Einführung in die Zahlentheorie und Algebra:
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2009
|
| Ausgabe: | Nachdr. |
| Schriftenreihe: | Vieweg-Studium
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | X, 223 S. |
| ISBN: | 9783528072865 |
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Inhalt
1 Ganze
Zablen,
Teilbarkeit 1
1.1 Natürliche und ganze Zahlen ...................... 1
1.2 Größter gemeinsamer Teiler, euklidischer Algorithmus........ 3
1.3 Primfaktorzerlegung........................... 6
1.4 Primzahlen................................ 8
1.5 Kongruenzen und Reste......................... 14
1.6 Aufgaben................................. 20
2 Gruppen 23
2.1 Definition, Beispiele, elementare Eigenschaften ............ 23
2.2 Untergruppen und Homomorphismen.................. 29
2.3 Index und Ordnung............................ 34
2.4 Normalteiler und Faktorgruppen.................... 36
2.5 Isomorphiesätze.............................. 37
2.6 Operation von Gruppen auf Mengen.................. 40
2.7 Sylowuntergruppen............................ 43
2.8 Produkte und universelle Eigenschaften ................ 48
2.9 Endliche abelsche Gruppen....................... 51
2.10 Aufgaben................................. 54
3 Ringe 57
3.1 Grundbegriffe............................... 57
3.2 Ideale und Restklassenringe....................... 62
3.3 Polynome................................. 67
3.4 Euklidische und faktorielle Ringe.................... 71
3.5 Diophantische Probleme für Zahlen und Polynome.......... 79
3.6 Aufgaben................................. 84
4 Arithmetik
modulo n
86
4.1 Multiplikative zahlentheoretische Funktionen............. 86
4.2 Die Struktur der
primen
Restklassengruppe.............. 91
χ
_____________________________________________________________Inhalt
4.3 Quadratische Reste............................ 97
4.4 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.................. 100
4.5 Das Jacobisymbol ............................ 101
4.6 Verzweigung von Primzahlen ...................... 105
4.7 Aufgaben................................. 109
5 Primzahltests und Primfaktorzerlegung 110
5.1 Das RSA-Schema............................. 110
5.2 Der Kleine Fermatsche Satz als Primzahltest ............. 112
5.3 Riemannsche Vermutung und
probabilistische
Primzahltests..... 117
5.4 Faktorisierungsverfahren......................... 124
5.5 Ein Ausblick auf elliptische Kurven................... 128
5.6 Aufgaben................................. 134
6 Körper und Körpererweiterungen , 135
6.1 Grundbegriffe............................... 135
6.2 Algebraische Körpererweiterungen................
ί
. · 138
6.3 Der algebraische Abschluß........................ 144
6.4 Normalität und Separabilität...................... 147
6.5 Transzendente Körpererweiterungen.................. 151
6.6 Aufgaben................................. 155
7 Galoistheorie 157
7.1 Der Hauptsatz der Galoistheorie.................... 157
7.2 Kreisteilungskörper............................ 161
7.3 Endliche Körper ............................. 168
7.4 Quadratische Gaußsche Summen.................... 170
7.5 Nochmals das quadratische Reziprozitätsgesetz............ 175
7.6 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ................. 177
7.7 KüMMER-Theorie. Auflösung algebraischer Gleichungen....... 180
7.8 Einfache Gruppen ............................ 190
7.9 Einfache lineare Gruppen........................ 194
7.10 Arithmetik der Werte der
е
-Funktion ................. 201
7.11 Aufgaben................................. 209
Literaturverzeichnis 213
Index 218
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