Einführung in die komplexe Analysis: Elemente der Funktionentheorie
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Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2010
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Bachelorkurs Mathematik |
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| adam_text | Titel: Einführung in die Komplexe Analysis
Autor: Fischer, Wolfgang
Jahr: 2010
Inhaltsverzeichnis
I. Analysis in der komplexen Ebene 1
1. DerR .................................... 2
2. Die komplexe Ebene............................. 8
3. Funktionen.................................. 12
4. Holomorphe Funktionen........................... 15
5. Reelle und komplexe Differenzierbarkeit.................. 19
6. Gleichmäßige Konvergenz und Potenzreihen................ 25
7. Elementare Punktionen........................... 31
8. Integration.................................. 37
9. Mehrere komplexe Variable......................... 44
II. Die Fundamentalsätze der komplexen Analysis 49
1. Stammfunktionen.............................. 49
2. Der Cauchysche Integralsatz........................ 53
3. Die Cauchysche Integralformel....................... 57
4. Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen............ 61
5. Konvergenzsätze, Maximumprinzip und Gebietstreue .......... 68
6. Isolierte Singularitäten, meromorphe Funktionen............. 73
7. Holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher ............ 79
III. Funktionen in der Ebene und auf der Sphäre 84
1. Die Riemannsche Zahlensphäre....................... 84
2. Polynome und rationale Funktionen.................... 89
3. Ganze Funktionen.............................. 96
4. Möbius-Transformationen.......................... 98
5. Logarithmen, Potenzen und Wurzeln.................... 103
6. Partialbruchentwicklungen......................... 111
IV. Ausbau der Theorie 119
1. Der allgemeine Cauchysche Integralsatz.................. 120
2. Laurenttrennung und Laurententwicklung................. 130
3. Residuen................................... 134
4. Residuenkalkül................................ 138
5. Abzählen von Nullstellen.......................... 148
6. Der Weierstrafische Vorbereitungssatz................... 153
7. Elliptische Funktionen ........................... 159
8. Holomorphe Automorphismen....................... 170
9. Die hyperbolische Metrik.......................... 174
10. Hyperbolische Geometrie.......................... 181
11. Der Riemannsche Abbildungssatz..................... 194
Lösungen und Hinweise zu einigen Aufgaben 200
Literaturverzeichnis 205
Wichtige Bezeichnungen 207
Namen- und Sachverzeichnis 208
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