Moderne mathematische Methoden der Physik: 1
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Berlin ; Heidelberg
Springer
2009
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Inhaltsverzeichnis
Vorkenntnisse und generell verwendete Bezeichnungen.xvii
Teil
I
Tensoranalysis und Differentialformen
1 Mannigfaltigkeiten. 3
A
Grundlagen aus der
Topologie
. 4
В
Mannigfaltigkeiten. 11
С
Tangentialraum und Differential. 19
Aufgaben. 28
2 Multilineare Algebra. 33
A
Dualität bei endlich
dimensionalen
Vektorräumen. 33
В
Multilineare Abbildungen und Tensoren . 37
С
Alternierende und symmetrische Abbildungen und Tensoren. 42
Aufgaben. 51
3 Tensorfelder und Differentialformen. 53
A
Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten. 54
В
Alternierende ¿-Formen und Orientierungen. 59
C RlEMANNsche
und LORENTZsche Metriken. 64
D
Flüsse und LlE-Ableitungen. 67
Aufgaben. 72
4 Integration und Differentiation von Differentialformen. 77
A
Zerlegung der Einheit. 77
В
Mannigfaltigkeiten mit Rand. 81
С
Integration auf Mannigfaltigkeiten. 85
D
Die CARTANsche Ableitung. 90
E
CARTAN-Kalkül auf RlEMANNschen Mannigfaltigkeiten
und klassische
Vektoranalysis
. 96
F
Die MAXWEiXschen Gleichungen. 99
G
Der allgemeine Satz von
Stokes
.105
xii Inhaltsverzeichnis
H
Das
POINCARÉ
Lemma. Potentiale und Vektorpotentiale.110
Aufgaben.H4
5 Geodätische und Krümmung.121
A
Krümmung von Kurven in Untermannigfaltigkeiten des
W
.121
В
Krümmung von Hyperflächen des
W
.126
С
Die kovariante Ableitung auf Untermannigfaltigkeiten des
Ш."
.129
D
Die kovariante Ableitung auf Mannigfaltigkeiten.135
E Die
kovariante Ableitung auf pseudo-RlEMANNschen
Mannigfaltigkeiten.140
F
Geodätische auf pseudo-RlEMANNschen Mannigfaltigkeiten.144
G
Krümmung von pseudo-RlEMANNschen Mannigfaltigkeiten.150
H
Die EiNSTEiNschen Gleichungen.157
Aufgaben.161
6 Koordinatenfreie Formulierungen
der klassischen Mechanik.167
A Tangential-
und Kotangentialbündel.168
В
EuLER-LAGRANGEgleichungen.172
С
Symplektische Mannigfaltigkeiten.175
D
Der HAMiLTONformalismus.183
E
Der LAGRANGEformalismus und die LEGENDREtransformation . 188
Aufgaben.194
Teil
II
Funktionalanalysis und Integrationstheorie
7 Banach- und HiLBERTräume.199
A
Definitionen und Beispiele.200
В
Endlich-dimensionale normierte lineare Räume.210
С
Orthogonales Komplement.212
D
Vervollständigung von normierten linearen Räumen.215
E
Tensorprodukt von HlLBERTräumen.216
Aufgaben.221
8 Beschränkte lineare Operatoren.225
A
Beschränkte lineare Operatoren und Funktionale.225
В
Beschränkte lineare Funktionale auf normierten linearen Räumen . 233
С
Beschränkte Formen auf HlLBERTräumen
und der adjungierte Operator.235
D
HERMiTEsche und unitäre Operatoren.239
E
Projektionsoperatoren.242
F
Beispiel: FouRffiRtransformation
und FOURIER-PLANCHEREL-Operator.245
Aufgaben.250
Inhaltsverzeichnis xiii
9 Einführung in die Spektraltheorie .26!
A
Spektrum und Resolvente.262
В
Spektrum beschränkter selbstadjungierter
und unitärer Operatoren.268
С
Kompakte Operatoren.272
D
Spektrum kompakter Operatoren.276
E
FREDHOLMsche Integralgleichungen.283
Aufgaben.293
10 Maß und Integral.299
A
Abstrakte Maßräume.300
В
Konstruktion von nichttrivialen Maßräumen.305
С
Messbare Funktionen.313
D
Das Integral für nichtnegative messbare Funktionen.316
E
Summierbare Funktionen.323
F
Die Rolle der stetigen Funktionen.333
G
Produktmaße und iterierte Integrale.338
Aufgaben.344
11 Distributionen und temperierte Distributionen.349
A
Testfunktionen.350
В
Distributionen.355
С
Reguläre Distributionen.359
D
Lokalisierung und Träger.362
E
Konvergente Folgen von Distributionen.365
F
Substitution und Differentiation .368
G
FOURIERtransformation von Distributionen .372
Aufgaben.377
12 Einige spezielle Distributionen.385
A
Distributionen nullter Ordnung.386
В
Schichten und mehrfache Schichten.389
С
Regularisierung divergenter Integrale
und HADAMARDscher Hauptwert.401
D
Der CAUCHYsche Hauptwert.407
E
Regularisierung mittels analytischer Fortsetzung.410
F
Berechnung einiger FouRlERtransformierter.418
Aufgaben.425
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen.429
A
Tensorprodukt von Distributionen.429
В
Faltung von Distributionen.433
C FouRľERtransformation
von Tensor- und Faltungsprodukt.437
D
Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen .439
Aufgaben.450
xiv Inhaltsverzeichnis
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik
von
V.
Bach.453
Literaturverzeichnis.463
Sachverzeichnis.467 |
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