Modellbildung und Simulation: eine anwendungsorientierte Einführung
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| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2009
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| Schriftenreihe: | eXamen.press
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Einführung................................................ 1
1.1 Die
Simulat
ionspipeline .................................. 1
1.2 Einführung in die Modellierung ........................... 5
1.2.1 Allgemeines ...................................... 5
1.2.2 Herleitung von Modellen ........................... 7
1.2.3 Analyse von Modellen.............................. 10
1.2.4 Klassifikation von Modellen......................... 11
1.2.5 Skalen ........................................... 12
1.3 Einführendes zur Simulation.............................. 14
1.3.1 Allgemeine Bemerkungen........................... 14
1.3.2 Bewertung........................................ 15
Benötigtes Instrumentarium in Kurzform.................. 19
2.1 Elementares und Diskretes................................ 20
2.2 Kontinuierliches......................................... 21
2.2.1 Lineare Algebra................................... 22
2.2.2
Analysis
.......................................... 23
2.2.3 Bedeutung für Modellbildung und Simulation......... 30
2.3 Stochastisches und Statistisches........................... 30
2.3.1 Warum Zufall?.................................... 31
2.3.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume.................. 32
2.3.3 Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume............ 38
2.3.4 Asymptotik....................................... 41
2.3.5 Induktive Statistik ................................ 44
2.4 Numerisches............................................ 47
2.4.1 Grundlagen....................................... 48
2.4.2 Interpolation und Quadratur........................ 52
2.4.3 Direkte Lösung linearer Gleichungssysteme........... 59
2.4.4 Iterationsverfahren................................ 61
2.4.5 Gewöhnliche Differentialgleichungen................. 68
2.4.6 Partielle Differentialgleichungen..................... 78
XII Inhaltsverzeichnis
2.5 Bezüge Instrumentarium - Anwendungen................... 83
Teil
I
Spielen - entscheiden - planen:
Ein Warm-up zur Modellierung
3 Spieltheorie................................................ 89
3.1 Spiele in strategischer Normalform......................... 90
3.2 Spiele ohne Annahmen über den Gegner.................... 92
3.3 Reaktionsabbildungen.................................... 93
3.4 Dominante Strategien.................................... 95
3.5 Nash-Gleichgewichte..................................... 96
3.6 Gemischte Strategien .................................... 97
3.7 Ausblick ............................................... 99
4 Gruppenentscheidungen...................................101
4.1 Individualpräferenzen und Gruppenentscheidungen ..........102
4.2 Beispiele für Entscheidungsverfahren.......................105
4.3 Bedingungen an Auswahlfunktionen, Satz von Arrow.........109
5 Zeitpläne..................................................115
5.1 Prozess-Scheduling (deterministisch).......................117
5.2 Prozess-Scheduling
(stochastisch)
..........................123
5.3 Job-Shop-Probleme......................................129
5.4 Weitere Zeitplanprobleme ................................134
6
Wiener-Prozesse...........................................137
6.1 Vom
Bernoulli-Experiment
zur Normalverteilung............138
6.2 Normalverteilte Einflussgrößen............................140
6.3 Wiener-Prozesse.........................................141
6.4 Anwendung: Entwicklung von Geldanlagen .................146
Teil
II
Verkehr auf Highways und Datenhighways:
Einmal durch die Simulationspipeline
7 Makroskopische Simulation von Straßenverkehr............155
7.1 Modellansatz ...........................................156
7.2 Homogene Verkehrsströmung..............................158
7.2.1 Ein erstes Ergebnis................................158
7.2.2 Geschwindigkeit, Fluss und Dichte...................159
7.2.3 Fundamentaldiagramm.............................160
7.2.4 Modellverfeinerungen..............................161
7.3 Inhomogene Verkehrsströmung............................164
7.4 Simulation einer einfachen Ringstraße......................166
Inhaltsverzeichnis XIII
7.4.1 Ein erster Versuch.................................166
7.4.2 Eine verbesserte Simulation.........................169
7.5 Signal- und Verkehrsgeschwindigkeit.......................171
7.6 Zusammenfassung und Ausblick...........................176
Mikroskopische Simulation von Straßenverkehr............179
8.1 Modellansatz ...........................................180
8.1.1 Zelluläre Automaten...............................180
8.1.2 Straßenverkehr....................................182
8.2 Eine erste Simulation....................................184
8.3
Stochastische
Erweiterung: Trödelfaktor....................186
8.3.1 Freier Verkehrsfluss................................187
8.3.2 Höhere Dichten, Staus aus dem Nichts...............188
8.3.3 Validierung und Kalibrierung: Fundamentaldiagramm . . 190
8.4 Modellierung von Verkehrsnetzen..........................195
8.4.1 Verkehrsgraph....................................195
8.4.2 Kreuzungen ......................................197
8.4.3 Pläne und Vorhaben...............................201
8.5 Modellverfeinerungen....................................207
8.6 Zusammenfassung und Ausblick...........................210
Stochastische
Verkehrssimulation..........................211
9.1 Modellansatz ...........................................213
9.2 Wartesysteme...........................................214
9.2.1
Stochastische
Prozesse.............................215
9.2.2 Klassifizierung elementarer Wartesysteme ............221
9.2.3 Beispiele zur
Kendall-Notation
......................223
9.2.4 Leistungskenngrößen und erste Ergebnisse............223
9.3 Warteschlangennetze.....................................226
9.3.1 Parameter in Warteschlangennetzen .................227
9.3.2 Asymptotische Analyse ............................228
9.4 Analyse und Simulation..................................230
9.4.1 Markov-Prozesse und Markov-Ketten................232
9.4.2 Wartesysteme.....................................237
9.4.3 Warteschlangennetze...............................241
9.4.4 Simulation........................................243
9.5 Zusammenfassung und Ausblick...........................245
XIV Inhaltsverzeichnis
Teil
III
Dynamische Systeme:
Ursache, Wirkung und Wechselwirkung
10 Populationsdynamik.......................................251
10.1 Modell von
Malthus
.....................................252
10.2 Verfeinerte Ein-Spezies-Modelle...........................252
10.2.1 Lineares Modell mit Sättigung......................253
10.2.2 Logistisches Wachstum.............................253
10.3 Zwei-Spezies-Modelle ....................................256
10.4 Ein diskretes Ein-Spezies-Modell ..........................261
11 Regelung..................................................265
11.1 Regelungstechnische Grundlagen ........................· · 266
11.1.1 Regelkreis........................................267
11.1.2 Beschreibung linearer dynamischer Systeme...........268
11.1.3 Anforderungen an den Regler.......................268
11.1.4 PID-Regler.......................................270
11.2 Exemplarische Modellierung eines Mehrkörpersystems......· · 271
11.2.1 Linearisiertes Modell mit Impuls- und Drallsatz.......272
11.2.2 Vollständiges Modell mit Lagrange-Gleichungen.......276
11.2.3 Simulation des Pendels.............................280
11.3 Fuzzy-Mengenlehre....................................■ · 281
11.3.1 Zugehörigkeit zu Fuzzy-Mengen.....................281
11.3.2 Operationen mit Fuzzy-Mengen.....................284
11.3.3 Linguistische Variablen.............................286
11.3.4 Fuzzy-Logik......................................287
11.4 Regelbasiertes Fuzzy-System..............................290
11.4.1 Fuzzifizierung.....................................292
11.4.2 Inferenz..........................................292
11.4.3 Denazifizierung...................................293
11.4.4 Beispiel..........................................294
11.5 Fuzzy-Regelung des invertierten Pendels....................294
11.5.1 Parameter und Randbedingungen ...................295
11.5.2 Aufschwingen des Pendels..........................296
11.5.3 Stabilisieren des Pendels ...........................298
11.6 Ausblick ...............................................299
12 Chaostheorie ..............................................301
12.1 Einleitung.............................................. 302
12.2 Von der Ordnung zum Chaos .............................303
12.2.1 Logistische Abbildung und deren Fixpunkte ..........303
12.2.2 Numerische Untersuchung und Bifurkationen..........305
12.2.3 Übergang ins Chaos...............................308
12.3 Seltsame Attraktoren....................................311
Inhaltsverzeichnis
XV
12.3.1 Selbstähnlichkeit und
fraktále
Dimension.............312
12.3.2
Hénon-Abbildung
.................................315
12.3.3 Allgemeine zweidimensionale quadratische Abbildung .. 316
12.4 Chaotisches Verhalten eines angetriebenen Pendels...........319
12.4.1 Modell des Pendels................................319
12.4.2 Diskretisierung....................................320
12.4.3 Zyklen und Attraktoren............................321
Teil
IV
Physik im Rechner:
Aufbruch zum Zahlenfressen
13 Molekulardynamik.........................................331
13.1 Modellierung von Molekülen und Wechselwirkungen .........332
13.1.1 Fundamentale physikalische Kräfte ..................333
13.1.2 Potenziale für ungeladene Atome....................333
13.1.3 Berechnung der auf ein Atom einwirkenden Kraft......338
13.2 Bewegungsgleichung und deren Lösung.....................338
13.2.1 Bewegungsgleichung...............................339
13.2.2 Euler-Verfahren...................................339
13.2.3 Velocity-Störmer-
Verlet
............................340
13.2.4 Bemerkungen.....................................341
13.3 Simulationsgebiet........................................342
13.3.1 NVT-Ensemble ...................................343
13.3.2 Randbedingungen.................................344
13.4 Implementierung........................................344
13.4.1 Linked-Cells-Datenstruktur.........................345
13.5 Parallelisierung..........................................348
13.6 Ausblick ...............................................350
14 Wärmeleitung.............................................351
14.1 Herleitung der Wärmeleitungsgleichung ....................352
14.1.1 Anzahl an Dimensionen............................354
14.2 Diskretisierung..........................................355
14.2.1
З
-Punkte-Stern
....................................356
14.2.2 5-Punkte-Stern....................................358
14.2.3 Randbehandlung..................................360
14.3 Numerische Lösung der PDE..............................361
14.3.1 Einfache Relaxationsverfahren......................361
14.3.2 Mehrgitterverfahren...............................363
15 Strömungsmechanik .......................................369
15.1
Fluide
und Strömungen..................................370
15.2 Mathematisches Modell..................................372
15.2.1 Navier-Stokes-Gleichungen..........................372
XVI Inhaltsverzeichnis
15.2.2 Anmerkungen zur Herleitung .......................374
15.3 Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen ..............375
15.3.1
Finite
Differenzen.................................375
15.3.2 Behandlung der Ortsableitungen ....................376
15.3.3 Behandlung der Zeitableitungen.....................377
15.3.4 Behandlung der Randbedingungen...................378
15.4 Numerische Lösung der diskretisierten Gleichungen..........379
15.4.1 Zeitschritt........................................379
15.4.2 Ortsdiskrete Impulsgleichungen .....................381
15.4.3 Ortsdiskrete Poisson-Gleichung für den Druck.........381
15.4.4 Zur Stabilität.....................................381
15.5 Anwendungsbeispiel: Umströmung eines Hindernisses........382
15.6 Ausblick ...............................................384
15.6.1 Aufgabenstellungen und Modelle....................384
15.6.2 Diskretisierungen..................................385
15.7 Anhang: Kleiner Exkurs zur Gittergenerierung..............386
15.7.1 Strukturierte Gitter ...............................387
15.7.2 Unstrukturierte Gitter.............................391
15.7.3 Ansätze zur Behandlung veränderlicher Geometrien .... 394
16 Globale Beleuchtung in der Computergraphik .............397
16.1 Größen aus der Radiometrie..............................398
16.2 Die Rendering-Gleichung.................................400
16.3 Techniken zur Lösung der Rendering-Gleichung .............403
16.3.1 Ray-Tracing......................................404
16.3.2
Path-Tracing .....................................
405
16.3.3 Weitere Ray-Tracing-Derivate.......................407
16.4 Das Radiosity-Verfahren..................................408
16.4.1 Grundprinzip.....................................408
16.4.2 Berechnung der Formfaktoren.......................410
16.4.3 Lösung der Radiosity-Gleichung.....................412
16.4.4 Anmerkungen und Verbesserungen ..................414
Abschließende Bemerkungen...................................417
Literaturverzeichnis ...........................................419
Sachverzeichnis................................................423
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Inhaltsverzeichnis
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