Mathematik mit Simulationen lehren und lernen: plus 2000 Beispiele aus der Physik
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Berlin [u.a.]
De Gruyter
2011
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INHALTSVERZEICHNIS
1 EINFUEHRUNG 1
1.1 ZIELSETZUNG UND STRUKTUR DES DIGITALEN BUCHS 1
1.2 VERZEICHNISSE 2
1.3 BEDIENUNG UND TECHNISCHE KONVENTIONEN 4
1.4 EIN SIMULATIONSBEISPIEL: MOEBIUSBAND 6
2 PHYSIK UND MATHEMATIK 9
2.1 MATHEMATIK ALS *SPRACHE DER PHYSIK 9
2.2 PHYSIK UND INFINITESIMALRECHNUNG 10
3 ZAHLEN 12
3.1 NATUERLICHE ZAHLEN 12
3.2 GANZE ZAHLEN 15
3.3 RATIONALE ZAHLEN 16
3.4 IRRATIONALE ZAHLEN 17
3.4.1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 17
3.4.2 TRANSZENDENTE ZAHLEN 18
3.4.3 DIE ZAHL N UND DIE QUADRATUR DES KREISES NACH ARCHIMEDES . 18 3.5
REELLE ZAHLEN 22
3.6 KOMPLEXE ZAHLEN 23
3.6.1 DARSTELLUNG ALS PAAR REELLER ZAHLEN 23
3.6.2 NORMALDARSTELLUNG MIT *IMAGINAERER EINHEIT I 25
3.6.3 KOMPLEXE EBENE 28
3.6.4 DARSTELLUNG IN POLARKOORDINATEN 29
3.6.5 SIMULATION VON KOMPLEXER ADDITION UND SUBTRAKTION 30 3.6.6
SIMULATION VON KOMPLEXER MULTIPLIKATION UND DIVISION . . .. 32 3.7
ERWEITERUNGEN DER ARITHMETIK 33
4 ZAHLEN-FOLGEN, REIHEN UND GRENZWERTE 36
4.1 FOLGEN UND REIHEN 36
4.1.1 FOLGE UND REIHE DER NATUERLICHEN ZAHLEN 36
4.1.2 GEOMETRISCHE REIHE 37
4.2 GRENZWERT, LIMES 38
4.3 FIBONACCI-FOLGE 41
4.4 KOMPLEXE FOLGEN UND REIHEN 43
4.4.1 KOMPLEXE GEOMETRISCHE FOLGE UND REIHE 44
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/1009312588
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
INHALTSVERZEICHNIS
4.4.2 KOMPLEXE EXPONENTIELLE FOLGE UND EXPONENTIALREIHE 45
4.5 EINFLUSS VON BEGRENZTER MESSGENAUIGKEIT UND NICHTLINEARITAET 49 4.5.1
ZAHLEN IN MATHEMATIK UND PHYSIK 49
4.5.2 REELLE FOLGE MIT NICHTLINEAREM BILDUNGSGESETZ: LOGISTISCHE FOLGE
52
4.5.3 KOMPLEXE FOLGE MIT NICHTLINEAREM BILDUNGSGESETZ: FRAKTALE . 58
FUNKTIONEN UND IHRE INFINITESIMALEN EIGENSCHAFTEN 64
5.1 DEFINITION VON FUNKTIONEN 64
5.2 DIFFERENZENQUOTIENT UND DIFFERENTIALQUOTIENT 65
5.3 ABLEITUNGEN EINIGER GRUNDFUNKTIONEN 66
5.3.1 POTENZEN UND POLYNOME 66
5.3.2 EXPONENTIALFUNKTION 68
5.3.3 WINKELFUNKTIONEN 68
5.3.4 REGELN ZUM DIFFERENZIEREN ZUSAMMENGESETZTER FUNKTIONEN . . 69
5.3.5 WEITERE ABLEITUNGEN VON GRUNDFUNKTIONEN 69
5.4 REIHENENTWICKLUNG (1), TAYLORREIHE 70
5.4.1 KOEFFIZIENTEN DER TAYLORREIHE 70
5.4.2 NAEHERUNGSFORMELN FUER EINFACHE FUNKTIONEN 74
5.4.3 ABLEITUNG VON FORMELN UND FEHLERGRENZEN BEI DER NUMERI- SCHEN
DIFFERENTIATION 75
5.4.4 INTERAKTIVE VISUALISIERUNG VON TAYLORENTWICKLUNGEN 76 5.5
GRAPHISCHE DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN 79
5.5.1 FUNKTIONEN MIT EIN BIS DREI VARIABLEN 79
5.5.2 FUNKTIONEN VON VIER VARIABLEN: WELTLINIE IN DER SPEZIELLEN RE-
LATIVITAETSTHEORIE 82
5.5.3 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN Y = F{X) 84 5.5.4
*EXOTISCHE FUNKTIONEN 85
5.6 GRENZUEBERGANG ZUM DIFFERENTIALQUOTIENTEN 86
5.7 ABLEITUNG UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 89
5.8 PHASENRAUM-DIAGRAMME 90
5.9 INTEGRAL 91
5.9.1 DEFINITION DER STAMMFUNKTION DURCH IHRE DIFFERENTIALGLEICHUNG 91
5.9.2 BESTIMMTES INTEGRAL UND ANFANGSWERT 92
5.9.3 INTEGRAL ALS GRENZWERT EINER SUMME 93
5.9.4 RIEMANNSCHE INTEGRALDEFINITION 95
5.9.5 LEBESGUE-INTEGRAL 97
5.9.6 REGELN FUER DIE ANALYTISCHE INTEGRATION 98
5.9.7 NUMERISCHE INTEGRATIONSMETHODEN 99
5.9.8 FEHLERABSCHAETZUNG BEI NUMERISCHER INTEGRATION 101
5.10 REIHENENTWICKLUNG (2): DIE FOURIERREIHE 103
5.10.1 TAYLORREIHE UND FOURIERREIHE 103
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS XI
5.10.2 BESTIMMUNG DER FOURIER-KOEFFIZIENTEN 105
5.10.3 VERANSCHAULICHUNG DER BERECHNUNG VON KOEFFIZIENTEN UND SPEKTRUM
106
5.10.4 BEISPIELE FUER FOURIER-ENTWICKLUNGEN 108
5.10.5 KOMPLEXE FOURIERREIHEN 110
5.11 NUMERISCHE LOESUNG VON GLEICHUNGEN: ITERATIONSVERFAHREN 111
6 VERANSCHAULICHUNG VON FUNKTIONEN IM REELLEN ZAHLENRAUM 1 14 6.1
STANDARD-FUNKTIONEN;; = F{X) 114
6.2 EINIGE PHYSIKALISCH WICHTIGE FUNKTIONEN Y - F(X) 118
6.3 STANDARDFUNKTIONEN ZWEIER VARIABLEN Z = F(X, Y) 121
6.4 WELLEN IM RAUM Z = F(X, Y) 125
6.5 PARAMETERDARSTELLUNG VON FLAECHEN IM RAUM X = F X (P, Q) , Y =
FY(P,Q)IZ = FZ(P,Q) 127
6.6 PARAMETERDARSTELLUNG VON KURVEN IM RAUM X = F X (T); Y - F Y (T); Z
= FZIT) 130
7 VERANSCHAULICHUNG VON FUNKTIONEN IM KOMPLEXEN ZAHLENRAUM 132 7.1
KONFORME ABBILDUNG 132
7.2 KOMPLEXE POTENZFUNKTION 133
7.3 KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 137
7.4 KOMPLEXE WINKELFUNKTIONEN: SINUS, COSINUS, TANGENS 140 7.4.1
KOMPLEXER SINUS 140
7.4.2 KOMPLEXER COSINUS 142
7.4.3 KOMPLEXER TANGENS 142
7.5 KOMPLEXER LOGARITHMUS 143
8 VEKTOREN 146
8.1 VEKTOREN UND OPERATOREN ALS *KURZSCHRIFT FUER N-TUPEL VON ZAHLEN UND
FUNKTIONEN 146
8.2 3D-VISUALISIERUNG VON VEKTOREN 147
8.3 GRUNDOPERATIONEN DER VEKTORALGEBRA 150
8.3.1 MULTIPLIKATION MIT EINER KONSTANTEN 150
8.3.2 ADDITION UND SUBTRAKTION 150
8.3.3 SKALARPRODUKT, INNERES PRODUKT 151
8.3.4 VEKTORPRODUKT, AEUSSERES PRODUKT 151
8.4 VISUALISIERUNG DER GRUNDOPERATIONEN FUER VEKTOREN 152
8.5 FELDER 154
8.5.1 SKALARFELDER UND VEKTORFELDER 154
8.5.2 VISUALISIERUNGSMOEGLICHKEITEN FUER SKALAR- UND VEKTORFELDER . . 154
8.5.3 GRUNDFORMALISMEN DER VEKTORANALYSIS 155
8.5.4 POTENTIALFELDER VON PUNKTQUELLEN ALS 3D-FLAECHE 158
IMAGE 4
XI] INHALTSVERZEICHNIS
8.5.5 POTENTIALFELDER VON PUNKTQUELLEN ALS KONTURDIAGRAMM . . .. 160
8.5.6 EBENE VEKTORFELDER 162
8.5.7 3D-FELD VON PUNKTLADUNGEN 165
8.5.8 3D-BEWEGUNG EINER PUNKTLADUNG IN EINEM HOMOGENEN ELEK-
TROMAGNETISCHEN FELD 165
9 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 169
9.1 ALLGEMEINES 169
9.2 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ALS *ERZEUGENDE VON FUNKTIONEN 170 9.3
LOESUNGSVERFAHREN FUER GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 177 9.4
NUMERISCHE LOESUNGSVERFAHREN, ANFANGSWERTPROBLEM 179 9.4.1 EXPLIZITES
EULER-VERFAHREN 180
9.4.2 HEUN-VERFAHREN 181
9.4.3 RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 184
9.4.4 WEITERENTWICKLUNGEN 185
9.5 SIMULATIONEN VON GEWOEHNLICHEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 186 9.5.1
VERGLEICH VON EULER-, HEUN-UND RUNGE-KUTTA-VERFAHREN . .. 186 9.5.2
DIFFERENTIALGLEICHUNG ERSTER ORDNUNG 188
9.5.3 DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG 192
9.5.4 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN FUER OSZILLATOREN UND SCHWEREPENDEL . 196
9.5.5 SCHLUSSFOLGERUNGEN FUER DEN CHARAKTER VON LINEAREN GEWOEHN- LICHEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 199
9.5.6 CHAOTISCHE LOESUNGEN VON GEKOPPELTEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 200
10 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 206
10.1 EINIGE WICHTIGE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER PHYSIK 206
10.2 SIMULATION DER DIFFUSIONSGLEICHUNG 209
10.3 SIMULATION DER SCHROEDINGERGLEICHUNG 209
10.4 SIMULATION DER WELLENGLEICHUNG EINER SCHWINGENDEN SAITE 212
11 SAMMLUNG VON PHYSIK-SIMULATIONEN 214
11.1 SIMULATIONEN MITTELS OSP/EJS-PROGRAMM 214
11.2 EINE KURZE EINFUEHRUNG IN EJS (EASY JAVA SIMULATION) 216
11.3 VEROEFFENTLICHTE EJS-SIMULATIONEN 223
11.3.1 ELEKTRODYNAMIK 224
11.3.2 FELDER UND POTENTIALE 225
11.3.3 MATHEMATIK, DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 225
11.3.4 MECHANIK 227
11.3.5 NEWTON 230
11.3.6 OPTIK 230
11.3.7 OSZILLATOREN UND PENDEL 231
11.3.8 QUANTENMECHANIK 233
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS XIII
11.3.9 RELATIVITAETSTHEORIE 233
11.3.10 STATISTIK 234
11.3.11 THERMODYNAMIK 234
11.3.12 WEUEN 235
11.3.13 SONSTIGES 236
11.4 OSP-SIMULATIONEN, DIE NICHT MIT EJS ERSTELLT WURDEN 238
11.4.1 LISTE DER OSP-LAUNCHERPAKETE 240
11.5 IN LAUNCHER VERPACKTE EJS-SIMULATIONEN 244
11.6 KOSMOLOGISCHE SIMULATIONEN VON EUGENE BUTIKOV 245
12 SCHLUSSBEMERKUNG 250
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