Risikoanalyse: Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2009
|
| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Studienbücher Wirtschaftsmathematik
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XVIII, 420 S. graph. Darst. 240 mm x 170 mm |
| ISBN: | 9783834805942 |
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Titel: Risikoanalyse
Autor: Cottin, Claudia
Jahr: 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
1.1 Zum Risikobegriff. 1
1.2 Geschichtliches. 4
1.2.1 Frühe Geschichte der Risikoanalyse als Geschichte der Stochastik . 6
1.2.2 Entwicklungen im Finanz-und Versicherungswesen . 7
1.3 Bedeutung von Risikoanalyse und Risikomanagement. 13
1.4 Regulatorische Rahmenbedingungen des Risikomanagements. 14
1.4.1 Corporate Governance. 15
1.4.2 KonTraG und TransPuG. 15
1.4.3 Der Sarbanes-Oxley Act. 17
1.4.4 Basel II, Solvency II und die MaRisk . 18
1.5 Risikoanalyse als Bestandteil des Risikomanagements. 21
1.6 Übersicht zum Aufbau des Buchs. 23
Mathematische Modellierung von Risiken 25
2.1 Grundsätzliches zur mathematischen Beschreibung von Risiken . 25
Verteilungsmodelle für Einzelschäden. 29
2.2
2.1 Gleichverteilung. 30
2.2 Exponentialverteilung. Erlang-und Gamma-Verteilung. 31
2.3 Weibull-Verteilung. 33
2.4 Normalverteilung. 34
2.5 Multivariate Normalverteilung. 35
2.6 f-Verteilung. 37
2.7 Logarithmische Normalverteilung. 38
2.8 Log-Gamma-Verteilung . 40
2.9 Pareto-Verteilung. 40
2.10 Verallgemeinerte Pareto-Verteilung . 42
2.11 Inverse Gauß-Verteilung. 42
2.12 Beta-Verteilung. 43
2.13 Dreiecksverteilung. 44
2.14 Verschobene Verteilungen. 45
2.15 Gestutzte Verteilungen. 45
2.16 Zeitabhängige Verteilungen . 45
2.17 Aufgaben. 46
2.3 Modellierung der Schadenanzahl. 46
2.3.1 Bemoulli-Prozess und Binomialverteilung. 47
2.3.2 Negative Binomialverteilung. 52
2.3.3 Logarithmische Verteilung. 54
2.3.4 Poisson-Verteilung. 55
2.3.5 Panjer-Verteilung. 57
2.3.6 Allgemeines zu Schadenanzahlprozessen. 58
2.3.7 Homogener Poisson-Prozess. 58
2.3.8 Inhomogener Poisson-Prozess. 62
2.3.9 Poisson-Ansteckungsprozess. 63
2.3.10 Klumpen-Poisson-Prozess. 63
2.3.11 Gemischter Poisson-Prozess. 64
2.3.12 Cox-Prozess . 66
2.3.13 Aufgaben. 66
2.4 Modellierung einzelner Wertentwicklungsprozesse. 68
2.4.1 Kurs-und Renditewerte als Ausgangsbasis der Modellierung. 68
2.4.2 Zeitdiskreter arithmetischer Random Walk . 70
2.4.3 Zeitdiskreter geometrischer Random Walk . 71
2.4.4 Binomialgitter-Prozesse . 72
2.4.5 Brownsche Bewegung (Wiener-Prozess). 74
2.4.6 Ausblick auf weitere Modellierungsansätze. 76
2.4.7 Aufgaben. 77
2.5 Aggregation von Teilrisiken . 78
2.5.1 Allgemeines zu Gesamtrisikomodellen . 79
2.5.2 Das individuelle Modell der Risikoaggregation. 80
2.5.3 Das kollektive Modell der Risikoaggregation. 84
2.5.4 Aggregation einzelner Finanzrisiken. 87
2.5.5 Risikomatrizen. 91
2.5.6 Aggregation von Einzelrisiken mittels Simulationstechniken. 93
2.5.7 Aufgaben. 96
2.6 Zusammenfassung . 98
2.7 Selbsttest . . . T. 99
Risikokennzahlen 101
3.1 Stochastische Risikokennzahlen (Verteilungsparameter). 101
3.1.1 Vorbemerkungen zum Vergleich von Risiken. 101
3.1.2 Mögliche Anforderungen an Risikomaße. 103
3.1.3 Mittelwerte und Risiko. 105
3.1.4 Streuungsmaße, Schiefemaße und höhere Momente. 112
3.1.5 Va!ue-at-Risk und weitere Shortfall-Maße. 114
3.1.6 Stochastische Risikokennzahlen zur Bemessung von Risikoreserven . 123
3.1.7 Bemessung von Versicherungsprämien unter Risikoaspekten. 125
3.1.8 Risikoadjustierte Performance-Maße. 130
3.1.9 Aufgaben. 136
3.2 Analytische Risikokennzahlen (Sensitivitätsparameter). 139
3.2.1 Zinssensitivität von Barwerten.140
3.2.2 Optionspreissensitivitäten .151
3.2.3 Aufgaben.154
3.3 Zusammenfassung .156
3.4 Selbsttest.157
Risikoentlastungsstrategien 159
4.1 Risikoteilung. 159
4.1.1 Begriffserläuterung und Überblick. 159
4.1.2 Proportionale Risikoteilung . 162
4.1.3 Nichtproportionale Risikoteilung. 164
4.1.4 Entlastungseffekt bei Risikoteilung . 168
4.1.5 Einfluss von Risikoteilung auf den Variationskoeffizienten. 170
4.1.6 Anmerkungen zur Preiskalkulation bei Risikoteilung. 171
4.1.7 Aufgaben. 172
4.2 Diversifikation von Risiken. 174
4.2.1 Allgemeines Problem der Portfoliooptimierung. 175
4.2.2 Diversifikation bei zwei Anlagealternativen. 177
4.2.3 Diversifikationseffekt für n gleichartige, unabhängige Risiken. 183
4.2.4 Ausblick: Diversifikation bei n Anlagealternativen. 186
4.2.5 Individuelle Rendite-Risiko-Optimierung eines Wertpapierportfolios . . . 189
4.2.6 Das Capital Asset Pricing Modell. 195
4.2.7 Aufgaben. 199
4.3 Hedging von Risiken. 200
4.3.1 Grundbegriffe zu derivaten Finanzinstrumenten. 200
4.3.2 Bewertung von Futures. 205
4.3.3 Hedging-Strategien mit Futures. 208
4.3.4 Wert der vier Grundpositionen von Optionsgeschäften . 214
4.3.5 Kombinationsstrategien mit Optionen. 219
4.3.6 Hedging und Optionsbewertung im Binomialmodell . 229
4.3.7 Hedging und Optionsbewertung im Black-Scholes-Modell. 242
4.3.8 Aufgaben. 243
4.4 Zusammenfassung . 245
4.5 Selbsttest. 246
Abhängigkeitsmodellierung 249
5.1 Lineare Korrelation.250
5.1.1 Kovarianz und Korrelation als Abhängigkeitsmaß.250
5.1.2 Bemerkungen zum Pearsonschen Korrelationskoeffizienten.253
5.1.3 Aufgaben.255
5.2 Lineare Regression und verwandte Modelle.257
5.2.1 Lineare Regression.257
5.2.2 Verwandte Modelle.261
5.2.3 Aufgaben.264
5.3 Copulas.264
5.3.1 Grundlagen.265
5.3.2 Spezielle Copulas.267
5.3.3 Implementierung von Copula-Methoden in R.271
5.3.4 Bemerkungen.273
5.3.5 Aufgaben.274
5.4 Rangkorrelation.276
5.4.1 Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient.276
5.4.2 Kendallscher Rangkorrelationskoeffizient.278
5.4.3 Aufgaben.279
5.5 Tail-Abhängigkeit.280
5.5.1 Beispiel Tail-Abhängigkeitskoeffizienten.281
5.5.2 Beispiel Tail-Abhängigkeit.282
5.5.3 Aufgaben.282
5.6 Zusammenfassung .284
5.7 Selbsttest.285
Auswahl und Überprüfung von Modellen 287
6.1 Überprüfung von Modellannahmen.287
6.1.1 Lage- und Streuungsparameter.288
6.1.2 Grafische Darstellungen.290
6.1.3 Schätzen von Verteilungsparametern.292
6.1.4 Explorativer Vergleich von Daten.295
6.1.5 Anpassungstests .300
6.1.6 Spezielle Tests auf Normalverteilung .307
6.1.7 Aufgaben.311
6.2 Schätzer von Risikomaßen.314
6.2.1 Parametrischer VaR-Schätzer.314
6.2.2 Nichtparametrischer VaR-Schätzer .317
6.2.3 Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen VaR-Schätzer . . 319
6.2.4 Parametrischer TVaR-Schätzer .320
6.2.5 Nichtparametrischer TVaR-Schätzer.321
6.2.6 Aufgaben.321
6.3 Parameterschätzung für Copulas.322
6.3.1 Parameterschätzung durch Rangkorrelationen.323
6.3.2 Parameterschätzung mit der ML-Methode.324
6.3.3 Beispiel zur Copula-Schätzung (BMW-und Siemens-Renditen).325
6.3.4 Aufgaben.327
6.4 Backtesting.327
6.4.1 Backtesting im Kontext der Modellvalidierung.327
6.4.2 Mathematische Beschreibung .328
6.4.3 Tests für die Ausreißerwahrscheinlichkeit.330
6.4.4 Ein Test auf Unabhängigkeit.332
6.4.5 Anmerkungen zum Backtesting.333
6.4.6 Aufgaben.334
6.5 Zusammenfassung .335
6.6 Selbsttest.335
Simulationsmethoden 337
7.1 Erzeugung von Zufallszahlen.337
7.1.1 Die Inversionsmethode.338
7.1.2 Die Verwerfungsmethode.340
7.1.3 Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen.342
7.1.4 Erzeugung diskreter Zufallszahlen.343
7.1.5 Anmerkungen zur Erzeugung von Zufallszahlen.344
7.1.6 Aufgaben.344
7.2 Simulation von abhängigen Risiken .345
7.2.1 Simulation der multivariaten Normalverteilung.345
7.2.2 Simulation der Gauß-Copula.346
7.2.3 Simulation der f-Copula.347
7.2.4 Simulation der Gumbel- und Clayton-Copula.347
7.2.5 Simulation von abhängigen Risiken.349
7.2.6 Aufgaben.351
7.3 Simulation von Zählprozessen.352
7.3.1 Bernoulli-Prozess.352
7.3.2 Homogener Poisson-Prozess.355
7.3.3 Inhomogener Poisson-Prozess.358
7.3.4 Gemischter Poisson-Prozess.359
7.3.5 Cox-Prozess .360
7.3.6 Aufgaben.361
7.4 Simulation von Gesamtschadenprozessen und Gesamtschadenverteilungen . . . .361
7.5 Simulation von Random Walks.364
7.5.1 Allgemeiner Ansatz zur Simulation von Random Walks .364
7.5.2 Arithmetische und geometrische Brownsche Bewegung.365
7.5.3 Binomialgitter-Prozesse.368
7.5.4 Aufgaben.371
7.6 Monte-Carlo-Simulation.373
7.6.1 Monte-Carlo-Integration.373
7.6.2 Monte-Carlo-Simulation des Value-at-Risk eines Portfolios.376
7.6.3 Monte-Carlo-Simulation der Risikokapitalallokation.377
7.6.4 Monte-Carlo-Simulation der Ruinwahrscheinlichkeit.379
7.6.5 Aufgaben.382
7.7 Bootstrap-Konfidenzintervalle für Risikomaße.385
7.7.1 Die nichtparametrische Bootstrap-Methode.386
7.7.2 Beispiel Value-at-Risk.386
7.7.3 Die parametrische Bootstrap-Methode.389
7.7.4 Aufgaben.392
7.8 Zusammenfassung .393
7.9 Selbsttest.393
Anhang 395
A Symbolverzeichnis 397
A.l Grundlagen.397
A.2 Stochastik.397
A.3 Stetige Verteilungen.398
A.4 Diskrete Verteilungen.399
B Einige Grundlagen aus der Stochastik 401
B.l Zufallsvariablen und Verteilungen.401
B.l.l Elementare Begriffe und Eigenschaften.401
B.1.2 Quantilfunktionen .402
B.2 Unabhängigkeit.403
B.3 Summen unabhängiger Zufallsvariablen.404
B.4 Erwartungswert, Varianz und höhere Momente .405
B.5 Bedingte Verteilungen und Erwartungswerte.406
B.6 Grenzwertsätze.407
B.7 Momente von Zufallsvektoren.408
Literaturverzeichnis 411
Sachverzeichnis 415
Tabellenverzeichnis
2.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenanzahl in Beispiel 2.3.1.1. 50
2.2 Schadenverteilung für den Fall a). 83
2.3 Schadenverteilung für den Fall b). 83
3.1 Verteilungen von Sa und Sß in Beispiel 3.1.5.7.122
3.2 Verteilung von S in Beispiel 3.1.5.7 .123
4.1 Beispieldaten Surplus-Vertrag .163
4.2 Schäden (in Mio. ?) .167
4.3 Daten zu Aufgabe 4.3.173
4.4 Grundpositionen bei einem Optionsgeschäft.204
5.1 Zehn gemeinsame Renditewerte der BMW-und Siemens-Aktie.253
5.2 Schadendaten zu Aufgabe 5.1 (Gebäudeflächen in m2, Schäden in 10 T?) . . . . 255
5.3 Datensätze A bis D aus Aufgabe 5.5.256
5.4 Zehn gemeinsame Renditewerte der BMW- und Siemens-Aktie.277
5.5 Zehn gemeinsame Renditewerte der BMW- und Siemens-Aktie.279
5.6 Tail-Abhängigkeitskoeffizienten der Copulas aus dem Beispiel in Abschnitt 5.3.3 282
6.1 Berechnete Größen für das Histogramm von (/.292
6.2 Entscheidungsmöglichkeiten beim statistischen Test.301
6.3 p-Werte der Anpassungstests für die NYSE-Composite-Daten .310
6.4 Ergebnisse der beiden Anpassungsmethoden für die BMW und Siemens-Renditen 327
6.5 Vierfeldertafel zum Test von Christoffersen.332
6.6 Ausreißerzahlen für das Backtesting des parametrischen VaR^f;.333
7.1 Simulationsergebnisse der extremen gemeinsamen Verluste.351
7.2 Ergebnisse der Monte-Carlo-Integration.375
7.3 Nichtparametrische Value-at-Risk-Schätzer von X\ +Xz.377
7.4 Zu Aufgabe 7.22 .384
7.5 Zu Aufgabe 7.23 .385
7.6 Bootstrap-Konfidenzintervalle für die NYSE-Composite-Daten.388
7.7 Bootstrap-Konfidenzintervalle für simulierte Erdbebenschäden.391
Abbildungsverzeichnis
1.1 Sprichwörtliche Begründung der Risikoanalyse. 2
1.2 Zusammenfassung und Visualisierung des Risikobegriffs. 5
1.3 Kerninhalte des KonTraG (Darstellung angelehnt an [RF03]). 16
1.4 Rahmenbedingungen der MaRisk. 17
1.5 Die drei Säulen von Basel II und Solvency II. 18
1.6 Tabellarische Übersicht zu den zehn Gliederungspunkten der MaRisk VA . 19
1.7 Ein Value-at-Risk-Ansatz zur Bestimmung von Risikokapital. 21
1.8 Darstellung des Risikomanagement-Prozesses (angelehnt an [RF03]). 22
1.9 Übersicht zum Aufbau des Buchs. 24
2.1 Dichten der Gleichverteilung für ausgewählte Verteilungsparameter . 31
2.2 Dichten der Gamma-Verteilung für ausgewählte Verteilungsparameter. 32
2.3 Dichten der Weibull-Verteilung für ausgewählte Verteilungsparameter. 33
2.4 Dichten der Normalverteilung für ausgewählte Verteilungsparameter. 35
2.5 Dreidimensionale Darstellung der Dichtefunktion von N2(0;£) . 36
2.6 Dichten der t-Verteilung und der Standardnormalverteilung. 38
2.7 Dichten der Lognormalverteilung. 39
2.8 Dichten der Pareto-Verteilung . 41
2.9 Dichten der Beta-Verteilung für verschiedene Parameterwerte. 44
2.10 Mögliche Pfade bei einem Bernoulli-Prozess. 48
2.11 Eine Realisierung des Bernoulli-Prozesses aus Beispiel 2.3.1.1. 49
2.12 Zähldichte von Bin(6;0.1)undBin(12;0.1). 50
2.13 Zähldichte (Wahrscheinlichkeitsfunktion) von NB( 18:0.4736). 54
2.14 Zähldichte (Wahrscheinlichkeitsfunktion) von Pois(0.6). 56
2.15 Realisierung eines homogenen Poisson-Prozesses mit X = 7.2. 59
2.16 Mögliche Kursentwicklungen bei einem Binomialgitter-Prozess . 73
2.17 Beispiel einer Risikomatrix (schematisch). 92
2.18 Vor-und Nachteile von Risikomatrizen. 93
2.19 Prototypisches Unternehmensmodell für die Risikoanalyse. 94
3.1 Dichtefunktion der lognormalverteilten Jahresrendite /. 106
3.2 Konfidenzintervalle für durchschnittliche Jahresrenditen . 108
3.3 Ein-Sigma-Äquivalente einer beliebigen Normalverteilung. 113
3.4 Visualisierung der Shortfall-Wahrscheinlichkeit und des Value-at-Risk. 116
3.5 Visualisierung der Shortfall-Wahrscheinlichkeit und des Value-at-Risk. 117
3.6 Veranschaulichung der M/M-Leverage-Rendite. 134
3.7 Absolute Zinssensitivität der Barwertfunktion. 141
3.8 Macaulay-Duration als barwertgewichteter Schwerpunkt einer Zahlungsreihe . . 144
3.9 Kompensationspunkt t* des Gesamtwerts einer Investition bei Zinsänderung . 145
3.10 Macaulay-Duration als Zeitpunkt der vollständigen Immunisierung. 147
3.11 Barwert von zwei Zahlungsströmen mit unterschiedlicher Konvexität. 149
3.12 Immunisierungsbedingungen für das Asset-Liability-Management. 151
3.13 Options-Delta als Sensitivitätskennzahl . 153
4.1 Wirkung des Surplus-Vertrags.163
4.2 Verschiedene Typen der Franchise (schematische Darstellung).165
4.3 Entlastungseffektfunktionen verschiedener Schadenverteilungen.170
4.4 Aufgabenstellung der Portfoliotheorie.176
4.5 Visualisierung des Minimum-Varianz-Portfolios.178
4.6 o-fi-Diagramm der erreichbaren Portfolios .179
4.7 ^-cr-Diagramm der erreichbaren Portfolios .181
4.8 Diversifikationseffekt für n unabhängige Assets.184
4.9 Konstruktion der Portfoliofläche bei drei Anlagealternativen .187
4.10 Portfoliofläche bei drei Anlagealternativen.187
4.11 Benchmark-Ansatz zur Portfoliooptimierung.190
4.12 Portfoliooptimierung mit Shortfall-Restriktionen .192
4.13 Portfoliooptimierung unter Vorgabe einer risikoaversen Nutzenfunktion.193
4.14 Visualisierung des Tangentialportfolios.196
4.15 Die Kapitalmarktlinie des CAPM.197
4.16 Die Wertpapierlinie des CAPM.198
4.17 Funktionsweise eines Swap.203
4.18 Gewinn / Verlust aus einem Future-Kontrakt.205
4.19 Funktionsweise des perfekten Short und Long Hedge.211
4.20 Ertrags-Risiko-Kombinationen beim nicht perfekten Short Hedge.213
4.21 Wert eines Long Call zum Ausübungszeitpunkt T.215
4.22 Wert eines Short Call zum Ausübungszeitpunkt T.216
4.23 Wert eines Long Put zum Ausübungszeitpunkt T .218
4.24 Wert eines Short Put zum Ausübungszeitpunkt T .219
4.25 Funktionsweiseeines l:l-Put-Hedge.220
4.26 Funktionsweise eines Covered Short Call .222
4.27 Funktionsweise eines Collar.223
4.28 Gewinn/Verlust beim Bull Spread zum Laufzeitende T.225
4.29 Gewinn/Verlust beim Bear Spread zum Laufzeitende T.226
4.30 Gewinn/Verlust beim Butterfly Spread zum Laufzeitende T.227
4.31 Gewinn/Verlust beim Straddle zum Laufzeitende T.228
4.32 Preisentwicklung des Basiswerts im Einperioden-Binomialmodell.230
4.33 Wert des Long Call im Einperioden-Binomialmodell (Beispiel).230
4.34 Gewinn/Verlust aus dem Optionsgeschäft .232
4.35 Veranschaulichung der Duplikationsstrategie zur Call-Bewertung.234
4.36 Duplikationsstrategie zur Bewertung eines Garantiezertifikats.235
4.37 Duplikationsstrategie zur Call-Bewertung in einem allgemeinen Modell.237
4.38 Binomialgitter mit 4 Zeitperioden zur Optionsbewertung.238
4.39 Kurswerte im Zweiperioden-Binomialmodell (Beispiel).240
4.40 Call-Werte im Zweiperioden-Binomialmodell (Beispiel) .241
5.1 Streudiagramm der Tagesrenditen von BMW und Siemens.249
5.2 Streudiagramme mit verschiedenen Korrelationskoeffizienten.251
5.3 Streudiagramm der zehn Wertepaare aus Beispiel 5.1.1.2.253
5.4 Renditewerte aus Beispiel 5.1.1.2 mit verschiedenen Geraden.257
5.5 Streudiagramm und geschätzte Regressionsgerade aus Beispiel 5.1.1.2.259
5.6 Regressionsgeraden mit vertauschten Rollen.260
5.7 Funktionsgraph der logistischen Funktion.262
5.8 Dreidimensionale Darstellung der fundamentalen Copulas .268
5.9 Dichten- und Höhenliniendiagramme der angepassten Verteilungen.272
5.10 5000 Realisierungen der Verluste aus Aufgabe 5.24.283
6.1 Histogramm und Box-Plot der Beispieldaten.291
6.2 Dichtefunktionen der drei angepassten Verteilungen.296
6.3 Empirische Verteilungsfunktion mit angepasster Normalverteilung.297
6.4 Histogramm der Beispieldaten mit angepasster Normalverteilung.298
6.5 Q-Q-Plot der Beispieldaten.300
6.6 Zur K-S-Statistik: Ausschnitt aus Abbildung 6.3.304
6.7 Verluste des NYSE-Composite.309
6.8 Q-Q-Plots zu Aufgabe 6.2 .311
6.9 Gemeinsame Verteilung und Pseudorealisierungen der Copula.326
6.10 Backtesting über 252 Tage.328
6.11 Backtesting über 504 Tage.330
7.1 Visualisierung der Inversionsmethode.339
7.2 Zur Verwerfungsmethode.341
7.3 Dichtefunktionen und Simulationen von verschiedenen Copulas .348
7.4 Höhenlinien und Simulationen der gemeinsamen Verteilungen.350
7.5 Simulation eines Bernoulli-Prozesses mit Excel.354
7.6 Pfad eines homogenen Poisson-Prozesses mit A=5.355
7.7 Simulation eines Poisson-Prozesses mit Excel.357
7.8 Intensitätsfunktion und Pfad eines inhomogenen Poisson-Prozesses.358
7.9 Pfad eines Cox-Prozesses.359
7.10 Simulation eines Gesamtschadenprozesses.362
7.11 Simulation von Brownschen Bewegungen mit R.367
7.12 Simulation einer Brownschen Bewegung mit Excel.369
7.13 Simulation einer geometrischen Brownschen Bewegung mit Excel.370
7.14 Simulation eines Binomialgitter-Prozesses mit Excel .372
7.15 Zur Monte-Carlo-Integration von J0 sin(ji-x)dx.375
7.16 Q-Q-Plot von Pareto( 1/2; 3/2) gegen Exp(l) .381
7.17 Realisierungen von Risikoreserveprozessen.381
7.18 Quantillinien eines Risikoreserveprozesses.382
7.19 Histogramme und Q-Q-Plots der nichtparametrischen Bootstrap-Schätzer . 387
7.20 Histogramme und Q-Q-Plot der parametrischen Bootstrap-Schätzer .390
B.l Zur Definition der Quantilfunktion.403 |
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