Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr:
Gespeichert in:
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|---|---|
| Format: | Elektronisch E-Book |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg [u.a.]
Spektrum Akademischer Verlag
2011
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Datensatz im Suchindex
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT V
1 VEKTORRECHNUNG 1
1.1 GRUNDLAGEN DER VEKTORRECHNUNG 1
1.1.1 RICHTUNG UND BETRAG 1
1.1.2 NORMIERUNG 3
1.1.3 EINFACHE RECHENOPERATIONEN 4
1.1.4 MASSE UND SCHWERPUNKT 7
1.1.5 KANONISCHE BASISDARSTELLUNG 8
1.1.6 GEOMETRIE MIT VEKTOREN 8
1.1.7 STATIK 11
1.2 SKALARPRODUKT 14
1.2.1 SKALARPRODUKT UND PROJEKTION 15
1.2.2 FOLGERUNGEN AUS DEM SKALARPRODUKT 16
1.2.3 SKALARPRODUKT IN KOMPONENTEN 18
1.2.4 WEITERE RECHENREGELN 19
1.2.5 PARALLEL-SENKRECHT-ZERLEGUNG 20
1.2.6 SKALARPRODUKTE IN DER PHYSIK 22
1.3 VEKTORPRODUKT 23
1.3.1 DEFINITION DES KREUZPRODUKTS 23
1.3.2 FOLGERUNGEN UND RECHENREGELN 24
1.3.3 KREUZPRODUKT IN KOMPONENTEN 25
1.3.4 DOPPELTE PRODUKTE 27
1.3.5 LORENTZ-KRAFT 30
1.4 VEKTORGLEICHUNGEN 32
1.4.1 GERADE 32
1.4.2 EBENENGLEICHUNG 33
1.4.3 KREIS- UND KUGELGLEICHUNG 35
1.5 KOORDINATENSYSTEME 37
1.5.1 ORIENTIERUNG 37
1.5.2 ORTHONORMALBASIS 38
1.5.3 KOORDINATENSYSTEME 39
2 LINEARE ALGEBRA 45
2.1 MATRIZENRECHNUNG 45
2.1.1 MATRIXBEGRIFF 45
2.1.2 GRUNDLEGENDE RECHENGESETZE 46
2.1.3 DIE DETERMINANTE 51
2.1.4 INVERSE EINER MATRIX 55
2.1.5 WEITERE MATRIXOPERATIONEN 56
2.2 LINEARE GLEICHLINGSSYSTEME 61
2.2.1 WAS IST EIN LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM? 61
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/1002533678
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
V I INHALTSVERZEICHNIS
2.2.2 GAUSS- ALGORITHMUS 62
2.2.3 LOESBARKEIT LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 64
2.2.4 MATRIZENGLEICHUNGEN 66
2.3 ABBILDUNGEN 68
2.3.1 ABBILDUNGSMATRIX 68
2.3.2 SPIEGELUNGEN 70
2.3.3 DREHUNGEN 71
2.3.4 ALLGEMEINE DREHMATRIX 75
2.3.5 BASISWECHSEL = DREHUNG DES KOORDINATENSYSTEMS 77 2.4
DIAGONALISIERUNG UND HAUPTACHSENTRANSFORMATION 79
2.4.1 EIGENWERTPROBLEM 79
2.4.2 DIAGONALISIERUNG 80
2.4.3 QUADRIKEN 83
2.4.4 HAUPTACHSENTRANSFORMATION 85
3 RECHNEN MIT INDIZES 91
3.1 EINSTEIN SCHE SUMMENKONVENTION 91
3.2 SKALARPRODUKT UND DAS KRONECKER-SYMBOL 93
3.2.1 SKALARPRODUKT IN INDIZES 93
3.2.2 DEFINITION DES KRONECKER-SYMBOLS 94
3.2.3 RECHENREGELN FUER DAS KRONECKER-SYMBOL 94
3.2.4 INTERPRETATION DES KRONECKER-SYMBOLS OEIJ 96
3.3 DER LEVI-CIVITA-TENSOR 97
3.3.1 ZYKLISCHE UND ANTIZYKLISCHE PERMUTATIONEN 97
3.3.2 DAS LEVI-CIVITA-SYMBOL 98
3.3.3 SPATPRODUKT UND KREUZPRODUKT IN KURZFORM 99
3.4 PRODUKTE MIT KRONECKER UND LEVI-CIVITA 101
3.5 *ANWENDUNGEN 103
3.5.1 BEWEIS DER BAC-CAB-FORMEL 103
3.5.2 MATRIZENRECHNUNG IN KURZFORM 104
3.5.3 TENSOREN 106
4 DIFFERENZIALRECHNUNG 109
4.1 ABLEITUNGEN 109
4.1.1 BEGRIFF DER ABLEITUNG 109
4.1.2 ABLEITUNGSREGELN 113
4.1.3 KURVENDISKUSSION LIGHT 118
4.2 MEHRDIMENSIONALE ABLEITUNGEN 124
4.2.1 SKALARE FUNKTIONEN MEHRERER VERAENDERLICHER 124
4.2.2 PARTIELLE ABLEITUNG UND GRADIENT 127
4.2.3 LOKALE EXTREMA 131
4.3 REIHENENTWICKLUNG 136
4.3.1 TAYLOR-ENTWICKLUNG IN 1-D 136
4.3.2 HILFREICHE REIHEN 137
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS X
4.3.3 E HOCH MATRIX 139
4.3.4 ALLGEMEINE TAYLOR-ENTWICKLUNG 141
4.4 ABLEITUNG VEKTORWERTIGER FUNKTIONEN 143
4.4.1 JACOBI-MATRIX UND FUNKTIONALDETERMINANTE 144
4.4.2 KETTENREGEL 145
4.4.3 TOTALES DIFFERENZIAL 149
5 INTEGRATION 153
5.1 GRUNDLEGENDE INTEGRALRECHNUNG 153
5.1.1 INTEGRALBEGRIFF 153
5.1.2 DER HAUPTSATZ 154
5.1.3 EINFACHE INTEGRATIONSREGELN UND -TRICKS 157
5.2 INTEGRATIONSMETHODEN 160
5.2.1 PARTIELLE INTEGRATION 160
5.2.2 INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION 161
5.2.3 ABLEITEN NACH PARAMETERN 165
5.2.4 PARTIALBRUCHZERLEGUNG 166
5.3 MEHRFACHINTEGRATION 168
5.3.1 FLAECHENINTEGRALE 169
5.3.2 VOLUMENINTEGRALE 171
5.3.3 INTEGRALTRANSFORMATIONSSATZ 173
5.3.4 MASSE UND SCHWERPUNKT 177
5.4 DISTRIBUTIONEN 181
5.4.1 DELTA-DISTRIBUTION 181
5.4.2 DER GROSSE BRUDER: 6(X) 186
6 BAHNKURVEN 189
6.1 ORT, GESCHWINDIGKEIT UND BESCHLEUNIGUNG 189
6.2 BEWEGUNGEN 192
6.2.1 GERADLINIG GLEICHFOERMIGE BEWEGUNG 192
6.2.2 GERADLINIG GLEICHMAESSIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG 193 6.2.3
KREISBEWEGUNG 194
6.2.4 ZUSAMMENGESETZTE BEWEGUNGEN 196
6.3 BOGENLAENGE 198
6.4 GESCHWINDIGKEIT IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN 200
7 GEWOEHNLICHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 203
7.1 GRUNDLAGEN 203
7.1.1 WAS IST EINE DIFFERENZIALGLEICHUNG (DGL)? 203
7.1.2 KLASSIFIKATION UND TERMINOLOGIE 204
7.1.3 EINE WICHTIGE DGL: NEWTON 205
7.2 LOESUNGSANSAETZE 205
7.3 GEKOPPELTE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 215
8 KOMPLEXE ZAHLEN 219
IMAGE 4
X INHALTSVERZEICHNIS
8.1 GRUNDLAGEN 219
8.1.1 I-GITT I-GITT 219
8.1.2 RECHENREGELN 220
8.1.3 KOMPLEXE ZAHLEN IN POLARKOORDINATEN 222
8.2 TRIGONOMETRIE MIT KOMPLEXEN ZAHLEN 223
8.2.1 EULER-FORMEL 223
8.2.2 SINUS UND KOSINUS 225
8.3 ANWENDUNGEN 226
8.3.1 KOMPLEXE EXPONENTIALREIHE 226
8.3.2 HARMONISCHER OSZILLATOR 227
9 VEKTORANALYSIS 229
9.1 WAS IST EIN FELD? 229
9.2 OPERATOREN DER VEKTORANALYSIS 230
9.2.1 GRADIENT, DIVERGENZ UND ROTATION 230
9.2.2 LAPLACE 233
9.2.3 NOCH MEHR V 233
9.2.4 ABLEITEN IN INDEXSCHREIBWEISE 235
9.3 KRUMMLINIGE KOORDINATEN 238
9.3.1 BESTIMMUNG DER BASISVEKTOREN IN NEUEN KOORDINATEN 238 9.3.2
TANGENTIALVEKTOREN UND OBERFLAECHENINTEGRALE 239
9.3.3 V IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN 241
9.4 INTEGRALSAETZE 245
9.4.1 SATZ VON GAUSS 245
9.4.2 SATZ VON STOKES, KURVENINTEGRAL 248
10 FOURIER-ANALYSIS 251
10.1 DIE IDEE 251
10.2 FOURIER-REIHE 252
10.2.1 FOURIER-ZERLEGUNG 252
10.2.2 EIGENSCHAFTEN DER FOURIER-REIHE 252
10.2.3 PARSEVALS THEOREM 255
10.3 FOURIER-TRANSFORMATION 255
10.3.1 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN 256
10.3.2 SPEZIELLE FOURIEN 257
10.3.3 FOURIER-TRAFO DER ZEIT 258
10.3.4 3-D- UND 4-D-FOURIER-TRANSFORMATION 259
10.3.5 DGL-LOESUNG PER FOURIER 260
11 PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 263
11.1 WAS IST EINE PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNG? 263
11.2 LAPLACE-GLEICHUNG UND POISSON-GLEICHUNG 265
11.2.1 LAPLACE-GLEICHUNG 265
11.2.2 KUGELSYMMETRISCHE LOESUNG 266
11.2.3 POISSON-GLEICHUNG 266
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS X
11.3 KONTINUITAETSGLEICHUNG 268
11.4 DIFFUSIONSGLEICHUNG 269
11.4.1 DIFFUSION UND WAERMEAUSBREITUNG 269
11.4.2 FORMALE LOESUNG DER DIFFUSIONSGLEICHUNG 269
11.4.3 DIFFUSION IM KUGELSYMMETRISCHEN FALL 271
11.4.4 ALLGEMEINE LOESUNG 272
11.5 WELLEN 274
11.5.1 DIE WELLENGLEICHUNG 274
11.5.2 1-D-WELLENGLEICHUNG 275
11.5.3 KUGELSYMMETRISCHE LOESUNG 278
11.5.4 EBENE WELLEN SIND EINFACHSTE LOESUNG DER 3-D-WELLENGLEICHUNG 279
12 EINFACHE ANWENDUNGEN IN DER MECHANIK 283
12.1 GRUNDBEGRIFFE 283
12.2 NEWTON 284
12.2.1 NEWTON SCHE AXIOME 284
12.2.2 NEWTON SCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG 285
12.2.3 WICHTIGE MECHANISCHE KRAEFTE 286
12.2.4 KONSERVATIVE KRAEFTE, ZENTRALKRAEFTE 289
12.3 ENERGIE, IMPULS UND ARBEIT 293
12.3.1 ENERGIESATZ UND POTENZIAL 293
12.3.2 IMPULS 297
12.3.3 ARBEIT 300
12.3.4 FORMALE LOESUNG DES 1-D-ENERGIESATZES 304
12.4 ROTATIONEN 306
12.4.1 DREHIMPULS UND DREHMOMENT 306
12.4.2 DREHIMPULSERHALTUNG 308
12.4.3 INERTIALSYSTEM UND SCHEINKRAEFTE 309
12.5 TEILCHEN IM POTENZIAL 312
12.5.1 BEWEGUNGEN IM POTENZIAL 312
12.5.2 SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGROESSEN 313
12.5.3 EFFEKTIVES POTENZIAL 315
12.6 SCHWINGUNGEN 317
12.6.1 MATHEMATISCHES PENDEL 317
12.6.2 DER HARMONISCHE OSZILLATOR 319
12.6.3 EXAKTE SCHWINGUNGSPERIODE IN EINEM POTENZIAL 322 12.6.4 KLEINE
SCHWINGUNGEN IM POTENZIAL 323
12.6.5 GEKOPPELTE SCHWINGUNGEN 325
12.6.6 SCHWINGUNGEN IM MEHRDIMENSIONALEN POTENZIAL 329 12.7 ROTATION
EINES KOERPERS 332
12.7.1 GRUNDBEGRIFFE 332
12.7.2 TRAEGHEITSTENSOR UND -MOMENT 333
12.7.3 STABILE ROTATION 335
IMAGE 6
XUE INHALTSVERZEICHNIS
13 EINFACHE ANWENDUNGEN IN DER ELEKTRODYNAMIK 339
13.1 BEWEGUNG EINES GELADENEN TEILCHENS 339
13.1.1 LADUNG 339
13.1.2 STROM 340
13.1.3 KONTINUITAETSGLEICHUNG 342
13.1.4 LADUNG IN E- UND -FELDERN 343
13.2 MAXWELL-GLEICHUNGEN 345
13.2.1 INTERPRETATION DER MAXWELL-GLEICHUNGEN 345
13.2.2 ANDERE MASSSYSTEME 347
13.2.3 INTEGRALE MAXWELL-GLEICHUNGEN 348
13.2.4 KONTINUITAETSGLEICHUNG 349
13.3 ELEKTROSTATIK 350
13.3.1 GLEICHUNGEN DER ELEKTROSTATIK 350
13.3.2 LOESUNG DURCH ANSATZ 351
13.3.3 LOESUNG PER SKALARPOTENZIAL 352
13.4 MAGNETOSTATIK 355
13.4.1 GLEICHUNGEN DER MAGNETOSTATIK 355
13.4.2 LOESUNG DURCH ANSATZ 355
13.4.3 LOESUNG PER VEKTORPOTENZIAL, SATZ VON BIOT-SAVART 357 13.5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 359
13.5.1 HOMOGENE WELLENGLEICHUNGEN 359
13.5.2 EBENE ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 362
13.5.3 LOESUNG DER ALLGEMEINEN MAXWELL-GLEICHUNGEN 364
A KLAUSUR *SPIELEN 368
LITERATURVERZEICHNIS 373
INDEX 375
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