Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler:
Gespeichert in:
| Vorheriger Titel: | Bartsch, Hans-Jochen Taschenbuch mathematischer Formeln |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München
Hanser
2011
|
| Ausgabe: | 22., neu bearb. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 831 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783446427853 |
Internformat
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LOGIK, MENGEN, ZAHLENSYSTEME 21
1.1 AUSSAGENLOGIK 21
1.1.1 ALLGEMEINES 21
1.1.2 EIN- UND ZWEISTELLIGE BOOLESCHE FUNKTIONEN 23 1.1.3 BOOLESCHE
ALGEBRA 25
1.1.4 NORMALFORMEN 27
1.2 PRAEDIKATENLOGIK 29
1.3 MENGEN 30
1.3.1 ALLGEMEINES 30
1.3.2 MENGENOPERATIONEN 33
1.3.3 BEZIEHUNGEN, GESETZE, RECHENREGELN 35
1.3.4 RELATIONEN 36
1.3.5 INTERVALLE 38
1.3.6 UNSCHARFE MENGEN 38
1.4 ZAHLENSYSTEME 40
1.4.1 POLYADISCHE ZAHLENSYSTEME 40
1.4.2 ROEMISCHES ZAHLENSYSTEM 45
ARITHMETIK 46
2.1 MENGE DER REELLEN ZAHLEN 46
2.1.1 STANDARD-ZAHLENMENGEN 46
2.1.2 GRUNDOPERATIONEN AN REELLEN ZAHLEN 48
2.1.2.1 DIE VIER GRUNDRECHENARTEN 48
2.1.2.2 PROPORTIONEN, VERHAELTNISGLEICHUNGEN 52 2.1.2.3 PROZENTRECHNUNG
53
ZA ZA NAEHERUNG 54
2.1.2.5 FEHLERRECHNUNG 55
2.1.2.6 BETRAG UND SIGNUM 56
2.1.2.7 SUMMEN- UND PRODUKTZEICHEN 57
2.1.3 POTENZEN UND WURZELN 59
2.1.4 LOGARITHMEN 61
2.1.5 FAKULTAET UND BINOMIALKOEFFIZIENT 63
2.2 MENGE DER KOMPLEXEN ZAHLEN 66
2.2.1 GRUNDBEGRIFFE 66
2.2.2 DARSTELLUNGSFORMEN KOMPLEXER ZAHLEN 69
2.2.3 GRUNDRECHENARTEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN 70 2.2.4 POTENZEN UND
WURZELN KOMPLEXER ZAHLEN 71 2.2.5 NATUERLICHE LOGARITHMEN KOMPLEXER
ZAHLEN 73 2.3 KOMBINATORIK 74
2.3.1 PERMUTATIONEN 74
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/1011784858
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
8 INHALTSVERZEICHNIS
2.3.2 VARIATIONEN 76
2.3.3 KOMBINATIONEN 77
2.4 FOLGEN 79
2.4.1 ALLGEMEINES 79
2.4.2 SCHRANKEN, GRENZEN, GRENZWERT EINER FOLGE 80
2.4.3 ARITHMETISCHE UND GEOMETRISCHE FOLGEN 83
2.4.4 FINANZMATHEMATIK 86
2.4.4.1 ZINSRECHNUNG. 86
2.4.4.2 ZINSESZINSRECHNUNG 87
2.4.4.3 RENTENRECHNUNG 88
2.4.4.4 SCHULDENTILGUNG, ANNUITAET 89
3 ALGEBRA (GLEICHUNGEN) 91
3.1 ALLGEMEINES 91
3.2 LINEARE ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN 95
3.2.1 LINEARE GLEICHUNGEN/UNGLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN 95 3.2.2
LINEARE GLEICHUNGEN/UNGLEICHUNGEN MIT MEHREREN VARIABLEN 9 7
3.3 NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 100
3.3.1 NICHTLINEARE ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN 101 3.3.1.1 QUADRATISCHE
GLEICHUNGEN/UNGLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN 101
3.3.1.2 QUADRATISCHES GLEICHUNGSSYSTEM MIT ZWEI VARIABLEN 102
3.3.1.3 KUBISCHE GLEICHUNGEN 104
3.3.1.4 GLEICHUNGEN 4. GRADES 105
3.3.1.5 SYMMETRISCHE GLEICHUNGEN 106
3.3.1.6 ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN N-TEN GRADES . . .. 107 3.3.1.7
HORNER-SCHEMA 108
3.3.1.8 WURZELGLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN 110 3.3.2 TRANSZENDENTE
GLEICHUNGEN 111
3.3.2.1 EXPONENTIALGLEICHUNGEN 111
3.3.2.2 LOGARITHMISCHE GLEICHUNGEN 111
3.3.2.3 GONIOMETRISCHE GLEICHUNGEN 112
3.3.2.4 BETRAGSGLEICHUNGEN, BETRAGSUNGLEICHUNGEN .. 113 3.4 NUMERISCHE
VERFAHREN 114
3.4.1 VERFAHREN VON MULLER FUER POLYNOME 114
3.4.2 FIXPUNKTITERATION 117
3.4.3 NEWTONSCHES(TANGENTEN-)NAEHERUNGSVERFAHREN 119 3.4.4
SEKANTENMETHODE (REGULA FALSI) 121
3.4.5 EINSCHLUSSVERFAHREN 122
3.5 NICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 124
3.5.1 ALLGEMEINES 124
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS
3.5.2 ITERATIONSVERFAHREN 125
3.5.3 QUADRATISCH KONVERGENTES NEWTON-VERFAHREN 126 3.6 GRAFISCHE LOESUNG
VON GLEICHUNGEN 127
ELEMENTARE (KLASSISCHE) GEOMETRIE 129
4.1 PLANIMETRIE, EBENE TRIGONOMETRIE 129
4.1.1 WINKEL 129
4.1.2 TEILUNGEN, AEHNLICHKEIT, KONGRUENZ, SYMMETRIE 131 4.1.3 DREIECK 134
4.1.3.1 SCHIEFWINKLIGES DREIECK 135
4.1.3.2 GLEICHSCHENKLIGES UND GLEICHSEITIGES DREIECK . 140 4.1.3.3
RECHTWINKLIGES DREIECK 141
4.1.4 VIERECKE 143
4.1.4.1 TRAPEZ 143
4.1.4.2 PARALLELOGRAMME 144
4.1.4.3 UNREGELMAESSIGE VIERECKE MIT UMKREIS BZW. INKREIS 145
4.1.5 VIELECKE (POLYGONE) 146
4.1.5.1 EBENE STERNFOERMIGE N-ECKE 146
4.1.5.2 REGELMAESSIGE (REGULAERE) VIELECKE 146 4.1.5.3 EINIGE BESTIMMTE
REGELMAESSIGE VIELECKE 147 4.1.5.4 KONSTRUKTION DER EINFACHEN REGELMAESSIGEN
VIELECKE 148
4.1.6 DER KREIS 149
4.1.6.1 SAETZE ZUM KREIS 149
4.1.6.2 KREISBERECHNUNGEN 150
4.2 GEOMETRISCHE KOERPER (STEREOMETRIE) 152
4.2.1 ALLGEMEINES 152
4.2.2 EBENFLAECHIG BEGRENZTE KOERPER (POLYEDER, VIELFLACHE)... 154 4.2.2.1
PRISMATISCHE KOERPER 154
4.2.2.2 PYRAMIDE, PYRAMIDENSTUMPF 155
4.2.2.3 PRISMOID 156
4.2.2.4 DIE FUENF REGELMAESSIGEN POLYEDER (PLATONISCHE KOERPER) 157
4.2.3 KRUMMFLAECHIG BEGRENZTE KOERPER 159
4.2.3.1 ZYLINDER, ZYLINDERABSCHNITT 159
4.2.3.2 KEGEL, KEGELSTUMPF 160
4.2.3.3 KUGEL 161
4.2.3.4 TONNE, TORUS 163
4.2.3.5 FRAKTALE GEOMETRIE 163
4.3 SPHAERISCHE TRIGONOMETRIE 165
4.3.1 ALLGEMEINES 165
4.3.2 RECHTWINKLIGES SPHAERISCHES DREIECK 166
4.3.3 SCHIEFWINKLIGES SPHAERISCHES DREIECK 167
IMAGE 4
10 INHALTSVERZEICHNIS
4.3.4 BERECHNUNG SPHAERISCHER DREIECKE 169
4.3.5 MATHEMATISCHE GEOGRAFIE 170
LINEARE ALGEBRA 173
5.1 VEKTORRAUM 173
5.2 MATRIZEN I 77
5.2.1 MATRIZENARTEN, DEFINITIONEN I 77
5.2.1.1 ALLGEMEINES I 77
5.2.1.2 QUADRATISCHE MATRIZEN 179
5.2.1.3 INVERSE MATRIX, (UM-) KEHRMATRIX A~ 1 185 5.2.1.4 RANG EINER
MATRIX 186
5.2.1.5 MATRIZENNORMEN 187
5.2.1.6 GRENZWERT, DIFFERENZIALQUOTIENT, INTEGRAL . . .. 188 5.2.2
MATRIZENGESETZE 188
5.2.2.1 GLEICHHEIT UND SUMME ZWEIER MATRIZEN 188 5.2.2.2 MULTIPLIKATION
VON MATRIZEN 188
5.2.3 MATRIZENGLEICHUNGEN 191
5.2.4 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN QUADRATISCHER MATRIZEN . 192 5.2.5
NUMERISCHE VERFAHREN 195
5.2.5.1 HOUSEHOLDER-ORTHOGONALISIERUNG (-TRANS- FORMATION) 195
5.2.5.2 QR-VERFAHREN 196
5.2.5.3 VEKTORITERATION (POTENZMETHODE, V.-MISES- VERFAHREN) 197
5.3 DETERMINANTEN 198
5.3.1 DETERMINANTE EINER QUADRATISCHEN MATRIX 198 5.3.2 BERECHNUNG VON
DETERMINANTEN 199
5.3.3 RECHENREGELN FUER DETERMINANTEN 201
5.3.4 PRAKTISCHE BERECHNUNG EINER DETERMINANTE 202 5.4 LINEARE
GLEICHUNGSSYSTEME 203
5.4.1 ALLGEMEINES 203
5.4.2 LOESBARKEIT LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 204 5.4.3 LOESUNGSVERFAHREN
FUER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 206 5.4.3.1 EINFACHER UND VERKETTETER
GAUSSSCHER ALGO- RITHMUS 207
5.4.3.2 GAUSSSCHER ALGORITHMUS FUER SYSTEME MIT GLEICHER MATRIX A UND M
RECHTEN SEITEN 211 5.4.3.3 GAUSS-JORDAN-VERFAHREN ZUR MATRIXINVERSION
212 5.4.3.4 GAUSSSCHER ALGORITHMUS FUER SYMMETRISCHE,
POSITIV DEFINITE KOEFFIZIENTENMATRIX, CHOLES- KY-VERFAHREN 213
5.4.3.5 GLEICHUNGSSYSTEME MIT SYMMETRISCHER, TRIDIA- GONALER, POSITIV
DEFINITER MATRIX 214
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS 11
5.4.3.6 GAUSS-SEIDELSCHES ITERATIONSVERFAHREN . . .. 214 5.4.3.7
AUSTAUSCHVERFAHREN 218
5.4.4 CRAMERSCHE REGEL 218
5.4.5 UEBERBESTIMMTE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 219 5.5 LINEARE
OPTIMIERUNG 221
5.5.1 ALLGEMEINES 221
5.5.2 GRAFISCHE LOESUNG FUER ZWEI VARIABLE 223
5.5.3 SIMPLEXALGORITHMUS 224
5.6 ABBILDUNGEN 228
5.6.1 LINEARE ABBILDUNGEN 228
5.6.2 AFFINE ABBILDUNGEN 231
5.6.2.1 ALLGEMEINES 231
5.6.2.2 ALLGEMEINE, NICHT WINKELTREUE AFFINE ABBILDUNGEN 236
5.6.2.3 AEHNLICHKEITSABBILDUNGEN 239
5.6.2.4 KONGRUENZABBILDUNGEN 240
5.7 KOORDINATENTRANSFORMATION 243
5.7.1 ALLGEMEINES 243
5.7.2 ORTHOGONALE KOORDINATENTRANSFORMATION IN DER EBENE . . 244 5.7.3
ORTHOGONALE KOORDINATENTRANSFORMATION IM RAUM . . .. 245
VEKTOREN, ANALYTISCHE GEOMETRIE 249
6.1 VEKTOREN, GRUNDLAGEN 249
6.2 VEKTORALGEBRA 254
6.2.1 ADDITION UND SUBTRAKTION VON VEKTOREN 254
6.2.2 MULTIPLIKATION VON VEKTOREN 256
6.2.2.1 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR . 256 6.2.2.2
SKALARPRODUKT (INNERES PRODUKT, PUNKTPRODUKT) 256 6.2.2.3 VEKTORPRODUKT
(AEUSSERES PRODUKT, KREUZPRODUKT) 258 6.2.2.4 MEHRFACHE PRODUKTE VON
VEKTOREN 260 6.3 KOORDINATENSYSTEME 261
6.3.1 ALLGEMEINES 261
6.3.2 EBENE (2D-)KOORDINATENSYSTEME 262
6.3.3 RAEUMLICHE (3D-)KOORDINATENSYSTEME 263
6.4 PUNKTE, KURVEN 1. ORDNUNG 266
6.4.1 PUNKTE 266
6.4.2 GERADE, STRAHL, STRECKE 267
6.4.2.1 PUNKTMENGEN, TEILUNG EINER STRECKE 267 6.4.2.2 GLEICHUNGEN EINER
GERADEN IN DER (X, Y)-EBENE 269 6.4.2.3 GLEICHUNGEN EINER GERADEN IM
RAUM 271 6.4.2.4 ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER GERADEN . .. 274 6.4.3
MEHRERE GERADEN 275
6.4.3.1 SCHNITTPUNKT ZWEIER GERADEN 275
6.4.3.2 SCHNITTWINKEL ZWEIER GERADEN 277
IMAGE 6
12
INHALTSVERZEICHNIS
6.4.3.3 ABSTAND ZWEIER GERADEN 279
6.4.3.4 DREI UND MEHR GERADEN 280
6.5 EBENEN 281
6.5.1 EINE EBENE 281
6.5.1.1 GLEICHUNGEN EINER EBENE IM RAUM 281 6.5.1.2 RICHTUNGSKOSINUS DER
NORMALEN EINER EBENE . 285 6.5.1.3 ABSTAND EINES PUNKTES ^ VON EINER
EBENE . . 286 6.5.1.4 DURCHSTOSSPUNKT D EINER GERADEN DURCH EINE
EBENE 287
6.5.1.5 WINKEL Q ZWISCHEN GERADE UND EBENE 288 6.5.2 ZWEI EBENEN 289
6.5.3 DREI UND MEHR EBENEN 290
6.5.4 FLAECHENINHALT, SCHWERPUNKT, VOLUMEN 290
6.6 KURVEN 2. ORDNUNG (KEGELSCHNITTE) 292
6.6.1 ALLGEMEINES 292
6.6.2 KREIS 294
6.6.2.1 GLEICHUNGEN DES KREISES 294
6.6.2.2 SCHNITTPUNKTE EINER GERADEN MIT EINEM KREIS . 296 6.6.2.3
TANGENTE UND NORMALE EINES KREISES 297 6.6.2.4 POLARE EINES PUNKTES IN
BEZUG AUF EINEN KREIS 297 6.6.2.5 POTENZ P EINES PUNKTES IN BEZUG AUF
EINEN
KREIS 298
6.6.2.6 KREISBUESCHEL 299
6.6.3 ELLIPSE 299
6.6.3.1 GLEICHUNGEN DER ELLIPSE 299
6.6.3.2 SCHNITTPUNKTE EINER GERADEN MIT EINER ELLIPSE . 301 6.6.3.3
TANGENTE, NORMALE UND DURCHMESSER EINER ELLIPSE 302
6.6.3.4 POLARE EINES PUNKTES IN BEZUG AUF EINE ELLIPSE 303 6.6.3.5
KRUEMMUNG EINER ELLIPSE 303
6.6.3.6 HAUPT- UND NEBENKREIS EINER ELLIPSE 304 6.6.3.7 FLAECHENINHALT
UND UMFANG VON ELLIPSE, ELLIPSENSEGMENT UND ELLIPSENSEKTOR 304 6.6.3.8
ELLIPSENKONSTRUKTIONEN 305
6.6.4 PARABEL 307
6.6.4.1 GLEICHUNGEN DER PARABEL 307
6.6.4.2 SCHNITTPUNKTE EINER GERADEN MIT EINER PARABEL 309 6.6.4.3
TANGENTE UND NORMALE EINER PARABEL 310 6.6.4.4 POLARE EINES PUNKTES IN
BEZUG AUF EINE PARABEL 310 6.6.4.5 KRUEMMUNG EINER PARABEL 311
6.6.4.6 PARABELSEGMENT, PARABELBOGEN, BRENNSTRAHL .311 6.6.4.7
PARABELKONSTRUKTIONEN 312
6.6.5 HYPERBEL 313
6.6.5.1 GLEICHUNGEN DER HYPERBEL 314
IMAGE 7
INHALTSVERZEICHNIS 13
6.6.5.2 SCHNITTPUNKT EINER GERADEN MIT EINER HYPERBEL 316 6.6.5.3
TANGENTE UND NORMALE EINER HYPERBEL 317 6.6.5.4 POLARE EINES PUNKTES IN
BEZUG AUF EINE HYPERBEL 318
6.6.5.5 KRUEMMUNG EINER HYPERBEL 319
6.6.5.6 HYPERBELSEGMENT UND HYPERBELSEKTOR 320 6.6.5.7
HYPERBELKONSTRUKTIONEN 320
6.7 FLAECHEN 2. ORDNUNG 322
6.7.1 ALLGEMEINES 322
6.7.2 KUGEL 323
6.7.3 ELLIPSOID 324
6.7.4 HYPERBOLOID 325
6.7.5 KEGEL 327
6.7.6 ZYLINDER 328
6.7.7 PARABOLOID 329
6.8 HAUPTACHSENTRANSFORMATION 331
FUNKTIONEN 340
7.1 ALLGEMEINES 340
7.1.1 FUNKTIONEN MIT EINER UNABHAENGIGEN VARIABLEN 340 7.1.2 FUNKTIONEN
MIT MEHREREN VARIABLEN 344
7.2 RATIONALE OPERATIONEN MIT FUNKTIONEN 346
7.3 GRENZWERTE, UNBESTIMMTE AUSDRUECKE 347
7.3.1 GRENZWERT EINER FUNKTION 347
7.3.2 UNBESTIMMTE AUSDRUECKE 350
7.4 EIGENSCHAFTEN RELIER FUNKTIONEN 352
7.4.1 AUSGEWAEHLTE EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 352 7.4.2 NULLSTELLEN
EINER FUNKTION 354
7.4.3 STETIGKEIT EINER FUNKTION 355
7.5 RATIONALE FUNKTIONEN 357
7.5.1 GANZRATIONALE FUNKTIONEN (POLYNOMFUNKTIONEN) 357 7.5.1.1
GANZRATIONALE FUNKTION 1. GRADES (LINEARE FUNKTION) 357
7.5.1.2 GANZRATIONALE FUNKTION 2. GRADES (QUADRATISCHE FUNKTION) 357
7.5.1.3 GANZRATIONALE FUNKTION 3. GRADES (KUBISCHE FUNKTION) 358
7.5.2 ZERLEGUNG VON FUNKTIONEN IN LINEARFAKTOREN 358 7.5.3 INTERPOLATION
359
7.5.3.1 ALLGEMEINES 359
7.5.3.2 INTERPOLATIONSFORMEL VON LAGRANGE 360 7.5.3.3
INTERPOLATIONSFORMEL VON NEWTON 361 7.5.3.4 INTERPOLATIONSFORMEL VON
GREGORY-NEWTON . 362
IMAGE 8
14 INHALTSVERZEICHNIS
7.5.3.5 INTERPOLATION DURCH KUBISCHE POLYNOMSPLINES . 364 7.5.3.6
BEZIER-SPLINES 366
7.5.4 GEBROCHENRATIONALE FUNKTION 368
7.5.5 POTENZFUNKTION 369
7.5.6 SONSTIGE (ELEMENTARE) FUNKTIONEN 370
7.6 NICHTRATIONALE FUNKTIONEN 373
7.6.1 WURZELFUNKTION 373
7.6.2 EXPONENTIALFUNKTIONEN 374
7.6.3 LOGARITHMUSFUNKTIONEN 376
7.6.4 WINKELFUNKTIONEN, TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 377 7.6.4.1
ALLGEMEINES 377
7.6.4.2 GONIOMETRISCHE BEZIEHUNGEN 380
7.6.4.3 ALLGEMEINE SINUSFUNKTION (HARMONISCHE FUNKTION) 385
7.6.4.4 MODULATION 386
7.6.4.5 UEBERLAGERUNG (SUPERPOSITION) VON SCHWIN- GUNGEN 388
7.6.4.6 MULTIPLIKATION VON FUNKTIONEN 390
7.6.4.7 KOMPLEXE ZEIGERDARSTELLUNG VON SINUSGROESSEN. 391 7.6.5
ZYKLOMETRISCHE FUNKTIONEN, ARKUSFUNKTIONEN 392 7.6.6 HYPERBELFUNKTIONEN
396
7.6.7 AREAFUNKTIONEN 400
7.7 ALGEBRAISCHE KURVEN HOEHERER ORDNUNG 403
7.7.1 KURVEN 3. ORDNUNG 403
7.7.2 KURVEN 4. ORDNUNG 405
7.8 ZYKLOIDEN (ROLLKURVEN) 406
7.8.1 GEWOEHNLICHE (GESPITZTE) ZYKLOIDE 406
7.8.2 EPIZYKLOIDEN 407
7.8.3 HYPOZYKLOIDEN 409
7.9 SPIRALLINIEN 411
7.9.1 LOGARITHMISCHE SPIRALE 411
7.9.2 ARCHIMEDISCHE SPIRALE 412
7.9.3 HYPERBOLISCHE SPIRALE 412
7.10 SONSTIGE KURVEN 413
7.10.1 KETTENLINIE 413
7.10.2 TRAKTRIX (SCHLEPPKURVE) 413
7.11 KOMPLEXE FUNKTIONEN 414
7.11.1 ALLGEMEINES 414
7.11.2 KONFORME ABBILDUNGEN 416
7.11.2.1 LINEARE UND QUADRATISCHE KONFORME ABBILDUNGEN 416
7.11.2.2 INVERSION (STUERZUNG) 418
IMAGE 9
INHALTSVERZEICHNIS 15
DIFFERENZIALRECHNUNG 421
8.1 FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 421
8.1.1 ALLGEMEINES 421
8.1.2 ERSTE ABLEITUNGEN DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 423 8.1.3
DIFFERENZIATIONSREGELN, ABLEITUNGSREGELN 424 8.1.3.1 GRUNDREGELN 424
8.1.3.2 HOEHERE ABLEITUNGEN UND DIFFERENZIALE 426 8.1.3.3 DIFFERENZIATION
IMPLIZITER FUNKTIONEN F(X,Y) = O 427
8.1.3.4 DIFFERENZIATION VON FUNKTIONEN IN PARAMETER- FORM 428
8.1.3.5 DIFFERENZIATION VON FUNKTIONEN IN POLAR- KOORDINATEN 428
8.1.4 GRAFISCHE DIFFERENZIATION 429
8.1.5 NUMERISCHE DIFFERENZIATION 429
8.1.6 LOGARITHMISCHE DIFFERENZIATION 430
8.1.7 MITTELWERTSAETZE 431
8.2 FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 432
8.2.1 PARTIELLE ABLEITUNG 1. ORDNUNG 432
8.2.2 HOEHERE PARTIELLE ABLEITUNGEN 433
8.2.3 TOTALE ABLEITUNGEN FUER ZWEI VARIABLE 434
8.3 ANWENDUNGEN, DIFFERENZIALGEOMETRIE 436
8.3.1 EBENE KURVEN 436
8.3.1.1 BOGENELEMENT, DIFFERENZIAL DER BOGENLAENGE . . 436 8.3.1.2
TANGENTE UND NORMALE 436
8.3.1.3 ZWEI KURVEN 438
8.3.1.4 MONOTONIE UND KRUEMMUNGSVERHALTEN EINER FUNKTION 439
8.3.1.5 LOKALE EXTREMA VON FUNKTIONEN 443
8.3.1.6 BESONDERE PUNKTE EINER KURVE 447
8.3.1.7 ASYMPTOTEN 449
8.3.1.8 EINHUELLENDE KURVEN (ENVELOPPE) 450 8.3.1.9 KURVENDISKUSSION 450
8.3.2 RAUMKURVEN 450
8.3.2.1 DARSTELLUNGEN IN KARTESISCHEN KOORDINATEN .. . 450 8.3.2.2
BOGENELEMENT EINER RAUMKURVE 451 8.3.2.3 TANGENTE UND NORMALE EINER
RAUMKURVE . . .. 451 8.3.2.4 KRUEMMUNG EINER RAUMKURVE 455
8.3.2.5 WINDUNG (TORSION) 456
8.3.3 FLAECHEN IM RAUM 457
8.3.4 EXTREMSTELLEN VON FUNKTIONEN MIT MEHREREN VARIABLEN . 464
INTEGRALRECHNUNG 467
9.1 ALLGEMEINES 467
9.1.1 UNBESTIMMTES INTEGRAL 467
IMAGE 10
16 INHALTSVERZEICHNIS
9.1.2 BESTIMMTES INTEGRAL (RIEMANNSCHES INTEGRAL) 468 9.1.3
UNEIGENTLICHE INTEGRALE 471
9.2 GRUNDINTEGRALE, STAMMINTEGRALE 473
9.3 INTEGRATIONSREGELN UND -VERFAHREN 474
9.3.1 GRUNDREGELN 474
9.3.2 INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION 474
9.3.3 PARTIELLE INTEGRATION (PRODUKTINTEGRATION) 478 9.3.4 INTEGRATION
NACH PARTIALBRUCHZERLEGUNG 478 9.3.5 INTEGRATION NACH REIHENENTWICKLUNG
481
9.3.6 GRAFISCHE INTEGRATION 483
9.4 NUMERISCHE INTEGRATION 484
9.4.1 ALLGEMEINES 484
9.4.2 NEWTON-COTES-FORMELN 485
9.4.2.1 RECHTECKFORMEL 487
9.4.2.2 SEHNENTRAPEZFORMEL 488
9.4.2.3 SIMPSONSCHE FORMEL, KEPLERSCHE FASSFORMEL 489
9.4.2.4 NEWTONSCHE 3/8-FORMEL 490
9.4.2.5 TANGENTENTRAPEZFORMEL 491
9.4.3 GAUSSSCHES QUADRATURVERFAHREN 491
9.4.4 ROMBERG-QUADRATURVERFAHREN 492
9.5 BEREICHSINTEGRALE, GEBIETSINTEGRALE 495
9.5.1 ZWEIDIMENSIONALES BEREICHSINTEGRAL, DOPPELINTEGRAL . . . 495 9.5.2
RAUMINTEGRAL, VOLUMENINTEGRAL, DREIFACHINTEGRAL 498 9.6 ANWENDUNGEN DER
INTEGRALRECHNUNG 499
9.6.1 GEOMETRISCHE ANWENDUNGEN 499
9.6.1.1 FLAECHENINHALTE (QUADRATUR) 499
9.6.1.2 BOGENLAENGE (REKTIFIKATION) 502
9.6.1.3 MANTELFLAECHEN VON ROTATIONSKOERPERN 502 9.6.1.4 VOLUMEN VON
ROTATIONSKOERPERN (KUBATUR).... 502 9.6.1.5 VOLUMEN EINES KOERPERS 503
9.6.2 TECHNISCH-PHYSIKALISCHE ANWENDUNGEN 504 9.6.2.1 BEWEGUNGEN,
KINEMATIK 504
9.6.2.2 ARBEIT 504
9.6.2.3 ZEITLICH VERAENDERLICHE STROEME UND SPANNUNGEN 505 9.6.2.4 MOMENTE
1. GRADES 505
9.6.2.5 SCHWERPUNKTE 507
9.6.2.6 MOMENTE 2. GRADES (FESTIGKEITSLEHRE) 509 9.6.2.7 MASSENMOMENTE
2. GRADES (DYNAMIK) 510 10 VEKTORANALYSIS 512
10.1 VEKTORFUNKTIONEN 512
10.2 FELDER 513
10.3 GRADIENT EINES SKALAREN FELDES 516
IMAGE 11
INHALTSVERZEICHNIS 17
10.4 DIVERGENZ EINES VEKTORFELDES 518
10.5 ROTATION EINES VEKTORFELDES 520
10.6 KURVENINTEGRALE (LINIENINTEGRALE) 522
10.6.1 KURVENINTEGRAL ERSTER ART 522
10.6.2 KURVENINTEGRAL (ZWEITER ART) 523
10.7 FLAECHENINTEGRALE (OBERFLAECHENINTEGRALE) 528
10.7.1 FLAECHENINTEGRAL ERSTER ART 528
10.7.2 FLAECHENINTEGRAL ZWEITER ART 529
10.8 INTEGRALSAETZE 531
10.8.1 GAUSSSCHER INTEGRALSATZ 531
10.8.2 STOKESSCHER INTEGRALSATZ 533
11 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 536
11.1 ALLGEMEINES 536
11.1.1 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN, ARTEN 536
11.1.2 GEWOEHNLICHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 537 11.2
DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 542
11.2.1 DIFFERENZIALGLEICHUNG MIT TRENNBAREN VARIABLEN 542 11.2.2
GLEICHGRADIGE DIFFERENZIALGLEICHUNG 1. ORDNUNG 544 11.2.3 LINEARE
DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 545 11.2.3.1 HOMOGENE LINEARE
DIFFERENZIALGLEICHUNG
1. ORDNUNG 545
11.2.3.2 INHOMOGENE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNG 1. ORDNUNG 546
11.2.4 TOTALE DIFFERENZIALGLEICHUNG 548
11.2.5 INTEGRIERENDER FAKTOR 549
11.2.6 BERNOULLISCHE DIFFERENZIALGLEICHUNG 550 11.2.7 RICCATISCHE
DIFFERENZIALGLEICHUNG 550
11.2.8 CLAIRAUTSCHE DIFFERENZIALGLEICHUNG 551 11.3
DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG 552
11.3.1 SONDERFAELLE, ERNIEDRIGUNG DER ORDNUNG 552 11.3.2 HOMOGENE LINEARE
DIFFERENZIALGLEICHUNG 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 554 11.3.3
HOMOGENE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNG
2. ORDNUNG MIT VERAENDERLICHEN KOEFFIZIENTEN 555 11.3.4 INHOMOGENE
LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNG 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN
556 11.3.5 INHOMOGENE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNG
2. ORDNUNG MIT VERAENDERLICHEN KOEFFIZIENTEN 560 11.3.6 BESSELSCHE
DIFFERENZIALGLEICHUNG 562
11.3.7 ANWENDUNGSFALL SCHWINGUNGEN 564
11.4 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN N-TER ORDNUNG 567
11.5 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGSSYSTEME 571
IMAGE 12
18 INHALTSVERZEICHNIS
11.6 NAEHERUNGSLOESUNGEN FUER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG . . . 573
11.6.1 VERFAHREN UNBESTIMMTER KOEFFIZIENTEN 573 11.6.2
ITERATIONSVERFAHREN 575
11.7 ANFANGSWERTPROBLEME 576
11.7.1 ALLGEMEINES 576
11.7.2 EXPLIZITE EINSCHRITTVERFAHREN 579
11.7.2.1 POLYGONZUGVERFAHREN VON EULER-CAUCHY . . . 579 11.7.2.2
HEUN-VERFAHREN 581
11.7.2.3 KLASSISCHES VERFAHREN VON RUNGE-KUTTA . .. 581 11.7.2.4
EINBETTUNGSFORMELN 582
11.7.3 MEHRSCHRITTVERFAHREN 582
11.7.3.1 EXPLIZITVERFAHREN VON ADAMS-BASHFORTH . .. 583 11.7.3.2
PRAEDIKTOR-KORREKTOR-VERFAHREN VON ADAMS- MOULTON 583
11.7.4 EXTRAPOLATIONSVERFAHREN VON BULIRSCH-STOER-GRAGG 585
11.8 RANDWERTPROBLEME 585
11.8.1 ALLGEMEINES 585
11.8.2 SCHIESSVERFAHREN 587
11.8.3 DIREKTE DIFFERENZENAPPROXIMATION 588
11.9 PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 591
11.9.1 ALLGEMEINES 591
11.9.2 PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNG 1. ORDNUNG 591 11.9.3 PARTIELLE
DIFFERENZIALGLEICHUNG 2. ORDNUNG 593
12 REIHEN, F- UND L-TRANSFORMATION 595
12.1 UNENDLICHE REIHEN 595
12.1.1 UNENDLICHE ZAHLENREIHEN 595
12.1.2 SUMMEN EINIGER KONVERGENTER ZAHLENREIHEN 598 12.1.3 POTENZREIHEN
599
12.1.3.1 ALLGEMEINES 599
12.1.3.2 ENTWICKLUNG VON FUNKTIONEN IN POTENZREIHEN . 601 12.1.4
NUMERISCHE BERECHNUNG VON REIHEN 604
12.1.5 ZUSAMMENSTELLUNG FERTIG ENTWICKELTER REIHEN 605 12.1.6
NAEHERUNGSFORMELN 609
12.2 FOURIER-REIHEN 611
12.2.1 FOURIER-REIHE EINER PERIODISCHEN FUNKTION 611 12.2.2 NUMERISCHE
HARMONISCHE ANALYSE 617
12.2.3 AUSGEWAEHLTE FOURIER-REIHEN 618
12.3 FOURIER-TRANSFORMATION 624
12.4 LAPLACE-TRANSFORMATION 627
12.4.1 LAPLACE-TRANSFORMATION, ALLGEMEINES 627 12.4.2 RECHENREGELN DER
LAPLACE-TRANSFORMATION 629
IMAGE 13
INHALTSVERZEICHNIS 19
12.4.3 ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION 632 12.4.3.1 LOESUNG
GEWOEHNLICHER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN . 632 12.4.3.2 TEST LINEARER
UEBERTRAGUNGSGLIEDER 636
12.4.4 KORRESPONDENZTABELLE DER LAPLACE-TRANSFORMATIONEN . 639
13 STATISTIK, STOCHASTIK 643
13.1 BESCHREIBENDE (DESKRIPTIVE) STATISTIK 643
13.1.1 GRUNDBEGRIFFE 643
13.1.2 LAGEPARAMETER 647
13.1.3 STREUUNGSPARAMETER 652
13.1.4 KORRELATION 655
13.1.5 LINEARE AUSGLEICHSRECHNUNG 657
13.1.5.1 METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE 657 13.1.5.2 AUSGLEICHENDE
GERADE 658
13.1.5.3 AUSGLEICHENDE PARABEL 659
13.1.5.4 MULTIPLE REGRESSION 660
13.1.6 FEHLERFORTPFLANZUNG 661
13.2 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 665
13.2.1 ZUFALLSEXPERIMENT UND EREIGNIS 665
13.2.2 DEFINITION DER WAHRSCHEINLICHKEIT 667
13.2.3 SAETZE UEBER WAHRSCHEINLICHKEITEN 668
13.2.4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND UNABHAENGIGE EREIGNISSE 670
13.2.5 ZUFAELLIGE VARIABLE 673
13.2.6 KENNGROESSEN VON ZUFAELLIGEN VARIABLEN 676
13.2.6.1 ERWARTUNGSWERT 676
13.2.6.2 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG 678 13.2.6.3 SCHIEFE UND EXZESS
680
13.2.7 AUSGEWAEHLTE DISKRETE VERTEILUNGEN 681
13.2.7.1 DISKRETE GLEICHVERTEILUNG 681
13.2.7.2 BERNOULLL-VERTEILUNG 682
13.2.7.3 BINOMIALVERTEILUNG 682
13.2.7.4 POISSON-VERTEILUNG 685
13.2.7.5 HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG 687 13.2.7.6 GEOMETRISCHE
VERTEILUNG 688
13.2.8 AUSGEWAEHLTE STETIGE VERTEILUNGEN 689
13.2.8.1 STETIGE GLEICHVERTEILUNG (RECHTECKVERTEILUNG). 689 13.2.8.2
NORMALVERTEILUNG 689
13.2.8.3 EXPONENTIALVERTEILUNG 695
13.2.8.4 ^-VERTEILUNG 696
13.2.8.5 F-VERTEILUNG(STUDENT-VERTEILUNG) 697 13.3 SCHLIESSENDE
(INDUKTIVE) STATISTIK 698
13.3.1 GRUNDBEGRIFFE 698
13.3.2 PUNKTSCHAETZUNGEN 699
IMAGE 14
20 INHALTSVERZEICHNIS
13.3.3 INTERVALLSCHAETZUNGEN 701
13.3.3.1 KONFIDENZINTERVALL FUER DEN ANTEIL P 702 13.3.3.2
KONFIDENZINTERVALLE FUER DEN ERWARTUNGSWERT SS . 703 13.3.3.3
KONFIDENZINTERVALL FUER DIE VARIANZ X 2 706 13.3.4 HYPOTHESENTESTS 707
13.3.4.1 ALLGEMEINES UEBER TESTS 707
13.3.4.2 TEST UEBER DEN ANTEIL P 709
13.3.4.3 TESTS UEBER DEN ERWARTUNGSWERT P 712 13.3.4.4 TEST UEBER DIE
VARIANZ A 2 715
13.3.4.5 ^ 2-ANPASSUNGSTEST 716
14 INTEGRALTABELLEN 719
14.1 INTEGRALE RATIONALER FUNKTIONEN 720
14.1.1 INTEGRALE MIT AX + B 720
14.1.2 INTEGRALE MIT AX + B, EX + D 723
14.1.3 INTEGRALE MIT AX 2 + BX + C 724
14.1.4 INTEGRALE MIT A 2 X2 726
14.1.5 INTEGRALE MIT A 3 X3 729
14.1.6 INTEGRALE MIT A 4 + X4, A4 - X4 730
14.2 INTEGRALE NICHTRATIONALER FUNKTIONEN 730
14.2.1 INTEGRALE MIT VX UND (A 2 TEX)* 730
14.2.2 INTEGRALE MIT YJ(AX + B) 731
14.2.3 INTEGRALE MIT ^/(AX + B) N, ^(CX + D)M 733
14.2.4 INTEGRALE MIT ^/(A 2 + X 2 ) 735
14.2.5 INTEGRALE MIT ^ {A 2 - X2) 738
14.2.6 INTEGRALE MIT ^ ( X 2 - A2) 740
14.2.7 INTEGRALE MIT ^(AX Z + BX+C)N 743
14.3 INTEGRALE TRANSZENDENTER FUNKTIONEN 746
14.3.1 INTEGRALE MITE** (EXPONENTIALFUNKTIONEN) 746 14.3.2 INTEGRALE DER
HYBERBELFUNKTIONEN 747
14.3.3 INTEGRALE MIT IN X (LOGARITHMISCHE FUNKTION) 749 14.3.4 INTEGRALE
MIT SIN AX 750
14.3.5 INTEGRALE MIT COS AX 753
14.3.6 INTEGRALE MIT SIN AX UND COS AX BZW. COS BX 756 14.3.7 INTEGRALE
MIT TAN AX BZW. COTAX 760
14.3.8 INTEGRALE DER ARKUSFUNKTIONEN 762
14.3.9 INTEGRALE DER AREAFUNKTIONEN 763
14.4 BESTIMMTE UND UNEIGENTLICHE INTEGRALE 764
ANHANG 772
SACHWORTVERZEICHNIS 783
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