Modellbilden - eine zentrale Leitidee der Mathematik:
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Aachen
Shaker
2008
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EINLEITUNG 7
1. WOZU MODELLBILDUNG? 10
1.1. Modellbildung in der Schule 11
1.2. Arten der Modellbildung 13
1.2.1. Modellbildung als
fondamentale
Idee 13
1.2.2. Modellbildimg nach Blum 15
1.2.3. Modellbildung nach Tietze,
Klika,
Wolpers
18
1.2.4. Modellbildung nach Weigand, Weller 21
1.2.5. Vergleich der verschiedenen Methoden 25
1.3. Verbesserung von Modellen 28
1.4. Lösen unterschiedlicher Aufgaben durch dasselbe Modell 29
1.5. Deskriptive und Normative Modelle 30
1.6. Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Modellbildung 30
1.7. Modellbildung bei Anwendungsaufgaben 33
1.7.1. Lösungssuche 34
1.7.2. Verschiedenen Alltagssituationen: 35
1.7.2.1. Das Auftanken eines Fahrzeuges: 36
1.7.2.2. Hubkolbenmotor: 37
2. MODELLBILDEN BEI EXTREMWERTAUFGABEN 40
2.1. Die Extremwertaufgabe 40
2.2. Modellbilden durch funktionale Beschreibung 41
2.3. Modellbildung bei Extremwertaufgaben 42
2.4. Modellbildung anhand ausgesuchter Beispiele 43
2.4.1. Das Schwimmbojenbeispiel 43
2.4.2. Interpretation von Lösungen 46
2.4.3. Die Mehrdeutigkeit einer Angabe - keine Lösung im Sinne der Fragestellung 47
2.5. Didaktische Anmerkungen 50
2.6. Berechnungen der Beispiele mit dem CAS
Derive
51
2.6.1. Das Schwimmbojenbeispiel 51
2.6.2. Das Querfeldeinrennen 54
54
2.6.3. Das Paraboloidbeispiel 56
2.7. Modellieren einer Anwendungsaufgabe aus dem Alltag 59
3. MODELLBILDEN IM FÄCHERÜBERGREIFENDEN
UNTERRICHT 64
3.1. Was ist fächerübergreifender Unterricht? 64
3.2. Voraussetzungen für einen fächerübergreifenden Unterricht 66
3.3. Modellbilden im facherübergreifenden Unterricht 67
3.4. Mathematik und Musik fächerübergreifend 72
3.5. Unterrichtsbeispiele 73
3.5.1. Stochastische Musik 78
3.5.2. Das Weber-Fechner-Gesetz: 79
3.6. Erfahrungen im Unterricht 82
4. MODELLBILDEN UND STETIGKEIT 84
4.1. Prolog 84
4.2. Zugänge zum Stetigkeitsbegriff 85
4.2.1. Ein physikalisches Beispiel - Federpendel 85
4.2.2. Toleranzgrenzen 87
4.2.3. Ein weiteres physikalisches Pendel - Fadenpendel 90
4.3. Durchzeichenbarkeit 91
4.4. Schwierigkeiten und andere Zugänge zum Stetigkeitsbegriff 94
4.5. Ausblick 96
4.6. Epilog 97
5. MODELLE FÜR FUNKTIONEN - MODELLBILDEN MITTELS
DER FUNDAMENTALEN IDEE DER APPROXIMATION ODER:
WO BLEIBT DAS MODELLBILDEN BEI
INNERMATHEMATISCHEN ANWENDUNGEN? 98
5.1. Prolog 98
5.2. Von der geometrischen Reihe zur Taylorreihe 101
5.3. Taylorreihen 105
5.4. Beispiele für die Taylorreihe 107
5.4.1. Trigonometrische Funktionen 107
5.4.1.1. Klassische Herleitung der MacLaurin-Reihe für
cos(x)
und sin(x) an der lokalen
Stellex = 0
107
5.4.1.2. Herleitung der MacLaurin-Reihe
fur
tan(x) mit Hilfe eines graphischen Ansatzes: 111
5.4.2. Exponentialreihe 115
5.4.3. Binomialreihe 116
5.5. Epilog 119
6 MODELLBILDEN MIT HILFE VON DIFFERENZEN - UND
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 120
6.1. Prolog 120
6.2. Differenzengleichung in der Schule 121
6.3. Differenzengleichungen 124
6.3.1. Allgemeines 127
6.3.2. Charakterisierung durch Typisierung: 128
6.3.2.1. Typ y„ =
a
yn_, +
b
131
6.3.2.2. Typ y„ =
a y„.i
+ bn 139
6.3.2.3. Typy^a^^+bn 139
6.3.3. Nicht-lineare Differenzengleichung 1. Ordnung 140
6.3.4. Systeme von linearen Differenzengleichungen 1. Ordnung 142
6.3.5. Homogene lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung: 144
6.3.6. Modellbilden mittels Differenzengleichungen 146
6.3.7. Programme für die Modellierung von Differenzengleichungen 151
6.3.7.1. Tabellenkalkulation 151
6.3.7.2. Simulationssoftware 152
6.3.7.3. CAS 152
6.3.8. Numerische Lösung 153
6.3.8.1. Euler-Cauchy-Verfahren 153
6.3.8.2. Runge-Kutta-Verfahren 155
6.3.8.3. Wann sollte man welches der beiden Verfahren anwenden 158
6.3.9. Die Verfahren im Unterricht 159
6.4. Differenzengleichungen - Beispiele 160
6.4.1. Beschreibung dynamischer Systeme 162
6.4.1.1. Modell 1 : „Das
exponentielle
Modell 164
6.4.1.2. Modell 2: „Das begrenzte Modell 169
6.4.1.3. Modell 3: Das logistische Modell 174
6.4.1.4. Modell 4: Projektbeispiel für einen Modellbildungsprozess 182
6.4.2. Räuber-Beute-Modell - Vergleich EXCEL
vs.
DYNASYS 1
89
6.5. Modellbeispiele aus der Literatur
vs.
Selbstmodellierte Aufgabenstellungen 198
6.6. Ausblick 200
6.7. Kritische Auseinandersetzung 203
6.8. Warum soll man Differenzengleichungen im Mathematikunterricht behandeln? 204
6.9. Differentialgleichungen 206
6.9.1. Differentialgleichungen 1. Ordnung 206
6.9.2. Richtungsfelder 218
6.9.3. Separierbare Differentialgleichungen 219
6.9.4. Unterschiede von linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen 223
6.9.5. Homogene Differentialgleichungen 224
6.9.6. Differentialgleichungen 2.Ordnung: 225
6.9.6.1. Allgemeines 225
6.9.6.2. Verschiedene Modelle zu Differentialgleichungen mithilfe von dynamischen Systemen
227
6.9.6.2.1. Fadenpendel ohne Luft - mathematischer Teil: 228
6.9.6.2.2. Fadenpendel ohne Luft-mit DYNASYS: 230
6.9.6.2.3. Fadenpendel mit Luft - mathematischer Teil 232
6.9.6.2.4. Fadenpendel mit Luft-mit DYNASYS 235
6.9.6.3. Das Federpendel: 237
6.9.6.3.1. Federpendel ungedämpft: 237
6.9.6.3.2. Federpendel gedämpft: 238
6.9.7. Warum Differentialgleichungen in der Schule? 239
7. LITERATURVERZEICHNIS 242
8. ABBILDUNGSVERZEICHNIS 253
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