0812-6594-3 A E
EN COUVERTURE: 0 ELNUR - FOTOLIA.COM
1 IL I
F. 2
V
A-
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