Mathematik leicht gemacht:
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Frankfurt am Main
Deutsch
2009
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| Ausgabe: | 7., erw. Aufl. |
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| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXII, 846 S. Ill., graph. Darst. |
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Titel: Mathematik leicht gemacht
Autor: Kreul, Hans
Jahr: 2009
Inhaltsverzeichnis
Hinweise zur Benutzung des Buches. 1
1 Zur Technik des Zahlenrechnens. 11
1.1 Der Zahlbegriff. 11
1.1.1 Die natiirlichen Zahlen . 11
1.1.2 Das dekadische Positionssystem. 13
1.1.3 Das duale Positionssystem. 15
1.1.4 Das romische Zahlensystem. 20
1.1.5 Konstante und Variable. 22
1.2 Das Rechnen mit Zahlen. 25
1.2.1 Bezeichnungen. 25
1.2.2 Die Teilbarkeit von Zahlen. 26
1.2.2.1 Teiler einer Zahl. 26
1.2.2.2 Teilbarkeitsregeln. 27
1.2.2.3 Primzahlen. 30
1.2.2.4 Der groBte gemeinsame Teiler. 32
1.2.2.5 Das kleinste gemeinsame Vielfache. 35
1.2.3 Gewohnliche Briiche. 36
1.2.3.1 Begriffserklarungen. 36
1.2.3.2 Erweitern und Kiirzen von Briichen. 38
1.2.3.3 Addition und Subtraktion gewohnlicher Briiche. 39
1.2.3.4 Multiplikation von Bruchen. 41
1.2.3.5 Der Kehrwert eines Bruches. 42
1.2.3.6 Division von Bruchen. 44
1.2.3.7 Doppelbriiche. 44
1.2.3.8 Zusammenfassung Bruchrechnung. 46
1.2.4 Dezimalbriiche. 47
1.2.4.1 Begriffserklarungen. 47
1.2.4.2 Addition und Subtraktion von Dezimalbriichen. 49
1.2.4.3 Multiplikation von Dezimalbriichen. 49
1.2.4.4 Division von Dezimalbriichen. 50
1.2.4.5 Umwandlung von Bruchen. 52
1.2.4.6 Das Runden von Dezimalbriichen. 56
1.2.4.7 Bruch oder Dezimalzahl?. 58
1.2.4.8 GroBenvergleich von Bruchen. 59
1.3 Rechenhilfsmittel. 72
1.3.1 Taschenrechner . 72
1.3.1.1 Grundrechenarten. 73
1.3.1.2 Eingeben, Editieren, Loschen. 75
1.3.1.3 Werte abspeichern. 77
1.3.1.4 Terme berechnen. 79
13.1.5 Funktionentasten. 83
13.1.6 Verschiedene Arbeitsmodi. 86
13.1.7 Kaufkriterien fur einen Taschenrechner. 87
xjj Inhaltsverzeichnis
1.3.2 Tabellenkalkulation. 87
1.3.2.1 Kurze Einfuhrung in Excel. 88
1.3.2.2 Mathematik mit Excel. 89
1.3.3 Computeralgebrasystem. 90
1.3.3.1 Anwendungen fur Derive. 90
1.3.4 Funktionenplotter. 91
2 Arithmetik. 95
2.1 Die Rolle der Sprache in der Mathematik. 95
2.1.1 Allgemeine Bemerkungen. 95
2.1.2 Aussagen und Aussageformen. 95
2.1.3 Verknupfung von Aussagen. 97
2.1.3.1 Einfiihrendes Beispiel. 97
2.1.3.2 Die Konjunktion. 98
2.1.3.3 Die Disjunktion . 99
2.1.3.4 Die Implikation .101
2.1.3.5 Die Aquivalenz.103
2.2 Grundbegriffe der Mengenlehre .106
2.2.1 DerBegriff derMenge.106
2.2.2 Zahlenmengen.108
2.2.3 Die Beschreibung von Mengen.109
2.2.3.1 Mengenschreibweise.110
2.2.3.2 Intervallschreibweise.113
2.2.4 Mengenrelationen.114
2.2.4.1 Teilmengen.114
2.2.4.2 Gleichheit zweier Mengen.115
2.2.5 Mengenoperationen.116
2.2.5.1 Vereinigung von Mengen.116
2.2.5.2 Durchschnitt von Mengen .118
2.2.5.3 Differenz zweier Mengen.121
2.3 Das Rechnen mit Variablen.125
2.3.1 Die vier Grundrechenoperationen.125
2.3.1.1 Einfache Rechenoperationen mit Variablen.125
2.3.1.2 Die negativen Zahlen.129
2.3.1.3 Addition und Subtraktion.132
2.3.1.4 Multiplikation .136
2.3.1.5 Division .139
2.3.2 Das Rechnen mit algebraischen Summen.141
2.3.2.1 Uberdie Bedeutung der Klammern.141
2.3.2.2 Setzen und Auflosen additiver und subtraktiver Klammern.141
2.3.2.3 Multiplikation von Klammerausdrucken.144
2.3.2.4 Ausklammern gemeinsamer Faktoren.147
2.3.2.5 Binomische Formeln.150
2.3.2.6 Die Quadratische Erganzung.153
2.3.3 Bruchrechnung.155
2.3.3.1 Erweitern und Kiirzen von Bruchen.156
2.3.3.2 Addition und Subtraktion von Bruchen.157
2.3.3.3 Multiplikation und Division von Bruchen.159
2.3.3.4 Doppelbriiche.161
Inhaltsverzeichnis xiii
2.4 Potenzrechnung.179
2.4.1 Begriffserklarungen .179
2.4.2 Potenzgesetze.183
2.4.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen.183
2.4.2.2 Multiplikation von Potenzen.183
2.4.2.3 Division von Potenzen.184
2.4.2.4 Potenzieren einer Potenz.186
2.4.2.5 Klammergesetze.187
2.4.3 Erste Erweiterung des Potenzbegriffs.189
2.4.4 Potenzen von Binomen.193
2.4.5 Polynomdivision.196
2.4.6 Ausklammern fur Fortgeschrittene.201
2.4.7 Anwendungen der Potenzen.203
2.4.7.1 Schreibweise rationaler Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen.203
2.4.7.2 Schreibweise von MaBeinheiten .204
2.4.8 Ubersicht der Potenzgesetze.206
2.5 Wurzelrechnung.215
2.5.1 Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens.215
2.5.1.1 Der Wurzelbegriff.215
2.5.1.2 Definitionsbereich und einschrankende Bedingungen.219
2.5.1.3 Die Berechnung von Wurzelwerten.221
2.5.2 Die reellen Zahlen .222
2.5.3 Zweite Erweiterung des Potenzbegriffs .225
2.5.4 Wurzelgesetze.227
2.5.4.1 Addition und Subtraktion von Wurzeln.227
2.5.4.2 Multiplikation von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten.228
2.5.4.3 Teilradizieren.229
2.5.4.4 Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten.231
2.5.4.5 Rationalmachen des Nenners .232
2.5.4.6 Radizieren von Potenzen und Wurzeln.235
2.5.4.7 Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten.236
2.5.4.8 Ruckblick auf die Potenz- und die Wurzelgesetze.237
2.6 Logarithmenrechnung.245
2.6.1 Loganthmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens.245
2.6.1.1 Der I^garithmusbegriff.245
2.6.1.2 Logarithmengesetze .248
2.6.2 Spezielle Logarithmensysterne.251
2.6.2.1 Die dekadischen Logarithmen.251
2.6.2.2 Die naturlichen Logarithmen .253
2.6.2.3 Die dualen Logarithmen.254
2.6.2.4 Weitere Logarithmensysterne.254
2.6.3 Zusammenfassung .256
3 Algebra.263
3.1 Lineare Gleichungen und Ungleichungen.263
3.1.1 Vorbemerkungen und Begriffserklarungen.263
3.1.1.1 Definitionsbereich.263
3.1.1.2 Gleichungen.266
3.1.1.3 Ungleichungen.269
xiv Inhaltsverzeichnis
3.1.2 Umformung von Gleichungen.270
3.1.2.1 Aquivalente Umformung von Gleichungen.270
3.1.2.2 Nichtaquivalente Umformung von Gleichungen.272
3.1.2.3 Elektronische Hilfsmittel beim Losen von Gleichungen .275
3.1.3 Losung linearer Gleichungen mit einer Variablen.277
3.1.3.1 Begriffserklarungen . . :.277
3.1.3.2 Einfache lineare Gleichungen.278
3.1.3.3 Nichtlineare Gleichungen auf lineare Gleichungen zuruckfuhren . . 280
3.1.3.4 Gleichungen mit Parametern.281
3.1.3.5 Gleichungen mit Klammerausdrucken.283
3.1.3.6 Bruchgleichungen.285
3.1.3.7 Wurzelgleichungen.288
3.1.3.8 Gleichungen mit eingeschranktem Definitionsbereich.291
3.1.3.9 Das Umstellen von Formeln.291
3.1.3.10 Anwendungen .293
3.1.3.11 Schlussbemerkungen.299
3.1.4 Das Rechnen mit Ungleichungen.300
3.1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit Betragen.305
3.2 Proportionen.314
3.2.1 Begriffserklarungen .314
3.2.2 Rechengesetze fur Proportionen.316
3.2.3 Fortlaufende Proportionen.318
3.2.4 Direkte Proportionalitat.319
3.2.5 Indirekte Proportionalitat.320
3.2.6 Proportionen als Gleichungen.321
3.3 Prozentrechnung.325
3.3.1 Grundbegriffe .325
3.3.2 Berechnung des Prozentsatzes .326
3.3.3 Berechnung des Prozentwertes.327
3.3.4 Berechnung des Grundwertes.328
3.3.5 Verminderter Oder vermehrter Grundwert.328
3.3.6 Promillerechnung.333
3.3.7 Zinsrechnung.334
3.3.8 Zinseszinsrechnung.336
3.4 Lineare Gleichungssysteme.342
3.4.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen.342
3.4.2 Losungsverfahren fur LGS mit zwei Variablen .344
3.4.2.1 Das Einsetzungsverfahren .344
3.4.2.2 Das Gleichsetzungsverfahren.345
3.4.2.3 Das Additionsverfahren.346
3.4.2.4 Bemerkungen zu den drei Losungsverfahren.346
3.4.2.5 Die Losbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen . . . 347
3.4.2.6 Schwierigere Gleichungssysteme.350
3.4.3 LGS mit drei und mehr Variablen.354
3.4.3.1 Begriffserklarungen.354
3.4.3.2 Losungsverfahren fur LGS mit drei und mehr Variablen.355
3.4.4 LGS mit elektronischen Hilfsmitteln losen.363
3.4.4.1 Taschenrechner.363
3.4.4.2 CAS.363
Inhaltsverzeichnis xv
3.5 Quadratische Gleichungen.371
3.5.1 Begriffserklarungen .371
3.5.2 Spezielle Formen der quadratischen Gleichung.374
3.5.2.1 Die reinquadratische Gleichung.374
3.5.2.2 Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied.377
3.5.3 Die Normalform der quadratischen Gleichung.378
3.5.3.1 Die Losungsformel fiir quadratische Gleichungen.378
3.5.3.2 Die Losung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung . . . 383
3.5.4 Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Losungen einer quadrati-
schen Gleichung.386
3.5.4.1 Die Diskriminante.386
3.5.4.2 Der Wurzelsatz von Vieta.387
3.5.4.3 Die Produktform quadratischer Terme - Faktorisieren fur Profis . . . 388
3.5.5 Quadratische oder hohere Ungleichungen.390
3.5.6 Wurzelgleichungen, Teil 2.393
3.5.7 Quadratische Gleichungssysteme .394
3.5.8 Biquadratische Gleichungen.395
3.6 Polynomgleichungen.407
3.6.1 Gleichungen ohne Absolutglied .410
3.6.2 Kubische Gleichungen.411
3.6.2.1 Kubische Gleichungen mit Absolutglied.411
3.6.2.2 Methode des gezielten Ratens.413
3.6.2.3 Der Einfluss des Leitkoeffizienten.416
3.6.3 Hohere Polynomgleichungen.418
3.6.4 Ubersicht.420
4 Funktionen.423
4.1 Begriffsbestimmungen.423
4.1.1 DerBegriffder Abbildung.423
4.1.2 Der Begriff der Funktion.425
4.2 Arten der Darstellung von Funktionen.428
4.2.1 Darstellung einer Funktion durch die Angabe der geordneten Paare.428
4.2.2 Darstellung einer Funktion durch eine Wertetabelle.429
4.2.3 Darstellung einer Funktion durch Zuordnungsgraphen.429
4.2.4 Darstellung einer Funktion durch wortliche Formulierung der Zuordnungs-
vorschrift.430
4.2.5 Darstellung einer Funktion durch mathematische Relationen.431
4.2.6 Darstellung einer Funktion durch eine Kurve .432
4.2.6.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem.432
4.2.6.2 Darstellung von Funktionen in Form von Graphen.435
4.2.6.3 Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vornherein als
Kurven gegeben sind.437
4.2.6.4 Zusammenhange zwischen der Gleichung einer Funktion und der
zugehorigen Kurve.441
4.2.6.5 Schnittpunkt zweier Kurven.443
4.3 Wichtige Eigenschaften von Funktionen.446
4.3.1 Monotonie.446
4.3.2 Stetigkeit.447
4.3.3 Gerade Funktionen.449
xvj Inhaltsverzeichnis
4.3.4 Ungerade Funktionen.450
4.3.5 Schnittpunkte mit den Achsen.451
4.4 Lineare Funktionen.453
4.4.1 Vorbemerkungen .453
4.4.2 Begriffserklarungen .453
4.4.3 Die Funktion y = mx.455
4.4.4 Die Funktion y = mx + b.457
4.4.5 Grafische Darstellung der linearen Funktion.460
4.4.6 Grafische Losung linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme mit
zwei Variablen.461
4.5 Quadratische Funktionen.466
4.5.1 Begriffserklarungen .466
4.5.2 Die quadratische Funktion y = x2.466
4.5.3 Die quadratische Funktion y = x2 + q.468
4.5.4 Die quadratische Funktion y = x2 + px + q.468
4.5.5 Die allgemeine quadratische Funktion y = ax2 +bx + c.472
4.5.6 Modellieren quadratischer Funktionen.475
4.5.7 Parabel und Gerade.477
4.5.8 Grafische Losung quadratischer Gleichungen.479
4.6 Potenzfunktionen.484
4.6.1 y = x" mit ganzzahligem positivem Exponenten.484
4.6.2 Die Potenzfunktion y = jc°.486
4.6.3 y = x~n mit ganzzahligem negativem Exponenten.487
4.6.4 y ? x? mit gebrochenem Wert des Exponenten a.489
4.7 Wichtige transzendente Funktionen.490
4.7.1 Die Exponentialfunktionen.490
4.7.2 Die logarithmischen Funktionen.492
5 Planimetrie .495
5.1 Grundbegriffe der Geometrie.495
5.2 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln.498
5.2.1 Parallele Geraden.498
5.2.2 Schnitt zweier Geraden.498
5.2.3 Winkel an Parallelen.499
5.3 Symmetric.500
5.3.1 Axiale Symmetric.500
5.3.2 Zentrale Symmetric.501
5.3.3 Geometrische Grundkonstruktionen.502
5.3.4 Punktmengen.504
5.4 Das Dreieck.506
5.4.1 Allgemeines Dreieck. 506
5.4.2 Spezielle Dreiecke.508
5.4.3 Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte.509
5.5 Das Viereck.512
5.5.1 Allgemeines Viereck.512
5.5.2 Spezielle Vierecke .513
5.6 Das Vieleck.516
5.6.1 UnregelmaBiges Vieleck.516
5.6.2 RegelmaBige Vielecke.517
Inhaltsverzeichnis xvii
5.7 Kongruenz.517
5.7.1 Was ist Kongruenz?.517
5.7.2 Kongruenz von Dreiecken.518
5.8 Ahnlichkeit.521
5.8.1 Ahnlichkeit im Allgemeinen.521
5.8.2 Ahnlichkeit von Dreiecken.521
5.8.3 Strahlensatze.523
5.9 Das rechtwinklige Dreieck.529
5.10 Strecken und Winkel am Kreis.538
5.10.1 Kreis und Gerade.538
5.10.2 Winkel am Kreis.541
5.10.3 Ahnlichkeit am Kreis .543
5.10.4 Der Goldene Schnitt.545
5.11 Berechnung von Flachen und Umfangen .549
5.11.1 Vierecke.549
5.11.2 Dreiecke.551
5.11.3 UnregelmaBige Vielecke.552
5.11.4 RegelmaBige Vielecke.552
5.11.5 Kreis und Kreisteile .554
5.11.6 Umfang und Flacheninhalt ahnlicher Flachen.560
6 Goniometrie.579
6.1 Das BogenmaB.579
6.2 Winkelfunktionen.581
6.2.1 Definition der Winkelfunktionen.581
6.2.2 Kurvenbilder der Winkelfunktionen.584
6.2.3 Die Zahlenwerte der Winkelfunktionen .588
6.2.4 Die Umkehrung der Winkelfunktionen.591
6.2.5 Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen .595
6.3 Trigonometrie .598
6.3.1 Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck.599
6.3.2 Satze iiber beliebige Dreiecke.605
6.3.2.1 Der Sinussatz.605
6.3.2.2 Die Flachenformel fur Dreiecke .607
6.3.2.3 Der Kosinussatz.607
6.3.3 Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke .608
6.4 Additionstheoreme.616
6.5 Goniometrische Gleichungen.621
7 Stereometrie.627
7.1 Einteilung der Korper.627
7.1.1 Ebenflachner.627
7.1.2 Krummflachner .630
7.2 Darstellung von Korpern.634
7.2.1 Mehrtafelprojektion .634
7.2.2 Axonometrische Projektion.635
7.2.2.1 Isometrische Projektion.635
7.2.2.2 Dimetrische Projektion .637
xviii Inhaltsverzeichnis
7.3 Korperberechnung .638
7.3.1 Berechnungsgrundlagen.638
7.3.2 Ebenflachner.638
7.3.2.1 QuaderundWurfel.638
7.3.2.2 Gerades Prisma.643
7.3.2.3 Satz des Cavalieri.647
7.3.2.4 Pyramide.649
7.3.2.5 Pyramidenstumpf.653
7.3.3 Krummflachner.657
7.3.3.1 Kreiszylinder.657
7.3.3.2 Kegel.666
7.3.3.3 Kegelstumpf.670
7.3.3.4 Kugel und Kugelteile.676
7.3.4 Die GULDlN'schen Regeln.694
Anhang - Mathematische Zeichen.703
Anhang - Mathematische Begriffe.709
Losungen.741
Sachwortverzeichnis.837 |
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