Mathematik für das erste Semester: Analysis und Lineare Algebra für Studierende der Ingenieurwissenschaften
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg
Spektrum Akad.-Verl.
2012
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Einige Worte vorab
v
Analysis I
1 Worum geht es in der
Analysis?
3
2 Ein wenig Vorbereitung 5
2.1 Motivation ............................. 5
2.2 Ein Vorrat an Buchstaben..................... 5
2.3 Vom richtigen Umgang mit der Aussagenlogik.......... 6
2.4 Vollständige Induktion....................... 9
2.5 Mengen............................... 10
2.5.1 Ein kleiner Zoo wichtiger Mengen............. 12
2.5.2 Wie aus bekannten Mengen neue entstehen....... 13
2.6 Aufgaben.............................. 16
2.7 Lösungen.............................. 17
3 Reelle und komplexe Zahlen 21
3.1 Motivation ............................. 21
3.2 Reelle Zahlen............................ 21
3.2.1 Rechnen mit Ungleichungen................ 22
3.3 Summen und Produkte....................... 23
3.3.1 Fakultät und Binomialkoeffizient............. 25
3.4 Komplexe Zahlen.......................... 27
3.4.1 Polarkoordinaten...................... 29
3.5 Aufgaben.............................. 31
3.6 Lösungen.............................. 32
4 Abbildungen und Funktionen 37
4.1 Motivation und Definitionen.................... 37
4.2 Einige Eigenschaften von Abbildungen.............. 38
4.3 Komposition von Abbildungen .................. 42
4.4 Darstellung von Funktionen.................... 44
4.5 Aufgaben.............................. 45
4.6 Lösungen.............................. 46
5 Wichtige Funktionen im Überblick 51
5.1 Motivation ............................. 51
5.2 Polynome und rationale Funktionen ............... 51
5.2.1 Polynome.......................... 51
5.2.2 Rationale Funktionen ................... 52
5.3 Sinus, Kosinus und Tangens.................... 55
5.3.1 Einige Additionstheoreme................. 57
5.4 Exponentialfunktion und Logarithmus.............. 58
5.4.1 Potenz- und Logarithmusgesetze............. 59
5.5 Weitere wichtige Funktionen.................... 60
5.6 Aufgaben.............................. 63
5.7 Lösungen.............................. 63
6 Folgen 69
6.1 Motivation ............................. 69
6.2 Grundlagen............................. 69
6.3 Konvergenz und Divergenz..................... 70
6.4 Rechenregeln für Folgen...................... 73
6.5 Das Monotoniekriterium...................... 75
6.6 Was noch über Folgen gewusst werden sollte........... 75
6.7 Das Häufungspunktprinzip und mehr............... 76
6.8 Aufgaben.............................. 77
6.9 Lösungen.............................. 78
7 Reihen 83
7.1 Motivation ............................. 83
7.2 Grundlegendes zu Reihen..................... 84
7.3 Eigenschaften von Reihen..................... 86
7.4 Konvergenzkriterien ........................ 86
7.4.1 Majoranterikriterium.................... 88
7.4.2 Wurzelkriterium ...................... 89
7.4.3 Quotientenkriterium.................... 89
7.4.4 Leibniz-Kriterium ..................... 90
7.5 Aufgaben.............................. 91
7.6 Lösungen.............................. 91
8 Stetigkeit 95
8.1 Motivation ............................. 95
8.2 Grundlagen zur Stetigkeit..................... 96
8.3 Zusammensetzung stetiger Funktionen.............. 99
8.4 Der Zwischenwertsatz ....................... 100
8.5 Supremum, Infimum, Maximum und Minimum......... 101
8.6 Maximum und Minimum für stetige Funktionen......... 102
8.7 Aufgaben.............................. 103
8.8 Lösungen.............................. 104
9 Differenziation 107
9.1 Motivation ............................. 107
9.2 Grundlagen zur Differenziation.................. 108
9.3 Rechenregeln für Ableitungen................... 110
9.4 Der Mittelwertsatz und Folgerungen daraus........... 113
9.5 Höhere Ableitungen ........................ 115
9.6 Ausflug: Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion........ 116
9.6.1 Schwingung eines Pendels................. 116
9.6.2 Eigenschaften von Sinus und Kosinus........... 117
9.6.3 Exponentialfunktion.................... 118
9.7 Die Regel von l Hospital...................... 118
9.8 Aufgaben.............................. 120
9.9 Lösungen.............................. 121
10 Potenzreihen 127
10.1 Motivation ............................. 127
10.2 Grundlegendes zu Potenzreihen.................. 127
10.3 Aufgaben.............................. 130
10.4 Lösungen .............................. 131
11 Taylorpolynome, Taylorreihen und Extremwerte 135
11.1 Motivation ............................. 135
11.2 Taylorpolynom und Taylorreihe.................. 136
11.2.1 Das Taylorpolynom .................... 136
11.2.2 Die Taylorreihe....................... 138
11.2.3 Fehlerabschätzung..................... 142
11.3 Lokale
Extrema
differenzierbarer Funktionen .......... 144
11.3.1 Zur Berechnung lokaler
Extrema
............. 144
11.4 Aufgaben.............................. 147
11.5 Lösungen .............................. 147
12 Integration 151
12.1 Motivation ............................. 151
12.2 Grundlagen zur Integration.................... 152
12.3 Der Hauptsatz ........................... 155
12.4 Wichtige Regeln zur Integration.....,............ 15V
12.4.1 Substitutionsregel ..................... 157
12.4.2 Partielle Integration.................... 159
12.4.3 Integration rationaler Funktionen............. 160
12.5 Das uneigentliche Integral..................... 162
12.5.1 Integration unbeschränkter Funktionen ......... 164
12.5.2 Unbeschränkte Integrationsgrenzen............ 164
12.6 Aufgaben.............................. 168
12.7 Lösungen.............................. 169
13 Ausblick: Fourierreihen 177
13.1 Motivation ............................. 177
13.2 Grundlagen zu Fourierreihen ................... 178
13.3 Komplexe Darstellung der Fourierreihe.............. 181
Lineare Algebra 185
14 Worum geht es in der Linearen Algebra? 187
15 Vektorräume, lineare Unabhängigkeit 191
15.1 Motivation ............................. 191
15.2 Vektorräume ............................ 192
15.3 Der Vektorraum der reellen Zahlen................ 194
15.4 Der Vektorraum reellwertiger Funktionen auf
К
......... 195
15.5 Linearkombinationen........................ 196
15.6 Aufgaben.............................. 201
15.7 Lösungen.............................. 202
16 Lineare Abbildungen und Matrizen 207
16.1 Motivation ............................. 207
16.2 Grundlagen zu linearen Abbildungen............... 207
16.3 Kern und Bild ........................... 209
16.4 Grundlegendes zu Matrizen.................... 211
16.5 Rechnen mit Matrizen....................... 213
16.5.1 Multiplikation von Matrizen................ 213
16.5.2 Vektorraumstruktur für Matrizen............. 215
16.6 Besondere Matrizen ........................ 216
16.7 Aufgaben.............................. 219
16.8 Lösungen.............................. 220
17 Lineare Gleichungssysteme 225
17.1 Motivation und elementare Anwendungen............ 225
17.2 Grundlagen................,............ 227
17.3 Gauß-Algorithmus......................... 228
17.3.1 Abweichungen vom Idealfall................ 230
17.4 Die Struktur der Lösungsmenge.................. 231
17.5 Zum Invertieren von Matrizen................... 234
17.6 Aufgaben.............................. 235
17.7 Lösungen.............................. 235
18 Determinanten 241
18.1 Motivation ............................. 241
18.2 Definition und Berechnung..................... 242
18.2.1 Berechnung für (2
χ
2)-Matrizen............. 244
18.2.2 Berechnung für (3
χ
3)-Matrizen............. 244
18.2.3 Dreiecksmatrizen...................... 244
18.3 Geometrische Interpretation.................... 245
18.3.1 Determinante als Volumenform.............. 245
18.3.2 Determinante und Orientierung.............. 246
18.3.3 Determinante und lineare Unabhängigkeit........ 247
18.4 Rechenregeln für die Determinante................ 248
18.5 Das Kreuzprodukt......................... 249
18.6 Aufgaben.............................. 250
18.7 Lösungen .............................. 251
19 Norm und Skalarprodukt 257
19.1 Motivation ............................. 257
19.2 Die Norm.............................. 257
19.3 Das Skalarprodukt......................... 260
19.4 Orthonormalisierung nach Schmidt................ 262
19.4.1 Das Verfahren ....................... 265
19.5 Orthogonale Matrizen....................... 266
19.6 Aufgaben.............................. 267
19.7 Lösungen.............................. 269
20 Basiswechsel und darstellende Matrizen 273
20.1 Motivation ............................. 273
20.2 Koordinatenabbildungen und Koordinatenvektoren....... 274
20.2.1 Das Geschehen im Diagramm............... 275
20.3 Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen........ 276
20.4 Matrixtransformation bei einem Basiswechsel.......... 278
20.5 Aufgaben.............................. 280
20.6 Lösungen.............................. 281
21 Eigenwerte und Eigenvektoren 287
21.1 Motivation ............................. 287
21.2 Grundlagen............................. 287
21.3 Berechnung der Eigenwerte.................... 290
21.4 Berechnung der Eigenvektoren .................. 291
21.5 Vielfachheiten............................ 291
21.6 Hauptvektoren........................... 293
21.7 Diagonalisierbarkeit ........................ 295
21.7.1 Diagonalisiemng am Beispiel............... 298
21.8 Aufgaben.............................. 299
21.9 Lösungen.............................. 300
22 Differenzialgleichungen 307
22.1 Motivation ............................. 307
22.2 Grundlagen............................. 308
22.3 Umschreiben in ein System am Beispiel ............. 309
22.4 Einige Fragestellungen und erste Antworten........... 311
22.5 Lösen durch Integration...................... 312
22.6 Standardlösungsansatz
I
...................... 313
22.7 Standardlösungsansatz
II
..................... 315
22.8 Finden einer partikulären Lösung................. 316
22.9 Anfangswertprobleme ....................... 318
гг.Ю^Угопзкі-ТезЇ
............................ 319
22.11Beispiel für nicht-lineare Differenzialgleichungen......... 321
22.12Aufgaben.............................. 322
22.13Lösungen.............................. 323
Klausuraufgaben 329
23
Analysis
331
23.1 Aufgaben.............................. 331
23.2 Lösungen.............................. 334
24 Lineare Algebra 343
24.1 Aufgaben.............................. 343
24.2 Lösungen.............................. 346
Vom Umgang mit Prüfungen 353
Literatur und Schlussbemerkungen 359
Index 361
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Inhaltsverzeichnis
Schweinfurt Zentralbibliothek Lesesaal
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