Aufgabensammlung Analysis I: 1
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München
Oldenbourg
(2011)
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIV, 191 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783486705430 |
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I
Aufgaben 1
0 Mengen, Relationen und Abbildungen 3
0.1 Naive Mengenlehre................................................ 3
0.2 Geordnete Paare und Relationen.................................. 5
0.3 Abbildungen...................................................... 5
0.4 Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen................... 6
1 Grundlagen der
Analysis
9
1.1 Die natürlichen Zahlen............................................ 9
1.2 Abzählbarkeit..................................................... 10
1.3 Körper............................................................ 12
1.4 Angeordnete Körper .............................................. 13
1.5 Das Archimedische Axiom........................................ 15
1.6 Folgen in einem angeordneten Körper............................. 15
1.7 Vollständigkeit.................................................... 19
2 Das System der reellen Zahlen 21
2.1
Axiomatische
Einführung der reellen Zahlen...................... 21
2.2 Dezimalbruchentwicklung......................................... 22
2.3 Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl.......................... 22
2.4 Weitere Vollständigkeitsprinzipien ................................ 24
2.5 Häufungswerte.................................................... 27
2.6 Das erweiterte reelle Zahlensystem................................ 28
VIII
______________________________________________Inhaltsverzeichnis
3 Unendliche Reihen 29
3.1 Unendliche Reihen................................................ 29
3.2 Vergleichskriterien ................................................ 31
3.3 Potenzreihen...................................................... 33
3.4 Partielle
Summation
.............................................. 35
3.5 Der Umordmmgssatz.............................................. 36
3.6 Doppelfolgen...................................................... 37
3.7 Doppelreihen...................................................... 37
3.8 Produkte von Reihen.............................................. 38
4 Stetige Funktionen einer Variablen 39
4.1 Reelle Funktionen ................................................ 39
4.2 Polynome und rationale Funktionen .............................. 39
4.3 Der Limes einer Funktion......................................... 40
4.4 Stetige Funktionen................................................ 41
4.5 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen.................... 44
4.6 Monotone Funktionen............................................. 44
4.7 Gleichmäßige Konvergenz......................................... 45
4.8 Der Weierstraßsche Approximationssatz .......................... 46
4.9 Reihen von Funktionen............................................ 47
5 Differentialrechnung einer Variablen 49
5.1 Differenzier bare Funktionen einer Variablen....................... 49
5.2 Ableitungsregeln.................................................. 51
5.3 Kurvendiskussion und der Mittelwertsatz......................... 52
5.4 Die de L Hospitalschen Regeln.................................... 53
5.5 Differentiation von Folgen und Reihen............................ 54
5.6 Höhere Ableitungen und die Taylorsche Formel................... 55
5.7 Lokale
Extrema
................................................... 59
5.8 Konvexität........................................................ 60
Inhaltsverzeichnis________________________________________________
IX
6 Die elementaren transzendenten Funktionen 61
6.1 Die Exponentialfunktion.......................................... 61
6.2 Die Hyperbelfunktionen........................................... 62
6.3 Der Logarithmus.................................................. 62
6.4 Die allgemeine Potenz............................................. 63
6.5 Die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus ......................... 63
6.6 Tangens und
Cotangens
........................................... 65
6.7 Die Arcusfunktionen.............................................. 65
6.8 Polarkoordinaten.................................................. 65
7 Integralrechnung 67
7.1 Stammfunktionen................................................. 67
7.2 Grundintegrale.................................................... 67
7.3 Partielle Integration und Substitution............................. 67
7.4 Integration rationaler Funktionen................................. 69
7.5 Klassen elementar integrierbarer Funktionen...................... 69
8 Das Riemannsche Integral 71
8.1 Das Riemann-Darbouxsche Integral............................... 71
8.2 Die Riemannsche Definition....................................... 71
8.3 Klassen integrierbarer Funktionen................................. 72
8.4 Eigenschaften integrier barer Funktionen.......................... 73
8.5 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung............. 76
8.6 Integralformeln.................................................... 77
8.7 Uneigentliche Integrale............................................ 77
8.8 Das Integralkriterium und Anwendungen......................... 79
8.9 Grenzwertsätze.................................................... 80
A
Mengensysteme, Relationen und Partitionen 83
A. 1 Mengensysteme................................................... 83
A.2 Indizierte Familien................................................ 83
χ
_____________________________________________Inhaltsverzeichnis
А.З
Äquivalenzrelationen und Partitionen............................. 84
A.4 Ordnungsrelationen............................................... 86
В
Konstruktion der reellen Zahlen 87
B.l Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper .................... 87
B.2 Definition der reellen Zahlen...................................... 87
B.3 Der angeordnete Körper der reellen Zahlen....................... 87
B.4 Der Dedekindsche Satz............................................ 87
B.5 Das Hilbertsche Programm........................................ 88
С
Elementare komplexe
Analysis
89
Cl
Komplexe Zahlen ................................................. 89
C.2 Unendliche Reihen komplexer Zahlen............................. 91
C.3 Komplexe Polynome und rationale Funktionen ................... 92
C.4 Komplexe Funktionen............................................. 92
C.5 Komplex differenzierbare Funktionen............................. 93
C.6 Die Exponentialfunktion.......................................... 93
C.7 Die trigonometrischen Funktionen ................................ 94
C.8 Der Logarithmus und die allgemeine Potenz...................... 94
C.9 Der Fundamentalsatz der Algebra................................. 95
CIO Integration komplexer Funktionen ................................ 95
II
Lösungen und Hinweise 97
0 Mengen, Relationen und Abbildungen 99
0.1 Naive Mengenlehre................................................ 99
0.2 Geordnete Paare und Relationen..................................102
0.3 Abbildungen......................................................102
0.4 Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen...................104
1 Grundlagen der
Analysis
107
1.1 Die natürlichen Zahlen und das Induktionsprinzip................107
Inhaltsverzeichnis_________________________________________
XI
1.2 Abzählbarkeit.....................................................110
1.3 Körper............................................................113
1.4 Angeordnete Körper ..............................................115
1.5 Das Archimedische Axiom........................................117
1.6 Folgen in einem angeordneten Körper.............................118
1.7 Vollständigkeit....................................................122
2 Das System der reellen Zahlen 123
2.1
Axiomatische
Einführung der reellen Zahlen......................123
2.2 Dezimalbruchentwicklung.........................................124
2.3 Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl..........................124
2.4 Weitere Vollständigkeitsprinzipien ................................127
2.5 Häufungswerte....................................................129
2.6 Das erweiterte reelle Zahlensystem................................131
3 Unendliche Reihen 133
3.1 Unendliche Reihen................................................133
3.2 Vergleichskriterien ................................................134
3.3 Potenzreihen......................................................135
3.4 Partielle
Summation
..............................................138
3.5 Der Umordnungssatz..............................................138
3.6 Doppelfolgen......................................................139
3.7 Doppelreihen......................................................139
3.8 Produkte von Reihen..............................................140
4 Stetige Funktionen einer Variablen 143
4.1 Reelle Funktionen.................................................143
4.2 Polynome und rationale Funktionen ..............................144
4.3 Der Limes einer Funktion.........................................145
4.4 Stetige Funktionen................................................146
4.5 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen....................148
XII
______________________________________________Inhaltsverzeichnis
4.6
Monotone
Funktionen.............................................149
4.7 Gleichmäßige Konvergenz.........................................150
4.8 Der Weierstraßsche Approximationssatz ..........................151
4.9 Reihen von Funktionen............................................151
5 Differentialrechnung einer Variablen 153
5.1 Differenzierbare Funktionen einer Variablen.......................153
5.2 Ableitungsregeln..................................................154
5.3 Kurvendiskussion und der Mittelwertsatz.........................154
5.4 Die de l Hospitalschen Regeln.....................................155
5.5 Differentiation von Folgen und Reihen............................155
5.6 Höhere Ableitungen und die
Тау
lor
sehe Formel...................156
5.7 Lokale
Extrema
...................................................161
5.8 Konvexität........................................................161
6 Die elementaren transzendenten Funktionen 163
6.1 Die Exponentialfunktion..........................................163
6.2 Die Hyperbelfunktionen...........................................164
6.3 Der Logarithmus..................................................164
6.4 Die allgemeine Potenz.............................................166
6.5 Die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus .........................167
6.6 Tangens und
Cotangens
...........................................167
6.7 Die Arcusfunktionen..............................................168
6.8 Polarkoordinaten..................................................168
7 Integralrechnung 169
7.1 Stammfunktionen.................................................169
7.2 Grundintegrale....................................................169
7.3 Partielle Integration und Substitution.............................169
7.4 Integration rationaler Funktionen.................................170
7.5 Klassen elementar integrierbarer Funktionen......................170
Inhaltsverzeichnis_____________________________________________
XIII
8 Das Riemannsche Integral 173
8.1 Das Riemann-Darbouxsche Integral...............................173
8.2 Die Riemannsche Definition.......................................173
8.3 Klassen integrierbarer Funktionen.................................174
8.4 Eigenschaften integrierbarer Funktionen..........................174
8.5 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.............176
8.6 Integralformeln....................................................176
8.7 Uneigentliche Integrale............................................176
8.8 Das
Integrálkritérium
und Anwendungen.........................177
8.9 Grenzwertsätze....................................................177
A
Mengensysteme, Relationen und Partitionen 179
A. 1 Mengensysteme ...................................................179
A.2 Indizierte Familien................................................179
A.3 Äquivalenzrelationen und Partitionen.............................179
A.4 Ordnungsrelationen...............................................181
В
Konstruktion der reellen Zahlen 183
B.l Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper....................183
B.2 Definition der reellen Zahlen......................................183
B.3 Der angeordnete Körper der reellen Zahlen.......................183
B.4 Der Dedekindsche Satz............................................184
B.5 Das Hilbertsche Programm........................................184
С
Elementare komplexe
Analysis
185
Cl
Komplexe Zahlen .................................................185
C.2 Unendliche Reihen komplexer Zahlen.............................185
C.3 Komplexe Polynome und rationale Funktionen ...................186
C.4 Komplexe Funktionen.............................................187
C.5 Komplex differenzierbare Funktionen.............................188
C.6 Die Exponentialfunktion..........................................188
XIV
_____________________________________________Inhaltsverzeichnis
С.
7 Die trigonometrischen Funktionen ................................189
С.
8 Der Logarithmus und die allgemeine Potenz......................189
C.9 Der Fundamentalsatz der Algebra.................................189
CIO Integration komplexer Funktionen ................................190
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| Exemplar 1 | ausleihbar Verfügbar Bestellen |