Fibonacci und die Folge(n):
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München
Oldenbourg Verlag
2009
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|---|---|
| adam_text | Titel: Fibonacci und die Folge(n)
Autor: Lausch, Huberta
Jahr: 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlegende Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge 1
1.1 Einführung und Definitionen ............................................ 1
1.2 Einfache Summenformeln................................................ 3
1.3 Weitere Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge.................... 8
1.3.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion................................. 8
1.3.2 Beziehungen zwischen Fibonaccizahlen................................... 9
1.3.3 Beziehungen zwischen Lucaszahlen....................................... 13
1.4 Lineare Rekursion und die Formel von Binet............................. 15
1.4.1 Die Formel von Binet.................................................... 15
1.4.2 Lineare Rekursion - die Herleitung der Formel von Binet................. 18
1.5 Folgerungen aus der Formel von Binet................................... 20
1.5.1 Folgerungen für die Fibonaccifolge....................................... 21
1.5.2 Beziehungen zwischen Fibonacci- und Lucaszahlen....................... 26
1.6 Fibonacci- und Lucaszahlen mit negativen Indizes........................ 28
1.7 Aufgaben ............................................................... 30
2 Fibonaccizahlen und Lineare Algebra 31
2.1 Die Herleitung der Formel von Binet mithilfe der Eigenwertrechnung..... 31
2.2 Die Darstellung der Fibonaccizahlen als Determinanten von Matrizen___ 35
2.3 Herleitung von Fibonacci-Identitäten mithilfe der Matrizenrechnung...... 38
2.4 Fibonacci- und Lucasvektoren........................................... 41
2.5 Aufgaben ............................................................... 48
2.5.1 Übungsaufgaben ........................................................ 48
2.5.2 Arbeitsaufträge ......................................................... 48
3 Zahlentheoretische Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge 49
3.1 Zahlentheoretische Grundlagen.......................................... 49
3.1.1 Teiler und Vielfache..................................................... 49
3.1.2 Der euklidische Algorithmus und Eigenschaften von ggT und kgV........ 51
3.1.3 Binomialkoeffizienten.................................................... 54
3.1.4 Gruppen, Ringe, Körper................................................. 56
3.1.5 Kongruenzen und Restklassen........................................... 59
Inhaltsverzeichnis
........... 64
3.2 Teilbarkeitsaussagen.................•........................ 64
3.2.1 Teilbarkeitsaussagen für Fibonaccizaluen...........................• • • ¦ 7Q
3.2.2 Quotienten von Fibonaccizahien........................................ 74
3.2.3 Teilbarkeitsaussagen für Lucaszahlen ....................................
... 78
3 3 Die Fibonaccifolge modulo m...................................... 78
3.3.1 Die Periodenlänge der Fibonaccifolge modulo m......................... g2
3.3.2 Die Fibonaccifolge modulo p, p prim..................................... gg
3.3.3 Die Verteilung der Fibonaccizahien modulo m........................... gQ
3 3 4 Summenformeln modulo m..............................................
91
3.4 Fibonaccizahien und Binomialkoeffizienten............................... ^
3.4.1 Summenformeln mit Binomialkoeffizienten............................... ^
3.4.2 Verallgemeinerte Binomialkoeffizienten...................................
3 5 Quadratzahlen in der Fibonacci- und der Lucasfolge..................... 97
A r ^ .....100
3.6 Aufgaben........................................................ 100
3.6.1 Übungsaufgaben ........................................................ lQ1
3.6.2 Arbeitsaufträge .........................................................
103
4 Fibonaccizahien in der Analysis
103
4.1 Einige spezielle Folgen...................................................
4.1.1 Folgen mit dem Grenzwert $............................................
4.1.2 Reihen mit Fibonaccizahien.............................................
112
4.2 Potenzreihen mit Fibonaccizahien .......................................
4.3 Aufgaben............................................................... L
117
5 Fibonaccizahien in der Geometrie x
117
5.1 Rechtwinklige Dreiecke..................................................
5.2 Der goldene Schnitt..................................................... l19
5.2.1 Teilung einer Strecke.................................................... 119
5.2.2 Konstruktionsverfahren für den goldenen Schnitt.........................^
5.3 Goldene Dreiecke........................................................ 125
5.3.1 Die Winkel im goldenen Dreieck......................................... 125
5.3.2 Das regelmäßige Zehneck................................................ 127
5.3.3 Das regelmäßige Fünfeck................................................ 128
5.4 Fibonaccispirale und goldene Spirale..................................... ^3
5.5 Aufgaben............................................................... 137
5.5.1 Übungsaufgaben........................................................ 137
5.5.2 Arbeitsaufträge ......................................................... 138
6 Das Fibonaccizahlensystem und Nim-Spiele 139
6.1 Die Darstellung natürlicher Zahlen durch Fibonaccizahlen................139
Inhaltsverzeichnis_______________________________________________________IX
6.1.1 Stellenwertsysteme...................................................... 139
6.1.2 Der Satz von Zeckendorf................................................. 142
6.2 Nim-Spiele.............................................................. 146
6.2.1 Das Spiel „Euklid ...................................................... 146
6.2.2 Das Spiel von Wythoff................................................... 148
6.2.3 Das Spiel von Wythoff und das Fibonaccizahlensystem................... 152
6.3 Aufgaben............................................................... 155
6.3.1 Übungsaufgaben ........................................................ 155
6.3.2 Arbeitsaufträge ......................................................... 156
7 Die Fibonaccizahlen in der Informatik 157
7.1 Binäre Suchbäume ...................................................... 157
7.2 Fibonacci-Heaps......................................................... 160
7.3 Aufgaben............................................................... 162
7.3.1 Übungsaufgaben ........................................................ 162
7.3.2 Arbeitsaufträge ......................................................... 162
8 Verallgemeinerungen der Fibonaccizahlen 163
8.1 Lucasfolgen............................................................. 163
8.1.1 Einführung und Definitionen ............................................ 163
8.1.2 Eigenschaften von Lucasfolgen........................................... 166
8.2 Die Padovanfolge........................................................ 170
8.2.1 Definition und Eigenschaften............................................ 170
8.2.2 Rekursions- und Summenformeln........................................ 171
8.2.3 Kombinatorische Deutung der Padovanzahlen............................ 174
8.2.4 Padovan- und Perrinfolge................................................ 174
8.2.5 Die Plastikzahl.......................................................... 176
8.2.6 Die Padovanspirale...................................................... 177
8.3 Die Tribonaccifolge...................................................... 178
8.4 Fibonacci- und Lucaspolynome.......................................... 180
8.5 Aufgaben............................................................... 183
8.5.1 Übungsaufgaben ........................................................ 183
8.5.2 Arbeitsaufträge ......................................................... 184
A Tabellen der Zahlenfolgen 185
A.l Die ersten 60 Fibonaccizahlen........................................... 185
A.2 Die ersten 60 Lucaszahlen............................................... 186
A.3 Die ersten 60 Padovanzahlen ............................................ 187
A.4 Die ersten 60 Perrinzahlen............................................... 188
X ^_____^_________________________Inhaltsverzeichnis
B Die Formeln von Cardano 189
Literaturverzeichnis 191
Index 195
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