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Analysis: 1

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Schulz, Friedmar 1952- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	München [u.a.] Oldenbourg 2011
Ausgabe:	2., überarb. Aufl.
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	XIV, 392 S. graph. Darst.
ISBN:	9783486706772

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adam_text	Inhaltsverzeichnis 0 Mengen, Relationen und Abbildungen 1 0.1 Naive Mengenlehre................................................ 1 0.2 Geordnete Paare und Relationen.................................. 7 0.3 Abbildungen...................................................... 11 0.4 Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen................... 19 1 Grundlagen der Analysis 23 1.1 Die natürlichen Zahlen............................................ 23 1.2 Abzählbarkeit..................................................... 30 1.3 Körper ........................................................... 34 1.4 Angeordnete Körper .............................................. 42 1.5 Das Archimedische Axiom ........................................ 47 1.6 Folgen in einem angeordneten Körper............................. 51 1.7 Vollständigkeit.................................................... 59 2 Das System der reellen Zahlen 63 2.1 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen...................... 63 2.2 Dezimalbruchentwicklung......................................... 66 2.3 Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl.......................... 69 2.4 Weitere Vollständigkeitsprinzipien ................................ 75 2.5 Häufungswerte.................................................... 83 2.6 Das erweiterte reelle Zahlensystem................................ 88 3 Unendliche Reihen 93 3.1 Unendliche Reihen ............................................... 93 3.2 Vergleichskriterien ................................................ 99 Inhaltsverzeichnis 3.3 Potenzreihen...................................................... 107 3.4 Partielle Summation.............................................. 110 3.5 Der Umordnungssatz.............................................. 111 3.6 Doppelfolgen...................................................... 114 3.7 Doppelreihen...................................................... 118 3.8 Produkte von Reihen.............................................. 125 4 Stetige Funktionen einer Variablen 131 4.1 Reelle Funktionen................................................. 131 4.2 Polynome und rationale Funktionen............................... 138 4.3 Der Limes einer Funktion......................................... 144 4.4 Stetige Funktionen................................................ 153 4.5 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen .................... 158 4.6 Monotone Funktionen............................................. 161 4.7 Gleichmäßige Konvergenz......................................... 165 4.8 Der Weierstraßsche Approximationssatz........................... 169 4.9 Reihen von Funktionen............................................ 173 5 Differentialrechnung einer Variablen 177 5.1 Differenzierbare Funktionen einer Variablen ...................... 177 5.2 Ableitungsregeln.................................................. 182 5.3 Kurvendiskussion und der Mittelwertsatz ........................ 186 5.4 Die de L Hospitaischen Regeln .................................... 194 5.5 Differentiation von Folgen und Reihen............................ 198 5.6 Höhere Ableitungen und die Taylorsche Formel...................200 5.7 Lokale Extrema ................................................... 212 5.8 Konvexität........................................................ 215 6 Die elementaren transzendenten Funktionen 223 6.1 Die Exponentialfunktion.......................................... 223 6.2 Die Hyperbelfunktionen........................................... 229 Inhaltsverzeichnis_______________________________________________ XI 6.3 Der Logarithmus.................................................. 232 6.4 Die allgemeine Potenz............................................. 235 6.5 Die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus ......................... 240 6.6 Tangens und Cotangens ........................................... 247 6.7 Die Arcusfunktionen.............................................. 248 6.8 Polarkoordinaten.................................................. 253 7 Integralrechnung 255 7.1 Stammfunktionen................................................. 255 7.2 Grundintegrale.................................................... 257 7.3 Partielle Integration und Substitution............................. 259 7.4 Integration rationaler Funktionen................................. 265 7.5 Klassen elementar integrierbarer Funktionen......................268 8 Das Riemannsche Integral 273 8.1 Das Riemann-Darbouxsche Integral...............................273 8.2 Die Riemannsche Definition....................................... 282 8.3 Klassen integrierbarer Funktionen................................. 286 8.4 Eigenschaften integrierbarer Funktionen .......................... 288 8.5 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung............. 294 8.6 Integralformeln.................................................... 297 8.7 Uneigentliche Integrale............................................ 303 8.8 Das Integralkriterium und Anwendungen .........................305 8.9 Grenzwertsätze.................................................... 311 A Mengensysteme, Relationen und Partitionen 317 A. 1 Mengensysteme................................................... 317 A.2 Indizierte Familien................................................ 319 A.3 Äquivalenzrelationen und Partitionen............................. 321 A.4 Ordnungsrelationen...............................................327 ________________________________________Inhaltsverzeichnis В Konstruktion der reellen Zahlen 331 B.l Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper .................... 331 B.2 Definition der reellen Zahlen...................................... 333 B.3 Der angeordnete Körper der reellen Zahlen ....................... 335 B.4 Der Dedekindsche Satz............................................ 337 B.5 Das Hilbertsche Programm........................................339 С Elementare komplexe Analysis 341 C.l Komplexe Zahlen..................................................341 C.2 Unendliche Reihen komplexer Zahlen............................. 346 C.3 Komplexe Polynome und rationale Funktionen.................... 348 G.4 Komplexe Funktionen............................................. 353 C.5 Komplex differenzierbare Funktionen ............................. 357 C.6 Die Exponentialfunktion..........................................362 C.7 Die trigonometrischen Funktionen ................................ 363 C.8 Der Logarithmus und die allgemeine Potenz ...................... 367 C.9 Der Fundamentalsatz der Algebra................................. 370 CIO Integration komplexer Funktionen ................................ 374 C.ll Integration komplex-wertiger Funktionen .........................377 Literaturverzeichnis 381 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