Kompendium der Analysis: ein kompletter Bachelor-Kurs von Reellen Zahlen zu Partiellen Differentialgleichungen
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Wiesbaden
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INHALTSVERZEICHNIS
DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG, KAPITEL 1 - 14 1 1 GRUNDLAGEN UND
BEZEICHNUNGEN 3
1.1 MENGEN UND ABBILDUNGEN 3
1.2 ELEMENTE DER LOGIK 5
2 ZAHLEN 7
2.1 NATUERLICHE UND RATIONALE ZAHLEN 7
2.1.1 NATUERLICHE ZAHLEN 7
2.1.2 RATIONALE ZAHLEN 12
2.2 REELLE ZAHLEN 14
2.3 KOMPLEXE ZAHLEN 15
3 FOLGEN UND GRENZWERTE 17
4 REIHEN 23
5 ELEMENTE DER TOPOLOGIE UND DER FUNKTIONALANALYSIS 27 5.1 MAECHTIGKEIT
VON MENGEN 27
5.2 METRISCHE RAEUME 29
5.3 REELLE PUNKTMENGEN 32
5.4 KOMPAKTE MENGEN 35
5.5 NORMIERTE RAEUME UND HILBERTRAEUME 38
6 STELLENWERTSYSTEME UND DIE ZAHL E 43
6.1 STELLENWERTSYSTEME 43
6.2 DIE ZAHL E 45
7 FUNKTIONEN EINER REELLEN VERAENDERLICHEN 47
7.1 STETIGE FUNKTIONEN 47
7.2 FUNKTIONENFOLGEN 55
7.3 ELEMENTARE FUNKTIONEN 58
7.3.1 DIE EXPONENTIALFUNKTION UND DER LOGARITHMUS 58 7.3.2 SINUS,
COSINUS UND HYPERBELFUNKTIONEN 60
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7.4 DIFFERENZIERBARE ABBILDUNGEN 64
7.5 DER MITTELWERTSATZ UND FOLGERUNGEN 68
8 INTEGRATION IM R 1 75
8.1 STAMMFUNKTIONEN 75
8.2 TREPPENFUNKTIONEN UND IHRE INTEGRALE 79
8.3 REGELFUNKTIONEN 83
8.4 DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 87 8.5
VERTAUSCHUNG VON GRENZPROZESSEN 89
8.6 PARAMETERABHAENGIGE INTEGRALE 92
8.7 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 94
8.8 DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL 98
9 REIHEN VON FUNKTIONEN 101
9.1 DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 101
9.2 POTENZREIHEN 103
9.3 TAYLORREIHEN 109
9.4 DER WEIERSTRASSSCHE APPROXIMATIONSSATZ 114
9.5 ORTHONORMALSYSTEME 119
9.6 KONVERGENZ VON FOURIERREIHEN 124
10 DIE TOPOLOGIE DES R* 131
10.1 R N ALS NORMIERTER VEKTORRAUM 131
10.2 STETIGKEIT UND KOMPAKTHEIT 134
11 FUNKTIONEN MEHRERER VERAENDERLICHER 139
11.1 DIFFERENZIERBARE ABBILDUNGEN 139
11.2 DER MITTELWERTSATZ 148
11.3 HOEHERE ABLEITUNGEN 150
11.4 EXTREMA UNTER NEBENBEDINGUNGEN 160
12 KURVEN UND FLAECHEN 165
12.1 WEGLAENGEN 165
12.2 KURVEN IN DER EBENE UND IM RAUM 169
12.3 M-DIMENSIONALE FLAECHEN IM R* 171
13 INTEGRATION IM R N 177
13.1 MASSE UND MESSBARE FUNKTIONEN 177
13.2 DAS LEBESGUE-INTEGRAL 184
13.3 ITERIERTE INTEGRALE 191
13.4 DER TRANSFORMATIONSSATZ 194
13.5 KURVENINTEGRALE UND FLAECHENINTEGRALE 197
13.6 DIE INTEGRALSAETZE VON GAUSS UND STOKES 207
IMAGE 3
XI
14 LOKALE UMKEHRBARKEIT UND IMPLIZITE FUNKTIONEN 217
14.1 LOKALE UMKEHRBARKEIT 217
14.2 IMPLIZITE FUNKTIONEN 219
GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN, KAPITEL 15 - 19 225
15 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN - BEISPIELE 227
16 KLASSISCHE EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSAETZE 233
17 SPEZIELLE LOESUNGSMETHODEN 243
17.1 SPEZIELLE GLEICHUNGEN 243
17.2 LINEARE SYSTEME 248
18 QUALITATIVE ASPEKTE 257
18.1 STABILITAET 261
18.2 PERIODISCHE LOESUNGEN (IM R 2 ) 266
18.3 PHASENPORTRAETS: BEISPIELE 267
19 RAND- UND EIGENWERTAUFGABEN 273
19.1 LINEARE RANDWERTAUFGABEN N-TER ORDNUNG 274
19.2 DIE GREENSCHE FUNKTION 277
19.3 EIGENWERTAUFGABEN 283
PRUEFUNGSVORBEREITUNG 293
20 PRUEFUNGSVORBEREITUNG 295
20.1 ANALYSIS I: KAPITEL 1 -9 295
20.2 ANALYSIS II: KAPITEL 1 0 - 14 298
20.3 ANALYSIS III: GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 301
LITERATURVERZEICHNIS 303
NOTATION 305
INDEX 309
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