Theoretische Informatik: mit 22 Tabellen und 78 Aufgaben
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München
Hanser
2009
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 11
1.1 Was ist theoretische Informatik? .................................... 11
1.2 Zurück zu den Anfängen ........................................ 14
1.2.1 Die Mathematik in der Krise ................................. 14
1.2.2 Die ersten Rechenmaschinen................................. 22
1.2.3 Der Computer wird erwachsen ................................ 24
1.2.4 Berechenbarkeit versus Komplexität ............................. 26
1.3 Theoretische Informatik heute...................................... 32
1.4 Übungsaufgaben............................................. 34
2 Mathematische Grundlagen 37
2.1 Grandlagen der Mengenlehre...................................... 38
2.1.1 Der Mengenbegriff ...................................... 38
2.1.2 Mengenoperationen...................................... 40
2.2 Relationen und Funktionen....................................... 43
2.3 Die Welt der Zahlen........................................... 51
2.3.1 Natürliche, rationale und reelle Zahlen............................ 51
2.3.2 Von großen Zahlen....................................... 54
2.3.3 Die Unendlichkeit begreifen.................................. 56
2.4 Rekursion und induktive Beweise.................................... 64
2.4.1 Vollständige Induktion..................................... 65
2.4.2 Strukturelle Induktion..................................... 67
2.5 Übungsaufgaben............................................. 69
3 Logik und Deduktion 77
3.1 Aussagenlogik.............................................. 78
3.1.1 Syntax und Semantik ..................................... 78
3.1.2 Normalformen......................................... 87
3.1.3 Beweistheorie......................................... 92
3.1.3.1 Hilbert-Kalkül................................... 93
3.1.3.2 Resolutionskalkül................................. 101
3.1.3.3 Tableaukalkül................................... 105
3.1.4 Anwendung: Hardware-Entwurf ............................... 108
3.2 Prädikatenlogik............................................. 113
Inhaltsverzeichnis
3.2.1 Syntax und Semantik ..................................... 114
3.2.2 Normalformen......................................... 118
3.2.3 Beweistheorie......................................... 120
3.2.3.1 Resolutionskalkül................................. 126
3.2.3.2 Tableaukalkül................................... 131
3.2.4 Anwendung: Logische Programmierung........................... 134
3.3 Logiken höherer Stufe.......................................... 141
3.4 Übungsaufgaben............................................. 144
4 Formale Sprachen 153
4.1 Sprache und Grammatik......................................... 154
4.2 Chomsky-Hierarchie........................................... 160
4.3 Reguläre Sprachen............................................ 162
4.3.1 Definition und Eigenschaften................................. 162
4.3.2 Pumping-Lemma für reguläre Sprachen............................ 164
4.3.3 Reguläre Ausdrücke...................................... 166
4.4 Kontextfreie Sprachen.......................................... 169
4.4.1 Definition und Eigenschaften................................. 169
4.4.2
Normalformen
......................................... 169
4.4.2.1 Chomsky-Normalform .............................. 169
4.4.2.2 Backus-Naur-Form ................................ 171
4.4.3 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen.......................... 172
4.4.4 Entscheidungsprobleme.................................... 176
4.4.5 Abschlusseigenschaften.................................... 178
4.5 Kontextsensitive Sprachen........................................ 181
4.5.1 Definition und Eigenschaften................................. 181
4.5.2 Entscheidungsprobleme.................................... 182
4.5.3 Abschlusseigenschaften.................................... 183
4.6 Rekursiv aufzählbare Sprachen..................................... 183
4.7 Übungsaufgaben............................................. 185
5 Endliche Automaten 191
5.1 Begriffsbestimmung........................................... 192
5.2 Deterministische Automaten ...................................... 194
5.2.1 Definition und Eigenschaften................................. 194
5.2.2 Automatenminimierung.................................... 196
5.3 Nichtdeterministische Automaten.................................... 198
5.3.1 Definition und Eigenschaften................................. 198
5.3.2 Satz von Rabin, Scott..................................... 200
5.3.3 Epsilon-Übergänge ...................................... 203
5.4 Automaten und reguläre Sprachen ................................... 206
5.4.1 Abschlusseigenschaften.................................... 208
Inhaltsverzeichnis
5.4.2 Entscheidungsprobleme.................................... 210
5.5 Kellerautomaten............................................. 211
5.5.1 Definition und Eigenschaften................................. 211
5.5.2 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen.......................... 214
5.5.3 Deterministische Kellerautomaten............................... 216
5.6 Transduktoren.............................................. 218
5.6.1 Definition und Eigenschaften................................. 218
5.6.2 Automatenminimierung.................................... 219
5.6.3 Automatensynthese...................................... 221
5.6.4
Mealy-
und Moore-Automaten................................ 222
5.7 Petri-Netze................................................ 226
5.8 Zelluläre Automaten........................................... 231
5.9 Übungsaufgaben............................................. 234
6 Berechenbarkeitstheorie 241
6.1 Berechnungsmodelle .......................................... 242
6.1.1
Loop-Programme
....................................... 242
6.1.2
While-Programme.......................................
248
6.1.3 Goto-Programme ....................................... 252
6.1.4 Primitiv-rekursive Funktionen................................. 257
6.1.5 Turing-Maschinen....................................... 265
6.1.5.1 Einband-Turing-Maschinen............................ 265
6.1.5.2 Einseitig und linear beschränkte Turing-Maschinen ............... 273
6.1.5.3 Mehrspur-Turing-Maschinen........................... 274
6.1.5.4 Mehrband-Turing-Maschinen........................... 274
6.1.5.5 Maschinenkomposition.............................. 276
6.1.5.6 Universelle Turing-Maschinen .......................... 277
6.1.5.7 Zelluläre Turing-Maschinen............................ 281
6.1.6 Alternative Berechnungsmodelle............................... 283
6.1.6.1 Registermaschinen................................. 284
6.1.6.2 Lambda-Kalkül.................................. 288
6.2 Church sche These............................................ 290
6.3 Akzeptierende Turing-Maschinen.................................... 297
6.4 Entscheidbarkeit............................................. 303
6.5 Unentscheidbare Probleme....................................... 307
6.5.1 Halteproblem ......................................... 307
6.5.2 Satz von Rice ......................................... 310
6.5.3 Reduktionsbeweise ...................................... 313
6.5.4 Das Post sehe Korrespondenzproblem ............................ 314
6.5.5 Weitere unentscheidbare Probleme.............................. 318
6.6 Übungsaufgaben............................................. 321
10 Inhaltsverzeichnis
7 Komplexitätstheorie 329
7.1 Algorithmische Komplexität ...................................... 330
7.1.1 O-Kalkül............................................ 337
7.1.2 Rechnen im O-Kalkül..................................... 340
7.2 Komplexitätsklassen........................................... 344
7.2.1
Ρ
und NP............................................ 347
7.2.2 PSPACE und NPSPACE.................................... 352
7.2.3 EXPundNEXP........................................ 353
7.2.4 Komplementäre Komplexitätsklassen............................. 355
7.3 NP-Vollständigkeit............................................ 357
7.3.1 Polynomielle Reduktion.................................... 357
7.3.2 P-NP-Problem......................................... 358
7.3.3 Satz von Cook......................................... 359
7.3.4 Reduktionsbeweise ...................................... 366
7.4 Übungsaufgaben............................................. 372
A
Notationsverzeichnis 383
8
Abkürzungsverzeichnis 387
С
Glossar 389
Literaturverzeichnis 417
Namensverzeichnis 423
Sachwortverzeichnis 425
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