Numerische Mathematik:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2011
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| Ausgabe: | 8., aktualisierte Aufl. |
| Schriftenreihe: | Studium
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 591 Seiten Illustrationen |
| ISBN: | 9783834815514 |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Einleitung 13
1 Fehlertheorie 15
1.1 Fehlerarten.................................... 15
1.2 Zahldarstellung.................................. 16
1.3 Rundungsfehler.................................. 18
1.4 Differenzielle Fehleranalyse........................... 21
1.5 Ergänzungen und Beispiele........................... 24
1.6 Software...................................... 27
1.7 Aufgaben..................................... 28
2 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden 30
2.1 Der
G
auß-Algorithmus ............................. 30
2.1.1 Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung....... 30
2.1.2 Pivotstrategien.................................. 38
2.1.3 Ergänzungen................................... 43
2.2 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen................... 47
2.2.1 Normen...................................... 47
2.2.2 Fehlerabschätzungen, Kondition ........................ 52
2.3 Systeme mit speziellen Eigenschaften ..................... 56
2.3.1 Symmetrische, positiv
definite
Systeme .................... 56
2.3.2 Bandgleichungen................................. 62
2.3.3 Tridiagonale Gleichungssysteine ........................ 64
2.4 Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner............... 67
2.4.1 Voll besetzte Systeme.............................. 68
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme ........................ 73
2.5 Anwendungen .................................. 82
2.6 Software...................................... 87
2.7 Aufgaben..................................... 88
8 Inhalt
3 Interpolation und Approximation 91
3.1 Polynominterpolation.............................. 92
3.1.1 Problemstellung................................. 92
3.1.2 Lagrange-Interpolation ............................. 95
3.1.3 Newton-Interpolation.............................. 95
3.1.4 Hermite-Interpolation.............................. 98
3.1.5
Inverse
Interpolation............................... 100
3.1.6 Anwendung: Numerische Differenziation.................... 101
3.2
Splines
...................................... 106
3.2.1 Kubische
Splines
................................. 107
3.2.2 B-Splines 1. Grades............................... 112
3.2.3 Kubische B-Splines................................ 114
3.3 Zweidimensionale Splineverfahren ....................... 119
3.3.1 Bilineare Tensorsplines ............................. 120
3.3.2 Bikubische Tensorsplines ............................ 123
3.4 Kurveninterpolation............................... 125
3.5 Kurven und Flächen mit
Bézier-Polynomen
.................. 127
3.5.1 Bernstein-Polynome............................... 127
3.5.2
Bézier-Darstellung
eines Polynoms....................... 129
3.5.3 Der Casteljau-Algorithmus........................... 130
3.5.4
Bézier-Kurven
.................................. 131
3.5.5
Bézier-Flächen
.................................. 137
3.6 Gauß-Approximation .............................. 140
3.6.1 Diskrete
G
auß-Approximation ......................... 142
3.6.2 Kontinuierliche Gauß-Approximation...................... 144
3.7 Trigonometrische Approximation........................ 145
3.7.1 Fourier-Reihen.................................. 145
3.7.2 Effiziente Berechnung der
Fourier-
Koeffizienten................ 154
3.8 Orthogonale Polynome ............................. 161
3.8.1 Approximation mit Tschebyscheff-Polynomen................. 162
3.8.2 Interpolation mit Tschebyscheff-Polynomen.................. 170
3.8.3 Die Legendre-Polynome............................. 174
3.9 Software...................................... 179
3.10 Aufgaben..................................... 179
4 Nichtlineare Gleichungen 183
4.1 Theoretische Grundlagen............................ 183
4.1.1 Problemstellung................................. 183
4.1.2 Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz.............. 185
4.1.3 Stabilität und Kondition ............................ 189
Inhalt 9
4 2 Gleichungen in einer Unbekannten....................... 190
4 2.1 Das Verfahren der Bisektion .......................... 190
4 2.2 Das Verfahren von Newton........................... 192
4.2.3 Die Sekantenmethode.............................. 195
4.2.4
Brents
Black-box-Methode........................... 196
4.3 Gleichungen in mehreren Unbekannten..................... 199
4.3.1 Fixpunktiteration und Konvergenz....................... 199
4.3.2 Das Verfahren von Newton........................... 200
4.4 Nullstellen von Polynomen........................... 207
4.4.1 Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton-Maehly............ 207
4.4.2 Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow.............. 211
4.5 Software...................................... 215
4.6 Aufgaben..................................... 215
5 Eigenwertprobleme 218
5.1 Theoretische Grundlagen............................ 219
5.1.1 Das charakteristische Polynom......................... 219
5.1.2 Ähnlichkeitstransformationen.......................... 219
5.1.3 Symmetrische Eigenwertprobleme ....................... 220
5.1.4 Elementare Rotationsmatrizen......................... 220
5.2 Das klassische Jacobi-Verfahren......................... 222
5.3 Die Vektoriteration ............................... 229
5.3.1 Die einfache Vektoriteration nach von
Mises
.................. 229
5.3.2 Die
inverse
Vektoriteration........................... 231
5.4 Transformationsmethoden............................ 232
5.4.1 Transformation auf Hessenberg-Form ..................... 233
5.4.2 Transformation auf tridiagonale Form..................... 237
5.4.3 Schnelle
Givens-
Transformation......................... 239
5.5
Qñ-Algorithmus
................................. 243
5.5.1 Grundlagen zur
Q R-
Transformation...................... 243
5.5.2 Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte.................. 248
5.5.3 (J-R-Doppelschritt, komplexe Eigenwerte.................... 253
5.5.4
(ЗЯ
-Algorithmus
für tridiagonale Matrizen .................. 256
5.5.5 Zur Berechnung der Eigenvektoren....................... 260
5.6 Das allgemeine Eigenwertproblem....................... 261
5.6.1 Der symmetrisch positiv
definite Fall
...................... 261
5.7 Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität................... 264
5.8 Anwendung: Membranschwingungen...................... 268
5.9 Software...................................... 270
5.10 Aufgaben..................................... 271
10 Inhalt
6 Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate 274
6.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen............... 274
6.2 Methoden der Orthogonaltransformation ................... 278
6.2.1
Givens-
Transformation ............................. 279
6.2.2 Spezielle Rechentechniken............................ 284
6.2.3
Householder-Transformation
.......................... 286
6.3 Singulärwertzerlegung.............................. 292
6.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme........................ 296
6.4.1 Gauß-Newton-Methode............................. 297
6.4.2 Minimierungsverfahren ............................. 300
6.5 Software...................................... 304
6.6 Aufgaben..................................... 305
7 Numerische Integration 307
7.1 Newton-Cotes-Formeln ............................. 308
7.1.1 Konstruktion von Newton-
Cotes-
Formeln................... 308
7.1.2 Verfeinerung der Trapezregel.......................... 310
7.2 Romberg-Integration............................... 313
7.3 Transformationsmethoden............................ 315
7.3.1 Periodische
Integranden
............................. 316
7.3.2 Integrale über
R
................................. 318
7.3.3 Variablensubstitution.............................. 320
7.4
Gauià-Integration
................................. 323
7.4.1 Eingebettete Gauß-Regeln............................ 331
7.5
Adaptive
Integration............................... 332
7.6 Mehrdimensionale Integration.......................... 336
7.6.1 Produktintegration................................ 336
7.6.2 Integration über Standardgebiete........................ 337
7.7 Software...................................... 338
7.8 Aufgaben..................................... 339
8 Anfangswertprobleme 342
8.1 Einführung.................................... 343
8.1.1 Probleinklasse und theoretische Grundlagen.................. 343
8.1.2 Möglichkeiten numerischer Lösung....................... 345
8.2 Einschrittverfahren................................ 350
8.2.1 Konsistenz.................................... 350
8.2.2 Runge-Kutta-Verfahrcn............................. 353
8.2.3 Explizite Runge-Kutta-Verfahren........................ 354
Inhalt 11
8.2.4 Halbimplizite Runge-Kutta-Verfahren..................... 358
8.2.5 Schrittweitensteuerung.............................. 359
8.3 Mehrschrittverfahren............................... 363
8.3.1 Verfahren vom Adams-Typ........................... 363
8.3.2 Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion................ 368
8.4 Stabilität..................................... 376
8.4.1 Inhärente Instabilität.............................. 376
8.4.2 Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren.................. 378
8.4.3 Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren................. 380
8.4.4 Steife Differenzialgleichungcn.......................... 384
8.5 Anwendung:
Lotka-
Volterras Wettbewerbsmodell............... 388
8.6 Software...................................... 391
8.7 Aufgaben..................................... 392
9 Rand- und Eigenwertprobleme 395
9.1 Problemstellung und Beispiele......................... 395
9.2 Lineare Randwertaufgaben........................... 399
9.2.1 Allgemeine Lösung................................ 399
9.2.2 Analytische Methoden.............................. 401
9.2.3 Analytische Methoden mit Funktionenansätzen................ 404
9.3 Schießverfahren.................................. 408
9.3.1 Das Einfach-SchieJiverfahren.......................... 408
9.3.2 Das Mehrfach-Schieß verfahren......................... 413
9.4 Differenzenverfahren............................... 418
9.4.1 Dividierte Differenzen.............................. 418
9.4.2 Diskretisierung der Randwertaufgabe ..................... 419
9.5 Software...................................... 424
9.6 Aufgaben..................................... 425
10 Partielle Differenzialgleichungen 427
10.1 Differenzenverfahren............................... 427
10.1.1 Problemstellung................................. 427
10.1.2 Diskretisierung der Aufgabe........................... 429
10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen............ 434
10.1.4 Diskretisierungsfehler.............................. 444
10.1.5 Ergänzungen................................... 446
10.2 Parabolische Anfangsrandwertaufgaben.................... 448
10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode................. 448
10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode ................ 454
10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten................ 459
12 Inhalt
10.2.4 Zweidimensionale Probleme........................... 461
10.3 Methode der finiten Elemente.......................... 466
10.3.1 Grundlagen.................................... 466
10.3.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente................... 469
10.3.3 Elementweise Bearbeitung............................ 471
10.3.4 Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen.............. 477
10.3.5 Beispiele ..................................... 477
10.4 Software...................................... 482
10.5 Aufgaben..................................... 483
11 Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren 487
11.1 Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen............... 487
11.2 Relaxationsverfahren............................... 489
11.2.1 Konstruktion der Iterationsverfahren...................... 489
11.2.2 Einige Konvergenzsätze............................. 494
11.2.3 Optimaler Relaxationsparameter und Konvergenzgeschwindigkeit ..... 505
11.3 Mehrgittermethoden............................... 508
11.3.1 Ein eindimensionales Modellproblem...................... 508
11.3.2 Eigenschaften der gedämpften Jacobi-Iteration................ 509
11.3.3 Ideen für ein Zweigitterverfahren........................ 511
11.3.4 Eine eindimensionale Zweigittermethode.................... 513
11.3.5 Eine erste Mehrgittermethode ......................... 517
11.3.6 Die Mehrgitter-Operatoren für das zweidimensionale Modellproblem .... 520
11.3.7 Vollständige
M
ehr
gitter
zy
klen
......................... 522
11.3.8 Komplexität ................................... 523
11.3.9 Ein Hauch Theorie................................ 524
11.4 Methode der konjugierten Gradienten..................... 530
11.4.1 Herleitung des Algorithmus........................... 530
11.4.2 Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten........... 534
11.4.3 Konvergenzabschätzung............................. 538
11.4.4 Vorkonditionierung................................ 541
11.5 Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen............ 547
11.5.1 Grundlagen des Verfahrens........................... 548
11.5.2 Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften............... 551
11.6 Speicherung schwach besetzter Matrizen.................... 556
11.7 Software...................................... 559
11.8 Aufgaben..................................... 559
Literaturverzeichnis 563
Sachverzeichnis 576
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