Regularisierungsmethoden für Optimalsteuerungsprobleme: [Lavrentiev-Regularisierung und Moreau-Yosida-Regularisierung]
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Bayreuth
Math. Inst. der Univ. Bayreuth
2008
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| Ausgabe: | 1. pr. |
| Schriftenreihe: | Bayreuther mathematische Schriften
80 |
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|---|---|
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Vorwort
і
Inhaltsverzeichnis
iii
Einleitung 1
I
Theoretische Grundlagen 7
1 Problemdarstellung und fundamentale Existenzsätze 9
2 Optimalitätssysteme und Lagrange-Multiplikatoren 25
2.1 Nichtgemischte Zustandsbeschränkungen............ 26
2.2 Gemischte Steuerungs-Zustands-Beschränkungen auf
Ω
.... 34
II
Regularisierungstechniken für Zustands¬
beschränkungen bei verteilter Steuerung 43
3 Lavrentiev-Regularisierung 47
3.1 Lavrentiev-Regularisierung ohne explizite Steuerungs¬
beschränkungen ..........................50
3.1.1 Konvergenz der Lavrentiev-Regularisierung......51
3.1.2 Transformation in reine Steuerungsbeschränkungen . . 57
iii
iv Inhaltsverzeichnis
3.1.3 Äquivalente Formulierung als rein steuerungs¬
beschränktes Problem.................. 61
3.2 Weitere Aussagen zur Lavrentiev-Regularisierung....... 63
3.2.1 Fehlerabschätzung im Fall linearer Zustandsgieichung 63
3.2.2 Zulässigkeit der konstruierten Näherungslösungen ... 69
4 Moreau-Yosida-Regularisierung 73
4.1 Herleitung des regularisierten Problems ............ 75
4.2 Konvergenz der Moreau-Yosida-Regularisierung........ 80
4.3 Primal-dualer Pfad........................ 84
4.3.1 Eigenschaften des primal-dualen Pfads......... 86
4.3.2 Zielfunktional des primal-dualen Pfads und seine
Eigenschaften....................... 91
4.3.3 Modellfunktionen zur Approximation des
Zielfunktionais des primal-dualen Pfads........99
4.3.4 Ergebnisse zum Fall
μ φ
0................99
III
Numerische Verfahren 101
5 Primal-duale aktive Mengenstrategie 105
5.1 Eigenschaften...........................107
5.1.1 Gitterabhängigkeit der PDAS bei zustands-
beschränkten Problemen.................107
5.1.2 „Hin- und herspringende aktive Mengen.......107
5.1.3 PDAS als halbglattes Newton-Verfahren........109
5.1.4 Vorteile und Nachteile der PDAS............109
5.2 Ausgefeilte Varianten.......................110
5.2.1 Verfeinerter PDAS-Algorithmus.............HO
5.2.2
„nested-iteration^Konzept
...............
Ш
6 Numerische Verfahren zur Nutzung der Lavrentiev-
Regularisierung 113
6.1 Diskretisierungsfehler.......................118
Inhaltsverzeichnis
v
6.2
„nested-iteratioiť^Konzept
in Verbindung mit Extrapolation 118
6.3 Gitterunabhängigkeit der PDAS für Lavrentiev-
regularisierte Probleme......................120
7 Numerische Verfahren zur Nutzung der Moreau-Yosida-
Regularisierung 121
7.1 Innere Iteration..........................122
7.2 Äußere Iteration .........................124
7.3 Inexakter Algorithmus......................128
7.4
„continuation -
und
„nested-iteration^Technik
........131
7.5 Fehlerabschätzung für die Moreau-Yosida-Regularisierung . . 132
8 Konkrete Umsetzung in
Matlab
133
8.1
Finite
Elemente Diskretisierung des Optimalitätssystems der
Lavrentiev-Regularisierung ...................133
8.1.1 Herleitung von FEM-Matrizen für verallgemeinerte
Neumann-Randbedingungen...............134
8.1.2 FEM-Matrizen für Dirichlet-Randbedingungen .... 138
8.2
Finite
Elemente Diskretisierung des Optimalitätssystems der
Moreau-Yosida-Regularisierung.................141
8.3 Gleichungssystemlöser......................142
IV
Experimente und Ergebnisse 143
9 Testaufgaben 145
9.1 Lineare Probleme mit unterschiedlicher Regularität
der Lagrange-Multiplikatoren..................146
9.1.1 Problem (ffn): Lagrange-Multiplikator aus
С(Щ
. . 146
9.1.2 Problem (P^ ): Lagrange-Multiplikator
aus
{Н1(П)У
.......................148
9.2 Problem (P^ ): Lineares Problem mit verletzter strikter
Komplementarität ........................151
9.3 Semilineare Probleme ......................155
9.3.1 Problem
(Pi1 ): polynomial
Nichtlinearität.....155
9.3.2 Problem (P£lin):
exponentielle
Nichtlinearität.....156
yj
Inhaltsverzeichnis
10 Numerische Experimente zur Lavrentiev-Regularisierung 159
10.1 Analyse verschiedener Algorithmen...............160
10.1.1 Primal-duale aktive Mengenstrategie..........160
10.1.2 Extrapolationstechnik..................162
10.1.3
„nested-iteration
-Konzept ...............165
10.1.4
„nested-extrapolation^Konzept
.............167
10.1.5 Fazit............................168
10.2 Ergebnisse zur Regularisierung.................169
10.2.1 L2-Fehler gegenüber analytischer Lösung .......169
10.2.2 Konvergenzgeschwindigkeit der Lavrentiev-
Regularisierung ......................171
10.2.3 Monotonie des Zielfunktionais in Abhängigkeit von
λ
. 171
11 Numerische Experimente zur Moreau-Yosida-
Regularisierung 173
11.1 Analyse verschiedener Algorithmen...............173
11.1.1 Primal-duale aktive Mengenstrategie..........174
11.1.2 „continuation -Technik .................176
11.1.3
„nested-iteration
Konzept ...............178
11.1.4 EPF- und IPF-Algorithmus...............180
11.1.5 Superlineare Konvergenz des
„exact path-following -
Algorithmus........................184
11.1.6 Fazit............................185
11.2 Ergebnisse zur Regularisierung.................186
11.2.1 L2-Fehler gegenüber analytischer Lösung .......186
11.2.2 Güte der Modellfunktionen...............188
12 Analyse der Testbeispiele 191
12.1 Problem
(P[in):
Lagrange-Multiplikator aus C(U)......191
12.2 Problem (Pl2in): Lagrange-Multiplikator aus
{Н1Щ*
.... 192
12.3 Problem (lfn): verletzte strikte Komplementarität......194
12.4 Problem (P^in):
polynomial
Nichtlinearität.........197
12.5 Problem (P2n n):
exponentielle
Nichtlinearität.........199
Inhaltsverzeichnis
vil
13 Vergleich der Regularisierungsmethoden 201
13.1 Vergleich der Konzepte......................201
13.2 Vergleich der numerischen Ergebnisse..............203
Ausblick 207
Anhang 211
Symbolverzeichnis 215
Literaturverzeichnis 221
Stichwortverzeichnis 225
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