Numerische Mathematik:
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Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2009
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| Ausgabe: | 7., überarb. Aufl. |
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HANS RUDOLF SCHWARZ I NORBERT KOECKLER NUMERISCHE MATHEMATIK 7.,
UEBERARBEITETE AUFLAGE STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER INHALT EINLEITUNG 13 1
FEHLER THEORIE 15 1.1 FEHLERARTEN 15 1.2 ZAHLDARSTELLUNG 16 1.3
RUNDUNGSFEHLER 18 1.4 DIFFERENZIELLE FEHLERANALYSE 21 1.5 ERGAENZUNGEN
UND BEISPIELE 24 1.6 SOFTWARE 27 1.7 AUFGABEN 28 2 LINEARE
GLEICHUNGSSYSTEME, DIREKTE METHODEN 30 2.1 DER GAUSS-ALGORITHMUS 30 2.1.1
ELIMINATION. DREIECKSZERLEGUNG UND DETERMINANTENBERECHNUNG 30 2.1.2
PIVOTSTRATEGIEN 38 2.1.3 ERGAENZUNGEN 43 2.2 GENAUIGKEITSFRAGEN,
FEHLERABSCHAETZUNGEN 47 2.2.1 NORMEN 47 2.2.2 FEHLERABSCHAETZUNGEN,
KONDITION 52 2.3 SYSTEME MIT SPEZIELLEN EIGENSCHAFTEN 56 2.3.1
SYMMETRISCHE, POSITIV DEFINITE SYSTEME 56 2.3.2 BANDGLEICHUNGEN 62 2.3.3
TRIDIAGONALE GLEICHUNGSSYSTEME 64 2.4 VERFAHREN FUER VEKTORRECHNER UND
PARALLELRECHNER 67 2.4.1 VOLL BESETZTE SYSTEME . 68 2.4.2 TRIDIAGONALE
GLEICHUNGSSYSTEME 73 2.5 ANWENDUNGEN 82 2.6 SOFTWARE 87 'V.7 AUFGABEN 88
8 INHALT 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 91 3.1 POLYNOMINTERPOLATION
92 3.1.1 PROBLEMSTELLUNG 92 3.1.2 LAGRANGE-INTERPOLATION 95 3.1.3 -
NEWTON-INTERPOLATION 95 3.1.4 HERMITE-INTERPOLATION 98 3.1.5 INVERSE
INTERPOLATION 100 3.1.6 ANWENDUNG: NUMERISCHE DIFFERENZIATION 101 3.2
SPLINES 106 3.2.1 KUBISCHE SPLINES 107 3.2.2 B-SPLINES 1. GRADES 112
3.2.3 KUBISCHE B-SPLINES 114 3.3 ZWEIDIMENSIONALE SPLINEVERFAHREN 119
3.3.1 BILINEARE TENSORSPLINES 120 3.3.2 BIKUBISCHE TENSORSPLINES 123 3.4
KURVENINTERPOLATION 125 3.5 KURVEN UND FLAECHEN MIT BEZIER-POLYNOMEN 127
3.5.1 BERNSTEIN-POLYNOME 127 3.5.2 BEZIER-DARSTELLUNG EINES POLYNOMS 129
3.5.3 DER CASTELJAU-ALGORITHMUS 130 3.5.4 BEZIER-KURVEN 131 3.5.5
BEZIER-FLAECHEN 137 3.6 GAUSS-APPROXIMATION 140 3.6.1 DISKRETE
GAUSS-APPROXIMATION 142 3.6.2 KONTINUIERLICHE GAUSS-APPROXIMATION 144 3.7
TRIGONOMETRISCHE APPROXIMATION 145 3.7.1 FOURIER-REIHEN 145 3.7.2
EFFIZIENTE BERECHNUNG DER FOURIER-KOEFFIZIENTEN 154 3.8 ORTHOGONALE
POLYNOME 161 3.8.1 APPROXIMATION MIT TSCHEBYSCHEFF-POLYNOMEN 162 3.8.2
INTERPOLATION MIT TSCHEBYSCHEFF-POLYNOMEN 170 3.8.3 DIE
LEGENDRE-POLYNOME 174 3.9 SOFTWARE 179 3.10 AUFGABEN 180 4 NICHTLINEARE
GLEICHUNGEN 183 4.1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 183 4.1.1 PROBLEMSTELLUNG
183 4.1.2 KONVERGENZTHEORIE UND BANACHSCHER FIXPUNKTSATZ 185 \ 4.1.3
STABILITAET UND KONDITION 189 INHALT 9 4.2 GLEICHUNGEN IN EINER
UNBEKANNTEN 190 4.2.1 DAS VERFAHREN DER BISEKTION 190 4.2.2 DAS
VERFAHREN VON NEWTON 192 4.2.3 DIE SEKANTENMETHODE 195 4.2.4 BRENTS
BLACK-BOX-METHODE 196 4.3 GLEICHUNGEN IN MEHREREN UNBEKANNTEN 199 '4.3.1
FIXPUNKTITERATION UND KONVERGENZ 199 4.3.2 DAS VERFAHREN VON NEWTON 200
4.4 NULLSTELLEN VON POLYNOMEN 207 4.4.1 REELLE NULLSTELLEN: DAS
VERFAHREN VON NEWTON-MAEHLY 207 4.4.2 KOMPLEXE NULLSTELLEN: DAS
VERFAHREN VON BAIRSTOW 211 4.5 SOFTWARE 215 4.6 AUFGABEN 215 5
EIGENWERTPROBLEME 218 5.1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN ' 219 5.1.1 DAS
CHARAKTERISTISCHE POLYNOM 219 5.1.2 AEHNLICHKEITSTRANSFORMATIONEN 219
5.1.3 SYMMETRISCHE EIGENWERTPROBLEME 220 5.1.4 ELEMENTARE
ROTATIONSMATRIZEN 220 5.2 DAS KLASSISCHE JACOBI-VERFAHREN 222 5.3 DIE
VEKTORITERATION 229 5.3.1 DIE EINFACHE VEKTORITERATION NACH VON MISES
229 5.3.2 DIE INVERSE VEKTORITERATION 231 5.4 TRANSFORMATIONSMETHODEN
232 5.4.1 TRANSFORMATION AUF HESSENBERG-FORM 233 5.4.2 TRANSFORMATION
AUF TRIDIAGONALE FORM 237 5.4.3 SCHNELLE GIVENS-TRANSFORMATION 239 5.5
Q-R-ALGORITHMUS 243 5.5.1 GRUNDLAGEN ZUR QR- TRANSFORMATION 243 5.5.2
PRAKTISCHE DURCHFUEHRUNG, REELLE EIGENWERTE 248 5.5.3 QAE-DOPPELSCHRITT,
KOMPLEXE EIGENWERTE 253 5.5.4 Q-R-ALGORITHMUS FUER TRIDIAGONALE MATRIZEN
256 5.5.5 ZUR BERECHNUNG DER EIGENVEKTOREN 260 5.6 DAS ALLGEMEINE
EIGENWERTPROBLEM 261 5.6.1 DER SYMMETRISCH POSITIV DEFINITE FALL 261 5.7
EIGENWERTSCHRANKEN, KONDITION, STABILITAET 264 5.8 ANWENDUNG:
MEMBRANSCHWINGUNGEN 268 5.9 SOFTWARE 270 \I.L0 AUFGABEN 271 10 INHALT 6
AUSGLEICHSPROBLERNE, METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE 274 6.1 LINEARE
AUSGLEICHSPROBLEME, NORMALGLEICHUNGEN 274 6.2 METHODEN DER
ORTHOGONALTRANSFORMATION 278 6.2.1 GIVENS-TRANSFORMATION 279 6.2.2
SPEZIELLE RECHENTECHNIKEN - 284 6.2.3 HOUSEHOLDER-TRANSFORMATION 286 6.3
SINGULAERWERTZERLEGUNG 292 6.4 NICHTLINEARE AUSGLEICHSPROBLEME 296 6.4.1
GAUSS-NEWTON-METHODE 297 6.4.2 MINIMIERUNGSVERFAHREN 300 6.5 SOFTWARE 304
6.6 AUFGABEN 305 7 NUMERISCHE INTEGRATION 307 7.1 NEWTON-COTES-FORMELN
'. 308 7.1.1 KONSTRUKTION VON NEWTON-COTES-FORMELN 308 7.1.2
VERFEINERUNG DER TRAPEZREGEL 310 7.2 ROMBERG-INTEGRATION ' 313 7.3
TRANSFORMATIONSMETHODEN 315 7.3.1 PERIODISCHE INTEGRANDEN 316 7.3.2
INTEGRALE UEBER R 318 7.3.3 VARIABLENSUBSTITUTION 320 7.4
GAUSS-INTEGRATION 323 7.4.1 EINGEBETTETE GAUSS-REGELN 331 7.5 ADAPTIVE
INTEGRATION 332 7.6 MEHRDIMENSIONALE INTEGRATION 336 7.6.1
PRODUKTINTEGRATION 336 7.6.2 INTEGRATION UEBER STANDARDGEBIETE 337 7.7
SOFTWARE 338 7.8 AUFGABEN 339 8 ANFANGSWERTPROBLEME 342 8.1 EINFUEHRUNG
343 8.1.1 PROBLEMKLASSE UND THEORETISCHE GRUNDLAGEN 343 8.1.2
MOEGLICHKEITEN NUMERISCHER LOESUNG 345 8.2 EINSCHRITTVERFAHREN 350 8.2.1
KONSISTENZ 350 8.2.2 RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 353 \ 8.2.3 EXPLIZITE
RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 354 INHALT , 11 8.2.4 HALBIMPLIZITE
RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 358 8.2.5 SCHRITTWEITENSTEUERUNG 359 8.3
MEHRSCHRITTVERFAHREN - 363 8.3.1 VERFAHREN VOM ADAMS-TYP 363 8.3.2
KONVERGENZTHEORIE UND VERFAHRENSKONSTRUKTION 368 8.4 STABILITAET 376
8.4.1 INHAERENTE INSTABILITAET 376 8.4.2 ABSOLUTE STABILITAET BEI
EINSCHRITTVERFAHREN 378 8.4.3 ABSOLUTE STABILITAET BEI
MEHRSCHRITTVERFAHREN 380 8.4.4 STEIFE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 384 8.5
ANWENDUNG: LOTKA-VOLTERRAS WETTBEWERBSMODELL 388 8.6 SOFTWARE 391 8.7
AUFGABEN : 392 9 RAND- UND EIGENWERTPROBLEME , 395 9.1 PROBLEMSTELLUNG
UND BEISPIELE 395 9.2 LINEARE RANDWERTAUFGABEN 399 9.2.1 ALLGEMEINE
LOESUNG 399 9.2.2 ANALYTISCHE METHODEN 401 9.2.3 ANALYTISCHE METHODEN MIT
FUNKTIONENANSAETZEN 404 9.3 SCHIESSVERFAHREN 408 9.3.1 DAS
EINFACH-SCHIESSVERFAHREN 408 9.3.2 DAS MEHRFACH-SCHIESSVERFAHREN 413 9.4
DIFFERENZENVERFAHREN 418 9.4.1 DIVIDIERTE DIFFERENZEN 418 9.4.2
DISKRETISIERUNG DER RANDWERTAUFGABE 419 9.5 SOFTWARE 424 9.6 AUFGABEN
425 10 PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 427 10.1 DIFFERENZENVERFAHREN
427 10.1.1 PROBLEMSTELLUNG , 427 10.1.2 DISKRETISIERUNG DER AUFGABE 429
10.1.3 RANDNAHE GITTERPUNKTE, ALLGEMEINE RANDBEDINGUNGEN 434 10.1.4
DISKRETISIERUNGSFEHLER 444 10.1.5 ERGAENZUNGEN . 446 10.2 PARABOLISCHE
ANFANGSRANDWERTAUFGABEN 448 10.2.1 EINDIMENSIONALE PROBLEME, EXPLIZITE
METHODE 448 10.2.2 EINDIMENSIONALE PROBLEME, IMPLIZITE METHODE 454
10.2.3 DIFFUSIONSGLEICHUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN 459 12 , INHALT
10.2.4 ZWEIDIMENSIONALE PROBLEME 461 10.3 METHODE DER FINITEN ELEMENTE
466 10.3.1 GRUNDLAGEN 466 10.3.2 PRINZIP DER METHODE DER FINITEN
ELEMENTE 469 10.3.3 ELEMERITWEISE BEARBEITUNG 471 10.3.4 AUFBAU UND
BEHANDLUNG DER LINEAREN GLEICHUNGEN 477 10.3.5 BEISPIELE 477 10.4
SOFTWARE 482 10.5 AUFGABEN . 483 * 11 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME,
ITERATIVE VERFAHREN 487 * 11.1 DISKRETISIERUNG PARTIELLER
DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 487 11.2 RELAXATIONSVERFAHREN 489 11.2.1
KONSTRUKTION DER ITERATIONSVERFAHREN 489 11.2.2 EINIGE KONVERGENZSAETZE
494 11.2.3 OPTIMALER RELAXATIONSPARAMETER UND KONVERGENZGESCHWINDIGKEIT
505 11.3 MEHRGITTERMETHODEN " 508 11.3.1 EIN EINDIMENSIONALES
MODELLPROBLEM 508 11.3.2 EIGENSCHAFTEN DER GEDAEMPFTEN JACOBI-ITERATION
509 11.3.3 IDEEN FUER EIN ZWEIGITTERVERFAHREN 511 11.3.4 EINE
EINDIMENSIONALE ZWEIGITTERMETHODE 513 11.3.5 DIE MEHRGITTER-OPERATOREN
FUER DAS ZWEIDIMENSIONALE MODELLPROBLEM . . . . 517 11.3.6 VOLLSTAENDIGE
MEHRGITTERZYKLEN 519 L 11.3.7 KOMPLEXITAET : 521 11.3.8 EIN HAUCH THEORIE
521 11.4 METHODE DER KONJUGIERTEN GRADIENTEN 527 11.4.1 HERLEITUNG DES
ALGORITHMUS 527 11.4.2 EIGENSCHAFTEN DER METHODE DER KONJUGIERTEN
GRADIENTEN 532 11.4.3 KONVERGENZABSCHAETZUNG 535 11.4.4
VORKONDITIONIERUNG 539 11.5 METHODE DER VERALLGEMEINERTEN MINIMIERTEN
RESIDUEN 545 11.5.1 GRUNDLAGEN DES VERFAHRENS 545 11.5.2 ALGORITHMISCHE
BESCHREIBUNG UND EIGENSCHAFTEN 548 11.6 SPEICHERUNG SCHWACH BESETZTER
MATRIZEN 553 11.7 SOFTWARE 556 11.8 AUFGABEN 556 LITERATURVERZEICHNIS
561 SACHVERZEICHNIS 574 |
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