Numerische Methoden: ein Lehr- und Übungsbuch
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Berlin [u.a.]
De Gruyter
2010
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IMAGE 1
INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT V
1 GRUNDLAGEN 1
1.1 AUFGABENSTELLUNG 1
1.2 MATRIZEN UND DETERMINANTEN 2
1.2.1 MATRIZEN 2
1.2.2 DETERMINANTEN 9
1.2.3 QUADRATISCHE MATRIZEN 14
1.3 BETRAG UND NORMEN 23
1.3.1 BETRAG 23
1.3.2 VEKTOR-UND MATRIXNORMEN 23
1.4 AUFGABEN 26
2 NUMERISCHES RECHNEN UND FEHLER 29
2.1 FEHLER 29
2.1.1 FEHLERARTEN 29
2.1.2 NUMERISCH STABILE UND INSTABILE ALGORITHMEN 30
2.2 MASCHINENZAHLEN 31
2.2.1 ZAHLENDARSTELLUNGEN 33
2.2.2 RUNDUNG 34
2.2.3 UNTERLAUF, UEBERLAUF 35
2.3 FEHLERFORTPFLANZUNG 35
2.3.1 MAXIMALFEHLER . . 35
2.3.2 FEHLERQUADRATSUMME 37
2.4 KONDITIONSZAHLEN 39
2.4.1 KONDITIONSZAHLEN BEI FUNKTIONEN 39
2.4.2 KONDITIONSZAHLEN BEI LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 40 2.5 AUFGABEN
42
3 ITERATIONSVERFAHREN 43
3.1 ITERATIONSPROBLEME 43
3.1.1 EINFUEHRUNG 43
3.1.2 ZWISCHENWERTSATZ 44
3.1.3 ITERATIONSVERFAHREN 44
3.1.4 FIXPUNKTSATZ 47
3.2 ANSCHAULICHE DEUTUNG DES ITERATIONSVERFAHRENS 53
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/999262270
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
VLLL
3.3 FEHLERABSCHAETZUNGEN 55
3.4 ABBRUCHKRITERIEN BEI ITERATIONSVERFAHREN 59
3.5 KONVERGENZORDNUNG 60
3.6 SPEZIELLE ITERATIONSVERFAHREN 61
3.6.1 BISEKTIONSMETHODE 61
3.6.2 REGULA FALSI 64
3.6.3 NEWTONSCHES ITERATIONSVERFAHREN 68
3.7 KONVERGENZVERBESSERUNG 73
3.7.1 VERKLEINERN DER LIPSCHITZKONSTANTEN 73
3.7.2 VERFAHREN VON AITKEN 75
3.7.3 STEFFENSEN-VERFAHREN 76
3.8 AUFGABEN 77
LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 80
4.1 AUFGABENSTELLUNG 80
4.2 ELIMINATIONSVERFAHREN 81
4.2.1 GAUSSSCHER ALGORITHMUS 81
4.2.2 PIVOTSTRATEGIE 87
4.2.3 GIVENS-VERFAHREN 89
4.2.4 CHOLESKY-VERFAHREN BEI SYMMETRISCHER KOEFFIZIENTENMATRIX . 95
4.2.5 NACHITERATION 99
4.2.6 BERECHNUNG DER INVERSEN MATRIX 101
4.2.7 ABSCHAETZUNG DER FEHLERFORTPFLANZUNG 104
4.3 ITERATIONSVERFAHREN 107
4.3.1 GESAMTSCHRITT-ODER JACOBI-VERFAHREN 107
4.3.2 ABBRUCH BEIM GESAMTSCHRITTVERFAHREN 109
4.3.3 EINZELSCHRITT- ODER GAUSS-SEIDEL- VERFAHREN 110
4.3.4 ABBRUCH BEIM EINZELSCHRITTVERFAHREN 110
4.3.5 KONVERGENZ BEIM GESAMTSCHRITTVERFAHREN 111
4.3.6 KONVERGENZ BEIM EINZELSCHRITTVERFAHREN 113
4.3.7 FEHLERABSCHAETZUNG BEI ITERATIONSVERFAHREN 114
4.4 AUFGABEN 118
APPROXIMATION VON FUNKTIONEN 122
5.1 PROBLEMSTELLUNGEN 122
5.2 DISKRETE APPROXIMATION 122
5.2.1 DIE AUSGLEICHSGERADE NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE 122
5.2.2 APPROXIMATION DURCH WEITERE FUNKTIONEN 125
5.2.3 LINEARISIERUNGEN 131
5.3 STETIGE APPROXIMATION 138
5.3.1 ORTHONORMALSYSTEME 142
5.3.2 LEGENDRESCHE POLYNOME 145
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS IX
5.3.3 APPROXIMATION DURCH TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 148 5.3.4 DIE
KOMPLEXE FORM DER FOURIER-REIHE 156
5.4 LOKALE APPROXIMATION 162
5.4.1 PROBLEMSTELLUNG 162
5.4.2 DIE TAYLOR-ENTWICKLUNG 163
5.5 AUFGABEN 169
6 INTERPOLATIONSPROBLEME 173
6.1 PROBLEMSTELLUNG 173
6.2 POLYNOMINTERPOLATION 174
6.2.1 INTERPOLATIONSVERFAHREN VON LAGRANGE 175
6.2.2 DER FEHLER DER POLYNOMINTERPOLATION 178
6.2.3 NEWTONSCHES INTERPOLATIONSVERFAHREN 180
6.2.4 HERMITE-INTERPOLATION 192
6.3 SPLINEINTERPOLATION 199
6.3.1 LINEARE SPLINES 200
6.3.2 QUADRATISCHE SPLINES 201
6.3.3 KUBISCHE SPLINES 205
6.3.4 B-SPLINES 214
6.4 INTERPOLATION MIT PERIODISCHEN FUNKTIONEN 247
6.4.1 PROBLEMSTELLUNG 247
6.4.2 DIE DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION 248
6.4.3 INTERPOLATION MIT KOMPLEXEN EXPONENTIALFUNKTIONEN 261 6.4.4
INTERPOLATION MIT TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 264 6.4.5 SCHNELLE
FOURIER-TRANSFORMATION 270
6.5 AUFGABEN 284
7 NUMERISCHE DIFFERENTIATION 288
7.1 VORBEMERKUNGEN 288
7.2 NUMERISCHE BESTIMMUNG VON ERSTEN ABLEITUNGEN 289
7.3 RUNDUNGSFEHLER 296
7.4 NUMERISCHE BESTIMMUNG VON HOEHEREN ABLEITUNGEN 298
7.5 AUFGABEN 299
8 NUMERISCHE INTEGRATIONSMETHODEN 301
8.1 AUFGABENSTELLUNG 301
8.2 TRAPEZFORMEL 302
8.2.1 HERLEITUNG 302
8.2.2 ABBRUCHBEDINGUNG BEI DER TRAPEZFORMEL 304
8.3 SIMPSONSCHE FORMEL 307
8.3.1 HERLEITUNG . . 307
8.3.2 ABBRUCHBEDINGUNG BEI DER SIMPSONSCHEN FORMEL 311
IMAGE 4
8.4 FEHLERABSCHAETZUNGEN 314
8.5 VERFAHREN VON ROMBERG 318
8.5.1 HERLEITUNG 318
8.5.2 ABBRUCHBEDINGUNG BEIM ROMBERG-VERFAHREN 322
8.5.3 FEHLERABSCHAETZUNG BEIM ROMBERG-VERFAHREN 324
8.6 ADAPTIVE SIMPSON-QUADRATUR 325
8.6.1 HERLEITUNG 325
8.6.2 FEHLERSCHRANKE 328
8.7 GAUSS-INTEGRATION 334
8.7.1 VORBEMERKUNGEN 334
8.7.2 INTEGRATION AUF DEM INTERVALL [-1,1] 336
8.7.3 GAUSS-INTEGRATION UEBER EIN BELIEBIGES INTERVALL 340
8.8 AUFGABEN 341
9 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 343
9.1 BEGRIFFE UND BEISPIELE 343
9.1.1 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 344
9.1.2 TECHNISCHE UND OEKONOMISCHE BEISPIELE 345
9.1.3 DAS VERFAHREN VON PICARD-LINDELOEF . . 346
9.2 TAYLOR-METHODEN 349
9.2.1 DER EULER-CAUCHY POLYGONZUG 349
9.2.2 METHODEN HOEHERER ORDNUNG 354
9.2.3 FEHLERSCHRANKEN 358
9.3 RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 358
9.4 MEHRSCHRITTVERFAHREN 364
9.4.1 EXPLIZITE MEHRSCHRITTVERFAHREN 365
9.4.2 IMPLIZITE MEHRSCHRITTVERFAHREN 371
9.4.3 PRAEDIKTOR-KORREKTOR-VERFAHREN 379
9.5 STEIFE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 380
9.6 WEITERE ANFANGSWERTAUFGABEN 390
9.6.1 DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEME ERSTER ORDNUNG . 391
9.6.2 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG 395
9.7 AUFGABEN 397
10 POLYNOME 401
10.1 REELLE POLYNOME 401
10.1.1 HORNER-SCHEMA 401
10.1.2 ABSPALTUNG EINES LINEARFAKTORS 403
10.1.3 VOLLSTAENDIGES HORNER-SCHEMA 404
10.1.4 NEWTONSCHES NAEHERUNGSVERFAHREN 407
10.2 ALLGEMEINE HORNER-SCHEMATA 409
10.2.1 /N-ZEILIGES HORNER-SCHEMA 409
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS XI
10.2.2 VERALLGEMEINERTES /N-ZEILIGES HORNER-SCHEMA 413 10.2.3
NEWTONSCHES NAEHERUNGSVERFAHREN MIT DEN ZN-ZEILIGEN HORNER-SCHEMATA 415
10.2.4 SPEZIALFAELLE UND BEISPIEL 416
10.2.5 BESTIMMUNG KONJUGIERT-KOMPLEXER NULLSTELLEN VON POLYNOMFUNKTIONEN
MIT REELLEN KOEFFIZIENTEN 418
10.3 KOMPLEXE POLYNOME 420
10.3.1 KOMPLEXES HORNER-SCHEMA 420
10.3.2 NEWTONSCHES NAEHERUNGSVERFAHREN 421
10.4 ANZAHL UND LAGE DER NULLSTELLEN VON POLYNOMEN 423
10.4.1 ABSCHAETZUNGEN ZU NULLSTELLEN BEI POLYNOMEN MIT REELLEN
KOEFFIZIENTEN 423
10.4.2 BERECHNUNG DER ANZAHLEN DER VONEINANDER VERSCHIEDENEN NULLSTELLEN
VON POLYNOMFUNKTIONEN 427
10.5 AUFGABEN 435
11 NUMERISCHE SIMULATION VON ZUFALLSGROESSEN 439
11.1 ZUFALLSGROESSEN 439
11.1.1 CHARAKTERISIERUNG VON ZUFALLSGROESSEN 439
11.1.2 MONTE-CARLO-METHODE 440
11.1.3 HISTORISCHE ENTWICKLUNG 441
11.1.4 ZUFALLSZAHLEN 442
11.1.5 GENAUIGKEIT DER MONTE-CARLO-METHODE 445
11.2 ZUFALLSZAHLENGENERATOREN 447
11.2.1 ERZEUGUNG GLEICHMAESSIG VERTEILTER ZUFALLSZAHLEN 447 11.2.2
ERZEUGUNG BELIEBIG VERTEILTER ZUFALLSZAHLEN 448
11.2.3 ERZEUGUNG NORMALVERTEILTER ZUFALLSZAHLEN 451
11.2.4 STATISTISCHE TESTS 452
11.3 ANWENDUNGEN DER MONTE-CARLO-METHODE 452
11.3.1 UEBERSICHT 452
11.3.2 BERECHNUNG BESTIMMTER INTEGRALE 453
11.3.3 BESTIMMUNG VON N 456
11.4 AUFGABEN 458
A LOESUNGEN 459
B ZUFALLSZAHLENTABELLE 505
LITERATURVERZEICHNIS 509
ABBILDUNGS VERZEICHNIS 515
TABELLENVERZEICHNIS 519
INDEX 523 |
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