Mathematik für das Bachelorstudium: 1 Grundlagen, lineare Algebra und Analysis
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg
Spektrum, Akad. Verl.
2009
|
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I
Grundlagen 1
1 Elementare Logik und Mengenlehre 3
Einblick.................................. 3
Aussagen, Junktoren und Wahrheitstafeln............... 3
Sätze der Aussagenlogik......................... 5
Prädikate und
Quantoren
........................ 7
Mengen.................................. 9
Zahlen und Intervalle........................... 11
Eigenschaften und Verknüpfungen von Mengen............ 13
Ausblick.................................. 16
Selbsttest................................. 17
2 Definition, Satz, Beweis und mehr 19
Einblick.................................. 19
Grundlegendste Elemente bei der Formulierung von Mathematik . . 19
Formen des Beweisens.......................... 20
Direkte und indirekte Beweise................... 20
Konstruktive und nicht konstruktive Beweise.......... 23
Der Ringschluss........................... 24
Das Gegenbeispiel ......................... 25
Vollständige Induktion....................... 26
Ausblick.................................. 27
Selbsttest................................. 29
3 Abbildungen 31
Einblick.................................. 31
Grundlegendes zu Abbildungen..................... 31
Injektivität, Surjektivität, Bijektivität................. 32
Die Komposition von Abbildungen................... 35
Ausblick.................................. 37
Selbsttest................................. 39
4 Körper und komplexe Zahlen 41
Einblick.................................. 41
χ
Inhaltsverzeichnis
Körper................................... 41
Die komplexen Zahlen.......................... 44
Ausblick.................................. 49
Selbsttest................................. 50
Aufgaben zu den mathematischen Grundlagen 51
II
Lineare Algebra 53
5 Vektorräume 55
Einblick.................................. 55
Grundlegendes zu Vektorräumen.................... 55
Ausblick.................................. 62
Selbsttest................................. 64
6 Basen und Untervektorräume 65
Einblick.................................. 65
Spann und Erzeugendensystem..................... 65
Lineare Unabhängigkeit, Basis ..................... 67
Eindeutigkeit der Basisdarstellung, Untervektorräume........ 70
Ausblick.................................. 72
Selbsttest................................. 73
7 Lineare Abbildungen und Dimensionssätze 75
Einblick.................................. 75
Definition und Beispiele linearer Abbildungen............. 75
Kern und Bild linearer Abbildungen.................. 77
Dimensionssätze............................. 79
Ausblick.................................. 80
Selbsttest................................. 82
8 Matrizen 83
Einblick.................................. 83
Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung........... 84
Der Rang einer Matrix.......................... 85
Das Matrizenprodukt .......................... 87
Besondere Matrizen................. 89
Ausblick.................................. 90
Selbsttest.......................... 91
9 Lineare Gleichungssysteme 93
Einblick........................... 93
Inhaltsverzeichnis
XI
Grundlegendes zu linearen Gleichungssystemen
und Gauß-Algorithmus....................... 93
Struktur der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems .... 96
Ausblick.................................. 100
Selbsttest................................. 102
10 Die Determinante 103
Einblick.................................. 103
Der Laplace sche Entwicklungssatz................... 103
Berechnung von Determinanten in einfachen Fällen.......... 106
Eigenschaften der Determinanten.................... 108
Ausblick.................................. 110
Selbsttest................................. 111
11 Eigenwerte und Eigenvektoren 113
Einblick.................................. 113
Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum ................ 113
Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren............ 116
Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten .... 118
Ausblick.................................. 121
Selbsttest................................. 123
12 Koordinatenabbildung und Basiswechsel 125
Einblick.................................. 125
Die Koordinatenabbildung........................ 125
Darstellende Matrizen und Basiswechsel................ 126
Ausblick.................................. 130
Selbsttest................................. 132
13 Diagonalisierung 133
Einblick.................................. 133
Diagonalisierbare Matrizen ....................... 133
Weitere Kriterien für Diagonalisierbarkeit............... 136
Ausblick.................................. 139
Selbsttest................................. 140
14 Normierte, euklidische und unitäre Vektorräume 141
Einblick.................................. 141
Normierte Vektorräume......................... 141
Skalarprodukte.............................. 144
Das Gram-Schmidt sche Orthonormalisierungsverfahren....... 149
Orthogonale Abbildungen........................ I53
Ausblick.................................. 157
XJX
Inhaltsverzeichnis
Selbsttest................................. 159
Aufgaben zur linearen Algebra 161
III Analysis
163
15 Grundzüge der
Analysis
165
Einblick.................................. 165
Folgen und Konvergenz ......................... 166
Rechenregeln für konvergente Folgen............... 169
Konvergenzkriterien für Folgen..................... 172
Das Monotoniekriterium...................... 172
Das Häufungspunktprinzip und das Cauchy-Kriterium..... 174
Ausblick.................................. 178
Selbsttest................................. 180
16 Stetigkeit 181
Einblick.................................. 181
Grenzwerte von Funktionen....................... 181
Definition und Beispiele stetiger Funktionen.............. 185
Ausblick.................................. 190
Selbsttest................................. 191
17 Der Zwischenwertsatz und
Extrema
stetiger Funktionen 193
Einblick.................................. 193
Der Zwischenwertsatz.......................... 193
Bestimmte Divergenz........................... 195
Maximum/Minimum und Supremum/Infimum ............ 196
Maximum und Minimum stetiger Funktionen............. 197
Ausblick.................................. 198
Selbsttest................................. 199
18 Differenzierbarkeit 201
Einblick.................................. 201
Grundlegendes zum Differenzieren................... 201
Differenzierbare und stetige Funktionen................ 204
Rechenregeln für Ableitungen...................... 204
Eigenschaften differenzierbarer Funktionen............... 207
Der Mittelwertsatz......................... 208
Monotone Funktionen....................... 210
Die Regel von L Hospital ..................... 212
Ausblick.................................. 213
Inhaltsverzeichnis XIII
Selbsttest................................. 215
19 Das Taylor-Polynom und lokale
Extrema
217
Einblick.................................. 217
Höhere Ableitungen........................... 218
Das Taylor-Polynom........................... 220
Lokale
Extrema
differenzierbarer Punktionen............. 224
Ausblick.................................. 226
Selbsttest................................. 227
20 Unendliche Reihen 229
Einblick.................................. 229
Definition und Beispiele von Reihen.................. 229
Die geometrische Reihe ...................... 231
Konvergenzkriterien für Reihen..................... 234
Ausblick.................................. 240
Selbsttest................................. 241
21 Potenzreihen 243
Einblick.................................. 243
Grundlegendes zu Potenzreihen..................... 243
Der Konvergenzradius einer Potenzreihe................ 245
Die Taylor-Reihe............................. 249
Ausblick.................................. 253
Selbsttest................................. 254
22 Das Riemann sche Integral 255
Einblick.................................. 255
Riemann sche Summen.......................... 256
Rechenregeln der Integration...................... 262
Der Hauptsatz der
Differenziai-
und Integralrechnung ........ 263
Rechentechniken der Integration.................... 265
Die Substitutionsregel....................... 265
Partielle Integration........................ 267
Ausblick.................................. 274
Selbsttest................................. 276
23 Uneigentliche Integrale 277
Einblick.................................. 277
Kritische Stellen des Integrationsintervalls............... 278
Unendliche Integrationsgrenzen..................... 280
Das Integralvergleichskriterium für Reihen............... 281
Ausblick.................................. 282
XIV Inhaltsverzeichnis
Selbsttest................................. 284
Aufgaben zur
Analysis
285
Lösungen der Selbsttests 287
Lösungen der Aufgaben 291
Literatur und Ausklang 299
Index 302
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