Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger: weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg
Spektrum Akad.-Verl.
2010
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INHALTSVERZEICHNIS VORWORT V I ALGEBRA 1 1 GRUPPENZWANG I * WIR RECHNEN
MIT ALLEM 3 1.1 DIE GRAUE THEORIE ZU BEGINN 4 1.1.1 EINE HIERARCHIE
MATHEMATISCHER STRUKTUREN 4 1.2 DIE BUNTE PRAXIS 7 1.2.1 BEISPIELE FUER
GRUPPEN 7 1.2.2 GEGENBEISPIELE 10 1.2.3 KLEINGELD- UND UHRENARITHMETIK
12 1.3 WIEDER THEORIE: EIN PAAR BEWEISE ALS GRUNDLAGE 15 1.3.1
EINSEITIG- UND EINDEUTIGKEIT 15 1.3.2 EINFACHE RECHENREGELN 19 1.3.3
POTENZEN 21 1.4 ABSCHLUSS 24 2 GRUPPENZWANG II * ANONYME MATHEMATIKER
BIETEN GRUPPENTHERAPIE AN 25 2.1 UNTERGRUPPEN 25 2.1.1 DAS
UNTERGRUPPENKRITERIUM 27 2.1.2 BEISPIELE UND GEGENBEISPIELE 28 2.1.3
UNTERGRUPPEN VON Z 29 2.1.4 ERZEUGENDENSYSTEME 29 2.2 NEBENKLASSEN UND
DER SATZ VON LAGRANGE 33 2.3 NORMALTEILER UND FAKTORGRUPPEN 38 2.4
UHRENARITHMETIK RELOADED 41 2.5 ABSCHLUSS 42 3 GRUPPENZWANG III *
SENSATION: HOMO MORPHISMUS IST EIN GRUPPENTIER 43 3.1
GRUPPENHOMOMORPHISMEN 43 3.1.1 STRUKTURERHALTUNG 45 3.1.2 KERN UND BILD
46 3.2 MEHR HOMOMORPHISMEN 47 3.2.1 ISOMORPHISMEN 48 3.3 DER
HOMOMORPHIESATZ 50 3.3.1 EINMAL MEHR ZYKLISCHE GRUPPEN 53 3.4
CHARAKTERISTISCHE UNTERGRUPPEN 54 3.5 DIREKTE PRODUKTE UND DIREKTE
SUMMEN VON GRUPPEN 56 3. BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN
HTTP://D-NB.INFO/1002533872 DIGITALISIERT DURCH X INHALTSVERZEICHNIS 4
GRUPPENZWANG IV * GRUPPENCAMPER BRAUCHEN ISO(MORPHIE-)MATTEN 59 4.1
HILFSSAETZE UND KONVENTIONEN 60 4.2 DER ERSTE ISOMORPHIESATZ 61 4.3 DER
ZWEITE ISOMORPHIESATZ 63 4.4 DER DRITTE ISOMORPHIESATZ 68 4.5 EINE
ANWENDUNG DER ISOMORPHIESAETZE 71 4.6 ABSCHLUSS 74 5 GRUPPENZWANG V * DR.
CAUCHY UND DR. SYLOW BITTE ZUR GRUPPEN-OP 75 5.1 EINFUEHRUNG 75 5.2 DREI
GRUNDLEGENDE AUSSAGEN 77 5.3 DAS ERSTE TEILZIEL 80 5.4 DAS GROSSE ZIEL:
DIE SYLOW-SAETZE 81 5.4.1 DER ERSTE SATZ VON SYLOW 82 5.4.2 DER ZWEITE
SATZ VON SYLOW 85 5.4.3 DER DRITTE SATZ VON SYLOW 86 5.5 ANWENDUNGEN DER
SAETZE VON SYLOW 86 5.6 ABSCHLUSS 89 6 GRUPPENZWANG VI * RANDALE:
GRUPPENDEMO MUSSTE AUF- GELOEST WERDEN 91 6.1 UND WAS HAT DAS NUN MIT
GRUPPEN ZU TUN? 91 6.1.1 (SUB-) NORMALREIHEN 92 6.1.2 FAKTOREN VON
(SUB-)NORMALREIHEN UND AUFLOESBARKEIT 93 6.2 ERSTE SCHRITTE 94 6.2.1
ISOMORPHIE VON SUBNORMALREIHEN 94 6.2.2 VERFEINERUNGEN 95 6.3 DIE SAETZE
VON SCHREIER UND JORDAN-HOELDER 97 6.4 KOMMUTATOREN 99 6.4.1 DIE
KOMMUTATOR-REIHE 100 6.4.2 NUETZLICHES FUER GRUPPENTHERAPEUTEN 102 6.5
NILPOTENTE UND P-GRUPPEN 104 6.6 ABSCHLUSS 106 7 EIN SPIELZEUG MIT
GRUPPENSTRUKTUR 107 7. INHALTSVERZEICHNIS XI 8 ENDLICHE KOERPER 117 8.1
WIEDERHOLUNG MUSS SEIN 118 8.2 KOERPER HABEN CHARAKTER 120 8.3 FROBENIUS
MISCHT SICH EIN 123 8.4 POLYNOMRINGE 125 8.5 ADJUNKTION 127 8.6
SYMBOLISCHE ADJUNKTION VON NULLSTELLEN 129 8.7 EXISTENZ UND
EINDEUTIGKEIT ENDLICHER KOERPER 135 8.8 ZUSAMMENFASSUNG, LITERATUR UND
AUSBLICK 137 II DISKRETE MATHEMATIK 139 9 UEBER DIE ANZAHL VON
SITZORDNUNGEN AM RUNDEN TISCH 141 9.1 DIE FRAGE 141 9.2 DER WEG 141 9.3
VERSTEHE DAS PROBLEM 142 9.3.1 BEISPIEL 142 9.3.2 ERSTE, ABER FALSCHE
LOESUNG 143 9.3.3 SYSTEMATISCHES PROBIEREN 143 9.4 SUCHE ZUSAMMENHAENGE,
ERSINNE EINEN PLAN UND FUEHRE IHN AUS 144 9.4.1 SUCHE IM INTERNET 144
9.4.2 EINE WERTETABELLE 145 9.4.3 EIN PLAN 146 9.5 UEBERPRUEFE DIE LOESUNG
147 9.5.1 DAS BURNSIDE-LEMMA 147 9.5.2 ANWENDUNG DES
POLYA-BURNSIDE-LEMMAS 147 9.5.3 DIE T{N, FC)-FORMEL 149 9.5.4 VERSTEHE
DIE FORMEL 150 9.5.5 GRUPPE DER ROTATIONEN 152 9.5.6 UNTERSCHEIDUNGEN
BEI DER FRAGESTELLUNG 152 9.6 AM ZIEL 156 9.6.1 ZWEI VERSCHIEDENE
BERECHNUNGSWEISEN? 156 9.6.2 ZUSAMMENFASSUNG UND LOESUNG DER AUFGABE 156
9.6.3 KONSTRUKTIVER ALGORITHMUS? 157 9.6.4 NACHBETRACHTUNG 157 10
SUMMENZERLEGUNGEN 159 10. XII INHALTSVERZEICHNIS 10.5 DUALITAET 168 10.6
LEERE BEHAELTER 169 10.7 ERZEUGENDE FUNKTIONEN 171 10.7.1 DIE BRUECKE 172
10.7.2 UEBER DIE BRUECKE GEHEN 173 10.7.3 DER BAUPLAN IST KLAR 174 10.7.4
ZURUECK ZU SUMMENZERLEGUNGEN 175 10.8 AUSBLICK UND SCHLUSS 175 11
PENTAGON, KARTENHAUS UND SUMMENZERLEGUNG 177 11.1 PENTAGONALZAHLEN 178
11.2 KARTENHAUS-ZAHLEN 178 11.3 ERSTES WUNDER 179 11.4 VERALLGEMEINERTE
PENTAGONALZAHLEN 179 11.5 EULER UND KARTENHAEUSER? 180 11.6 ZWEITES
WUNDER 180 11.7 NACHLESE 182 12 DAS HEIRATSPROBLEM 183 12.1 KLEINE
MATHEMATISCHE HILFE FUER POTENTIELLE SCHWIEGERMUETTER 183 12.2 EIN DORF
WILL HEIRATEN 184 12.3 DIE GRAPHENTHEORETISCHE DARSTELLUNG 185 12.4
GRAPHENTHEORETISCHER ALGORITHMUS FUER DAS PROBLEM DES GEWICHTS- MAXIMALEN
MATCHINGS 188 12.4.1 BEISPIEL: UNSER DORF 189 12.4.2 SUCHE EIN OPTIMALES
MATCHING 190 12.4.3 DER GRAPHENTHEORETISCHE ALGORITHMUS KURZ UND KNAPP
194 12.5 LOESUNGSWEG MIT LINEARER OPTIMIERUNG 194 12.5.1 EIN SCHOENERER
LOESUNGSWEG? 194 12.5.2 ANSATZ MIT LINEARER OPTIMIERUNG 194 12.5.3
FORMULIERUNG DER KONKRETEN LINEAREN OPTIMIERUNGSAUFGABE . 195 12.5.4
GANZZAHLIGE LOESUNGEN 197 12.6 ZURUECK INS DORF 200 13 UEBER DIE ANZAHL
SURJEKTIVER ABBILDUNGEN 203 14 POTENZSUMMEN 21 INHALTSVERZEICHNIS XIII
16 UEBER PERMANENTEN, PERMUTATIONEN UND FIXPUNKTE 221 16.1 EINFUEHRUNG 221
16.2 DAS PRINZIP DER INKLUSION UND EXKLUSION 221 16.3 PERMANENTEN 223
16.4 DAS RENCONTRE-PROBLEM 226 17 ZAEHLEN MIT PERMANENTEN 231 17.1
DEFINITIONEN UND VORBEREITUNGEN 231 17.2 ZAEHLEN MIT PERMANENTEN UND
DETERMINANTEN 233 17.3 DER SATZ 235 17.4 BEWEIS DER AUSSAGEN (17.1) UND
(17.2) 236 17.5 BEWEIS DES SATZES 237 18 BINOMIALMATRIZEN UND DAS LEMMA
VON GESSEL-VIENNOT . 239 18.1 DIE BINOMIALMATRIX 239 18.2 PFADE UND
PFADSYSTEME 241 18.3 DAS LEMMA VON GESSEL-VIENNOT 243 18.4 DIE
DETERMINANTE DER BINOMIALMATRIX 244 18.5 LF7-ZERLEGUNG DER
BINOMIALMATRIX 246 18.6 EIN WEITERES BEISPIEL * SPINNE UND FEIND 249 III
GEOMETRIE UND KONSTRUIERBARKEIT 253 19 MATHEMATIK DES FALTENS *
WINKELDREITEILUNG UND DER SATZ VON HAGA 255 19.1 WINKELDREITEILUNG 255
19.2 SATZ VON HAGA UND VERALLGEMEINERUNG 257 19.3 KONSTRUKTION EINES
SILBERNEN RECHTECKS 261 19.4 SCHLUSSBEMERKUNG 264 20 DAS REGELMAESSIGE
SIEBZEHNECK 265 20.1 DAS PROBLEM UND DIE RECHNUNG 265 20.2 DIE
KONSTRUKTION 270 21 EIN SATZ VON CARNOT 273 21.1 SATZ VON CARNOT 273
21.2 UMKEHRSATZ VON CARNOT 275 2 XIV INHALTSVERZEICHNIS 23.4 DAS
GRUPPENGESETZ 288 23.4.1 DER UNENDLICH FERNE PUNKT 289 23.4.2 DIE
ANDEREN FAELLE 291 23.4.3 ZUSAMMENFASSUNG DER DEFINITION 293 23.5 DIE
ASSOZIATIVITAET 294 23.5.1 VORBEREITUNG 294 23.5.2 AUSSCHLUSS DER
EINFACHEN FAELLE 295 23.5.3 DER LETZTE FALL 298 23.6 ANDERE ANSAETZE 301
23.6.1 PROJEKTIVE GEOMETRIE 301 23.6.2 DIVISOREN 303 23.7 ABSCHLUSS 303
24 ECC * ELLIPTIC CURVES CRYPTOGRAPHY 305 24.1 EINFUEHRUNG 305 24.2 DAS
PROBLEM DES DISKRETEN LOGARITHMUS 306 24.3 SCHLUESSELTAUSCH NACH
DIFFIE-HELLMAN .308 24.4 PUBLIC-KEY-VERSCHLUESSELUNG NACH ELGAMAL 309
24.5 SIGNIERUNG NACH ELGAMAL UND MIT ECDSA 310 24.5.1
ELGAMAL-SIGNATUR-ALGORITHMUS 310 24.5.2 ECDSA 312 24.6 INDEX CALCULUS
313 24.7 ABSCHLUSS 315 25 PRIMZAHLEN UND ELLIPTISCHE KURVEN 317 25.1
MATHEMATISCHES UEBER ELLIPTISCHE KURVEN 317 25.1.1 HASSES SATZ 317 25.1.2
ELLIPTISCHE KURVEN MOD N 318 25.2 ECM * FAKTORISIERUNG MIT ELLIPTISCHEN
KURVEN 319 25.3 ZERTIFIZIERUNG VON PRIMZAHLEN 322 25.3.1 WAS IST
EIGENTLICH EIN ZERTIFIKAT? 322 25.3.2 DAS GOLDWASSER-KILIAN-ZERTIFIKAT
322 25.3.3 AM BEISPIEL DER VIERTEN FERMAT-ZAHL 324 25.4 ABSCHLUSS 325 26
PRIMZAHLEN MIT ABSTAND 327 26.1 DER ABSTAND ZWISCHEN 2 PRIMZAHLEN WIRD
BELIEBIG GROSS 327 26. INHALTSVERZEICHNIS XV 27.3 FERMAT-FAKTORISIERUNG
333 27.4 LEHMAN-ALGORITHMUS 335 27.5 POLLARD-RHO-VERFAHREN 337 27.6 (P -
1)-VERFAHREN 341 27.7 ELLIPTISCHE-KURVEN-METHODE 345 27.8 QUADRATISCHES
SIEB 352 V AUSBLICK AUF WEITERES 361 28 FOURIERTRANSFORMATION 363 28.1
MOTIVATION 363 28.2 ZEIT UND FREQUENZBEREICH 364 28.3 DER WEG ZUR
FOURIERTRANSFORMATION 365 28.3.1 VON DEN FOURIERREIHEN ZUR
TRANSFORMATION 366 28.3.2 TABELLE ZUR FOURIERTRANSFORMATION VON
ZEITSIGNALEN 367 28.4 BEISPIELE MIT DEM OSZILLOSKOP 368 28.4.1 DIE
SINUSFUNKTION 368 28.4.2 DIE RECHTECKFUNKTION 370 28.4.3 DIE
DREIECKFUNKTION 371 28.4.4 GAUSS 372 28.5 DIE FALTUNG 372 28.6 SYSTEME
375 28.7 WAS ES SONST NOCH GIBT 377 29 DAS BRACHISTOCHRONENPROBLEM 379
29.1 EINLEITUNG 379 29.2 FORMALISIERUNG DES PROBLEMS 381 29.3 EIN
MAECHTIGES WERKZEUG: VARIATIONSKALKUEL 382 29.4 BESTIMMEN DER OPTIMALEN
LOESUNG 384 29.5 ABSCHLUSS 387 30 REPUNITS, GEOMETRISCHE SUMMEN UND
QUADRATZAHLEN 389 30.1 EINIGE SPEZIALFAELLE 390 30.2 HILFSMITTEL 392
30.2.1 DIE PELLSCHE GLEICHUNG 392 30.2.2 REKURSIVE FOLGEN 394 30.3 DER
FALL Q = 3 395 30.3.1 M GERADZAHLIG 395 30.3. XVI INHALTSVERZEICHNIS 32
TRANSZENDENZ VON E UND TT 411 32.1 EINLEITUNG 411 32.2 DIE TRANSZENDENZ
VON E 412 32.3 DIE TRANSZENDENZ VON T T 416 32.3.1 VORBEREITUNGEN 418
32.3.2 KONJUGIERTE VON I * -K 421 32.3.3 ZWEI KONTRAERE ABSCHAETZUNGEN 424
LITERATURVERZEICHNIS 429 INDEX 435 |
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Beschreibung
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