Mathematik im ingenieurwissenschaftlichen Bachelorstudium:
Gespeichert in:
| Vorheriger Titel: | Schelthoff, Christof Mathematik im Bachelorstudium für Studierende der Biotechnologie, der Prozesstechnik und der angewandten Chemie |
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| 1. Verfasser: | |
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Aachen
Shaker-Verl.
2010
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| Ausgabe: | 4., überarb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Berichte aus der Mathematik
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturverz. S. 537 - 538 |
| Beschreibung: | 542 S. graph. Darst. 30 cm |
| ISBN: | 9783832292881 |
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|---|---|
| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
1 VORWORT 9
2 GRUNDLAGEN 13
2.1 NOTATIONEN, SYMBOLE UND KONSTANTEN 13
2.2 MENGEN UND ZAHLEN 14
2.3 RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN 19
2.3.1 POTENZREGELN 20
2.3.2 DIE BINOMISCHEN FORMELN 20
2.3.3 AEQUIVALENZUMFORMUNGEN 21
2.4 RELATIONEN UND FUNKTIONEN 22
2.4.1 RELATIONEN 22
2.4.2 DARSTELLUNG ENDLICHER RELATIONEN 23
2.4.3 EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 24
2.4.4 DIE UMKEHRABBILDUNG 27
2.4.5 VERKETTUNG VON FUNKTIONEN 28
2.5 ZAHLENFOLGEN 30
2.5.1 REKURSIONEN 31
2.5.2 DIFFERENZENREKURSION 34
2.5.3 ZUSAMMENFASSUNG 35
2.6 DIE SUMME / REIHE 36
2.6.1 RECHENREGELN FUER SUMMEN 37
2.6.2 WICHTIGE SUMMEN 38
2.6.3 RECHNEN MIT SUMMEN 41
2.7 BINOMIALKOEFFIZIENTEN UND DER BINOMISCHE LEHRSATZ 43
2.7.1 DER BINOMIALKOEFFIZIENT 43
2.7.2 DER BINOMISCHE LEHRSATZ 48
2.8 GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN 50
2.8.1 LINEARE GLEICHUNGEN 50
2.8.2 QUADRATISCHE GLEICHUNG 51
2.8.3 WURZELGLEICHUNGEN 53
2.8.4 UNGLEICHUNGEN 54
2.8.5 BETRAGSGLEICHUNGEN 55
2.9 MATRIZEN, DETERMINANTEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME .... 57
2.9.1 MATRIZEN 57
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN
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DIGITALISIERT DURCH
INHALTSVERZEICHNIS
2.9.2 RECHNEN MIT MATRIZEN 58
2.9.3 DETERMINANTEN 62
2.9.4 INVERSE MATRIZEN 63
2.9.5 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND GAUSS-ALGORITHMUS .... 63
2.9.6 EIN DIREKTES VERFAHREN 64
2.9.7 DAS GAUSS-ELIMINATIONSVERFAHREN 66
2.10 FUNKTIONEN 75
2.10.1 DARSTELLUNG REELLER FUNKTIONEN 75
2.10.2 WEITERE EIGENSCHAFTEN REELLER FUNKTIONEN 76
2.10.3 SPEZIELLE FUNKTIONEN 78
2.10.4 FAKTORISIERUNG VON POLYNOMEN 83
2.10.5 DAS HOMER-SCHEMA 85
2.10.6 INTERPOLATIONSPOLYNOME 86
2.10.7 GEBROCHEN RATIONALE FUNKTIONEN 91
2.11 WICHTIGE FUNKTIONEN UND IHRE UMKEHRFUNKTIONEN 92
2.11.1 UMKEHRFUNKTIONEN 92
2.11.2 DIE WURZELFUNKTION 94
2.11.3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 95
2.11.4 DIE EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION 110
2.11.5 DIE LOGARITHMUSFUNKTION 114
2.11.6 ALGEBRAISCHE FUNKTIONEN 118
2.12 FOLGEN, REIHEN UND GRENZWERTE 127
2.12.1 FOLGEN REELLER ZAHLEN 128
2.12.2 GRENZWERTE VON SUMMEN 130
2.12.3 GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 132
2.12.4 STETIGKEIT VON FUNKTIONEN 133
DIFFERENTIALRECHNUNG 135
3.1 MOTIVATION 135
3.2 VERALLGEMEINERUNG 139
3.3 DIE TANGENTENGLEICHUNG 144
3.4 ABLEITUNGSREGELN 145
3.4.1 HOEHERE ABLEITUNGEN 151
3.5 MITTELWERTSATZ UND KURVENDISKUSSION 152
3.5.1 MONOTONIEVERHALTEN 152
3.5.2 LOKALE EXTREMA 153
3.5.3 DER ZWISCHENWERTSATZ 157
3.5.4 DER MITTELWERTSATZ 158
3.5.5 KRUEMMUNGSVERHALTEN DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN .... 160
3.6 DIE GRENZWERTSAETZE VON L HOSPITAL 161
3.7 DIE KURVENDISKUSSION 164
3.7.1 ANWENDUNGSBEISPIELE 166
3.8 POTENZREIHENENTWICKLUNG 170
3.8.1 KONVERGENZ VON POTENZREIHEN 172
3.8.2 DIE MACLAURIN-REIHE 173
3.9 DIE TAYLORREIHE 178
INHALTSVERZEICHNIS 5
3.9.1 ANWENDUNG DER POTENZREIHEN 179
3.9.2 BEWEIS DER GRENZWERTSAETZE VON L HOSPITAL 180
3.9.3 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN TAYLORREIHEN UND EXTREMWERTEN 181
3.9.4 KONVERGENZGESCHWINDIGKEIT VON TAYLORREIHEN 182
3.10 NUMERISCHE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN 184
3.10.1 DAS DIFFERENTIAL 186
3.10.2 DIFFERENTIELLE FEHLERANALYSE 189
3.11 DAS TANGENTENVERFAHREN VON NEWTON 189
4 INTEGRATION 195
4.1 EINLEITUNG - BESTIMMTE INTEGRALE 195
4.1.1 ELEMENTARE RECHENREGELN FUER INTEGRALE 198
4.2 UNBESTIMMTE INTEGRALE 199
4.3 BERECHNUNG BESTIMMTER INTEGRALE MITTELS STAMMFUNKTION .... 202
4.4 INTEGRATIONSMETHODEN 204
4.4.1 SUBSTITUTION 206
4.4.2 PARTIELLE INTEGRATION 209
4.4.3 DIE PARTIALBRUCHZERLEGUNG 211
4.5 ZUSAMMENFASSUNG 215
4.6 FLAECHENBERECHNUNGEN 215
4.7 FLAECHE UND INTEGRAL ZWISCHEN ZWEI FUNKTIONEN 217
4.8 LAENGENBERECHNUNG 220
4.9 MANTELFLAECHENBERECHNUNG 223
4.10 ROTATIONSVOLUMEN 224
4.11 NUMERISCHE BERECHNUNG VON INTEGRALEN 226
4.12 INTEGRATION DER TAYLORREIHE 229
4.13 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 231
4.13.1 UNBESCHRAENKTE INTEGRATIONSINTERVALLE 231
4.13.2 UNBESCHRAENKTE INTEGRANDEN 232
4.14 ANWENDUNGEN 233
4.14.1 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN 234
4.14.2 ARBEIT ENTLANG EINES WEGES 235
4.14.3 ERDANZIEHUNG (UNEIGENTLICHE INTEGRALE) 238
4.14.4 ARBEIT EINES IDEALEN GASES IM ISOTHERMEN ZUSTAND .... 240
5 VEKTORRECHNUNG 243
5.1 VEKTOREN 243
5.2 DARSTELLUNG VON VEKTOREN 245
5.2.1 ZWEIDIMENSIONALEN VEKTOREN 245
5.2.2 MEHRDIMENSIONALE VEKTOREN 246
5.3 SUMME VON VEKTOREN 247
5.3.1 SUMME MEHRERER VEKTOREN 250
5.3.2 DIFFERENZ VON VEKTOREN 250
5.3.3 RECHNEN MIT VEKTOREN 251
5.3.4 WEITERE RECHENREGELN 252
5.3.5 EINHEITSVEKTOREN 253
INHALTSVERZEICHNIS
5.4 DAS SKALARPRODUKT 254
5.4.1 BERECHNUNG DES SKALARPRODUKTES 256
5.4.2 LAENGEN UND BETRAEGE ALS SKALARPRODUKTE 258
5.4.3 PROJEKTIONEN 259
5.4.4 ANWENDUNG: ARBEIT EINER KRAFT 260
5.5 DAS VEKTORPRODUKT 261
5.6 DAS SPATPRODUKT (DER SPAT) 264
5.7 ANWENDUNGEN ZUR VEKTORRECHNUNG 266
5.7.1 STABKRAEFTE EINES BELASTETEN DREIBEINS 266
5.8 PARAMETRISCHE FUNKTIONEN 269
5.8.1 ABLEITUNG PARAMETRISCHER FUNKTIONEN 272
5.9 KURVENINTEGRALE 274
5.9.1 ARBEIT EINER KRAFT 274
WACHSTUMS- UND ZERFALLSPROZESSE 285
6.1 GRUNDLAGEN DER EVOLUTIONSGLEICHUNGEN 285
6.1.1 EINLEITUNG: DIE EVOLUTIONSGLEICHUNG 286
6.1.2 DISKRET ODER KONTINUIERLICH ? 288
6.2 UNGEBREMSTES WACHSTUM 289
6.2.1 DER DISKRETE FALL 289
6.2.2 ZEITTEILE 290
6.2.3 GRUNDSAETZLICHES 291
6.2.4 DER UEBERGANG ZUM KONTINUIERLICHEN MODELL 293
6.2.5 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN KDISKRET
UN
D KKMT 295
6.2.6 ZUR ERMITTLUNG VON K AUS DEN DATEN 297
6.3 GEBREMSTES WACHSTUM - STOERUNG ERSTER ORDNUNG 298
6.4 DAS LOGISTISCHE WACHSTUM - STOERUNGEN ZWEITER ORDNUNG 310
6.5 VERZOEGERTES WACHSTUM 316
6.6 SYSTEME VON DIFFERENZENGLEICHUNGEN 326
KOMPLEXE ZAHLEN 329
7.1 WIE ALLES BEGANN: EINE KURZE GESCHICHTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN . 329
7.2 GRUNDLAGEN 331
7.2.1 POTENZEN DER IMAGINAEREN EINHEIT 332
7.2.2 KOMPLEXE ZAHLEN 333
7.2.3 GRAFISCHE DARSTELLUNG KOMPLEXER ZAHLEN 334
7.3 RECHENREGELN FUER KOMPLEXE ZAHLEN 335
7.3.1 KARTESISCHE FORM A + BI 335
7.4 KOMPLEXE ZAHLEN IN POLARKOORDINATEN 338
7.5 UMRECHNUNG DER DARSTELLUNGSFORMEN 339
7.6 DIE EXPONENTIALFORM 340
7.7 RECHENREGELN FUER POLARKOORDINATEN 341
7.7.1 EIGENSCHAFTEN VON Z = E
V
343
7.8 RADIZIEREN (WURZEL ZIEHEN) VON KOMPLEXEN ZAHLEN 343
7.9 ANWENDUNG: KOMPLEXE ZAHLEN ZUR HERLEITUNG DER ADDITIONSTHEO-
REME 347
INHALTSVERZEICHNIS 7
7.10 DIFFERENTIATION KOMPLEXER ZAHLEN 348
7.11 ABSCHLIESSEND 348
8 DIFFERENTIALRECHNUNG IN MEHREREN VARIABLEN 351
8.1 EINLEITUNG 351
8.2 DARSTELLUNGSFORMEN EINER FUNKTION FUER N=2 352
8.2.1 WERTETABELLE 352
8.2.2 OBERFLAECHENDIAGRAMME 352
8.2.3 HOEHENLINIEN 353
8.3 DIFFERENTIATION 354
8.3.1 SCHNITTFUNKTION UND PARTIELLE ABLEITUNG 354
8.3.2 DIFFERENZIERBARKEIT 356
8.3.3 DIE RICHTUNGSABLEITUNG 358
8.4 PARTIELLE ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG 360
8.5 DIE TAYLORENTWICKLUNG FUER *(X, Y) 361
8.5.1 EINDIMENSIONAL 361
8.5.2 ZWEIDIMENSIONAL 361
8.6 DAS VOLLSTAENDIGE DIFFERENTIAL 364
8.6.1 ANWENDUNG: FEHLERRECHNUNG 365
8.6.2 ANWENDUNG: IMPLIZITE DIFFERENTIATION 366
8.7 RELATIVE EXTREMWERTE OHNE NEBENBEDINGUNGEN 368
8.7.1 DER EINDIMENSIONALE FALL 368
8.8 LOKALE EXTREMA BEI ZWEI UNBEKANNTEN 369
8.8.1 SCHREIBWEISE ALS HESSE-MATRIX 374
8.8.2 BEISPIEL 1: NEKTAR SAMMELNDE BIENEN 377
8.8.3 BEISPIEL 2: ZUGVOEGEL (OHNE HAPPY END) 379
8.9 ANWENDUNG DER EXTREMWERTBERECHNUNG: REGRESSIONSANALYSE . . . 383
8.10 EXTREMWERTAUFGABEN MIT NEBENBEDINGUNGEN 387
8.10.1 LAGRANGE MULTIPLIKATOREN 388
9 MEHRDIMENSIONALE INTEGRATION 393
9.1 EINLEITUNG 393
9.2 BERECHNUNG DER INTEGRALE 397
9.2.1 BERECHNUNG VON INTEGRALEN IN KARTESISCHEN RECHTECKIGEN
KOORDINATEN 398
9.2.2 INTEGRATION UEBER KARTESISCHE KRUMMLINIGE BEREICHE .... 399
9.2.3 WEITERE ANWENDUNGEN 401
9.3 INTEGRATION IN POLARKOORDINATEN 403
9.3.1 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 407
9.3.2 NUMERISCHE BERECHNUNG VON DOPPELINTEGRALEN 409
9.4 DREIFACHINTEGRALE 410
9.4.1 SCHWERPUNKTSBERECHNUNGEN 412
8 INHALTSVERZEICHNIS
10 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (DGL) 415
10.1 EINLEITUNG 415
10.2 LOESUNGSVERFAHREN FUER DGL EN ERSTER ORDNUNG 420
10.2.1 GEOMETRISCHE INTERPRETATION VON Y =F(X,Y) 420
10.2.2 SUBSTITUTION 424
10.2.3 LINEARE DGL EN 427
10.2.4 LINEARE DGL MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 430
10.2.5 ZUSAMMENFASSUNG DER LOESUNGSVERFAHREN FUER DGL 1. ORD-
NUNG 435
10.3 LINEARE DGL EN 2. ORDNUNG MIT KONST. KOEFFIZIENTEN 435
10.4 NUMERISCHE LOESUNG EINER EXPLIZITEN DGL 1. ORDNUNG 446
10.5 ANWENDUNG: FREIER FALL MIT LUFTWIDERSTAND 448
10.6 ANWENDUNG: DIE HARMONISCHE SCHWINGUNG 450
10.7 ANWENDUNG: WACHSTUMSPROZESSE BEI MISCHUNGEN VON FLUESSIGKEITEN455
10.8 ANWENDUNG: ABKUEHLUNG VON MILCHKAFFEE 457
10.9 WACHSTUMSPROZESSE MIT HILFE DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 461
LO.LODIFFERENTIALGLEICHUNGEN FUER STOERUNGEN ZWEITER ORDNUNG 462
11 DESKRIPTIVE STATISTIK 465
11.1 EINLEITUNG 465
11.2 DARSTELLUNG VON MESSREIHEN 466
11.2.1 KLASSENBILDUNG 469
11.3 MASSZAHLEN FUER EINDIMENSIONALE DATEN 470
11.3.1 LAGEMASSE 470
11.3.2 STREUUNGSMASSE 471
11.4 MASSZAHLEN FUER ZWEIDIMENSIONALE DATEN 473
11.4.1 ZUSAMMENHANG ZUR REGRESSION 476
12 UEBUNGSAUFGABEN 479
13 PROBEKLAUSUREN (MIT LOESUNGEN) 509
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