Champs de Hurwitz:
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Paris
Soc. Math. de France
2011
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| Schriftenreihe: | Mémoires de la SMF
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TABLE DES MATIÈRES
1.
Introduction
. 9
Conventions et Notations
. 13
2.
Classification des revêtements
. 15
2.1.
Actions de groupes et revêtements
. 15
2.1.1.
Revêtements. G-courbes. G-revêtements
. 15
2.1.2.
Classification des revêtements
. 16
2.2.
Donnée de Hurwitz
. 18
2.2.1.
Donnée de Hurwitz
:
Définition
. 18
2.2.2.
Opérations sur les données de Hurwitz
. 19
2.3.
Nombre de
Nielsen . 21
2.3.1.
Classification topologique
. 21
2.3.2.
Nombre de
Nielsen . 23
3.
Familles de G-courbes lisses et Théorème de Chevalley-Weil
. 29
3.1.
Géométrie du diviseur de branchement
. 29
3.1.1.
Diviseurs de points fixes
. 29
3.1.2.
Ramification et branchement
. 31
3.2.
Inversion de la formule de Chevalley-Weil
. 33
3.2.1.
Formule de Chevalley-Weil
. 34
3.2.2.
Inversion des relations de Chevalley-Weil
. 36
4.
Familles de G-courbes stables
. 41
4.1.
Actions stables, revêtements stables
. 41
4.1.1.
Courbes stables et stables marquées
. 41
4.1.2.
Actions stables
. 43
4.1.3.
Collision des points de branchement
:
étude locale
. 49
4.1.4.
Géométrie du quotient par une action stable
. 51
4.2.
Collision des points de ramification
. 52
4.2.1.
G-type d'un G-diviseur
. 52
4.2.2.
Chevalley-Weil (bis repetita)
. 53
4.3.
Courbes stables marquées et actions de groupes
. 57
5.
Déformations des revêtements modérément ramifiés
. 61
TABLE DES MATIÈRES
5.1.
Déformations équivariantes des courbes
. 61
5.1.1.
La déformation universelle
. 61
5.1.2.
Stabilité de la courbe quotient
. 66
5.1.3.
Déformations équivariantes versus déformations du diviseur de
branchement
. 68
5.2.
Modèle stable marqué d'un G-revêtement
. 69
6.
Champs de Hurwitz
. 75
6.1.
G-champs et champs quotients
. 75
6.1.1.
Quotient d'un champ par une action de groupe
. 76
6.1.2.
2-quotient ou rigidification
. 80
6.2.
Champs de Hurwitz
:
cas galoisien
. 81
6.2.1.
Définition des champs de Hurwitz
. 81
6.2.2.
Fonctorialité des champs de Hurwitz
. 83
6.3.
Compactification stable du champ de Hurwitz
(I)
. 84
6.4.
Compactification du schéma de Hurwitz
:
Gieseker-Mumford
. 86
6.5.
Compactification stable du champ de Hurwitz
(II)
. 88
6.5.1.
Le champ de Hurwitz versus Harris-Mumford
. 88
6.5.2.
Le revêtement
«
universel
» . 91
6.6.
Champs de Hurwitz
:
cas non galoisien
. 93
6.6.1.
Revêtements admissibles
. 93
6.6.2.
Clôture galoisienne
:
cas des courbes lisses
. 94
6.6.3.
Clôture galoisienne
:
courbes stables
. 98
6.6.4.
Le morphisme discriminant
:
cas général
.103
7.
Graphes et revêtements
.107
7.1.
Graphes modulaires de Hurwitz
.107
7.2.
Graphes de groupes et revêtements de graphes
.109
7.2.1.
Graphes modulaires quotients
.109
7.2.2.
Un exemple
:
le bord du schéma de Hurwitz
«
classique
» .113
7.2.3.
Revêtements ramifiés de graphes
.116
7.3.
Groupe de Picard et revêtements
.118
7.3.1.
Sous-groupes de décomposition et d'inertie
.118
7.3.2.
Faisceaux sans torsion de rang
1
et revêtements stables
.121
7.4.
Stratification canonique du bord
.125
7.4.1.
Stratification du bord
.
225
7.4.2.
Type topologique d'un point du bord
.130
8.
Structures de niveau sur les courbes stables
.133
8.1.
Structures de niveau sur les courbes lisses
.133
8.2.
Structures de niveau sur les courbes stables
.136
8.3.
Le niveau abélien
(
/¡
) .139
8.3.1.
Groupes de décomposition et d'inertie
.139
8.3.2.
Composantes irréductibles du bord
.1^1
MEMOIHES
D
F. LA -MF
TABLE DES MATIÈRES
9.
Revêtements cycliques
.149
9.1.
Revêtements cycliques versus racines d'un faisceau inversible
.149
9.1.1.
Racines et quasi-racines d'un faisceau inversible
.149
9.1.2.
Description des revêtements cycliques
.150
9.2.
Revêtements cycliques stables
.153
9.2.1.
Revêtements cycliques stables et quasi-racines d'un faisceau
inversible
.153
9.2.2.
Composantes irréductibles du bord
.157
9.3.
Revêtements cycliques de P1
.159
9.3.1.
Quelques calculs de
torseurs
.159
9.3.2.
Interlude
:
Géométrie du discriminant des formes binaires
.162
9.3.3.
Le champ des revêtements cycliques de la droite
projective
.166
10.
Classes tautologiques
.169
10.1.
Fibre de Hodge
.169
10.1.1.
G-fibrés vectoriels sur le champ de Hurwitz
.169
10.1.2.
Décomposition du fibre de Hodge
.172
10.2.
Les fibres en droites
t!>¿,x
et
μ,Λ
.176
10.3.
Relations de Riemann-Hurwitz d'ordre supérieur
.178
10.3.1.
Calculs dans l'anneau de Chow
.178
10.3.2.
Relations de Riemann-Hurwitz d'ordre supérieur
.181
10.3.3.
Faisceaux inversibles associés aux composantes du bord
.184
10.4.
Appliquer le théorème de Riemann-Roch
.188
10.4.1.
Mise en place du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch (GRR)
188
10.4.2.
Termes de bord
.192
10.5.
La relation de Cornalba-Harris revisitée
.201
10.5.1.
Les faisceaux inversibles
ψ
et
μ
dans le cas cyclique
.201
10.5.2.
Relation de Cornalba-Harris
.202
10.5.3.
Intégrales de Hodge-Hurwitz hyperelliptiques
.206
Index
.211
Bibliographie
.213
CiRTK M AT H KM
Λ Ι Πι Γ κ
In this work, we give a thorough study of Hurwitz stacks and associated
Hurwitz moduli spaces, both in the Galois and the
non
Galois case, with
particular attention to
correspondances
between these moduli spaces.
We compare our construction to those proposed by Abramovich-Corti-
Vistoli, Harris-Mumford, and Mochizuki-Wewers. We apply our results
to revisit some classical examples, particularly the stacks of stable curves
equipped with an arbitrary level structure, and the stacks of tamely
ramified cyclic covers. In a second part we exhibit some tautological
bundles and cohomology classes naturally living on Hurwitz stacks, and
give some universal relations, in particular a higher analogue of the
Riemann-Hurwitz formula, between these classes. Applications are given
to the stack of cyclic covers of the
projective
line, with special attention to
Cornalba-Harris type relations and to cyclic, in particular hyperelliptic,
Hodge integrals.
Dans ce
travail,
nous effectuons une étude détaillée des champs de
Hurwitz et de leurs espaces de modules, tant dans le cas galoisien
que dans le cas non galoisien, avec une attention particulière portée
aux correspondances entre ces espaces de modules. Nous comparons
notre construction à celles proposées par Abramovich-Corti-
Vistoli,
Harris-Mumford, et Mochizuki-Wewers. Nous mettons en application
nos résultats pour revisiter des exemples classiques, notamment les
champs de courbes stables munies d'une structure de niveau arbitraire,
et les champs de revêtements cycliques modérément ramifiés. Dans une
deuxième partie, nous mettons en évidence des fibres tautologiques et
des classes de cohomologie qui vivent naturellement sur les champs de
Hurwitz, et nous donnons des relations universelles, dont un analogue
supérieur de la formule de Riemann-Hurwitz, entre ces classes. Nous
donnons des applications au champ des revêtements cycliques de la droite
projective,
avec un intérêt particulier pour des relations du type de la
relation de Cornalba-Harris et pour les intégrales de Hodge cycliques,
notamment hyperelliptiques.
Société
Mathématique
de France
ISBN
978-2-85629-333-1
9
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Imprimerie Sepec
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1960
Péronnas
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