Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I:
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Heidelberg
Spektrum, Akad. Verl.
2009
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung.7
I
Ziele des Geometrieunterrichts (H.-G. Weigand).13
1 Lernziele, Kompetenzen und Leitlinien.13
2 Allgemeine Ziele des Geometrieunterrichts.17
2.1 Geometrie und die Erschließung der Welt.17
2.2 Grundlagen wissenschaftlichen Denkens
und Arbeitens
.21
2.3 Geometrie und Problemlösen.22
3 Inhaltsspezifische Ziele des Geometrieunterrichts.24
3.1 Verständnis geometrischer Begriffe und ihrer Eigenschaften.25
3.2 Lernen geometrischer Denk- und Arbeitsweisen.,.27
3.3 Erkennen der Beziehung zwischen Geometrie und Wirklichkeit. 28
4 Zur Unterrichtskultur.30
II
Beweisen und Argumentieren (G. Wittmann).35
1 Beweisen in der Geometrie.,.36
1.1 Was ist ein Beweis?.36
1.2 Funktionen des Beweisens.37
1.3 Beweis und Beweisfmdung.39
1.4 Beweistypen.,.42
2 Beweisen und Argumentieren im Unterricht.44
2.1 Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern.44
2.2
Mathematisch
argumentieren.„.46
2.3 Inhaltlich-anschauliche Beweise. 50
HI Konstruieren (M. Ludwig und H.-G. Weigand).55
ł
Konstruktive Zugänge zur Geometrie.55
1.1 Spannen von Seilen und Bändern.55
L
2 Falten.57
і
.3 Zeichnet!.„. 58
2 Die Werkzeuge.59
2Л
Die Klassiker: Zirkel und Lineal.59
2.2 Die
Pfâktischea;
Parallekeichner und
Geeéreieck
. 60
2.3 Die Modernen: Computer.,.62
3 Konstruieren als mathematische Tätigkeit. 62
3.1 Bedeutung von Zirkel-und-Lhieal-Kunstroktionen.63
3.2 Was versteht man unter Konstruieren?.64
3.3 KonsiroktionsbesehreiböRgea. 66
2 Inhaltsverzeichnis
4 Vom Einfachen zum Komplexen.68
4.1 Grand- und Standardkonstruktionen.68
4.2 Das Modulkonzept.70
5 Didaktische Bedeutung von Konstruktionsaufgaben.71
5.1 Konstruieren als Problemlösen.71
5.2 Warum Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen?.74
5.3 Konstruktionen mit dem Computer.76
IV
Problemlösen (G. Wittmann).81
1 Problemlösen im Geometrieunterricht.82
1.1 Was ist ein Problem?.82
1.2 Schritte im Problemlöseprozess.85
1.3 Ziele des
Problemlösens
.86
2 Problemlösen lehren und lernen.90
2.1 Allgemeine heuristische Strategien.90
2.2 Iahaltsspezifische heuristische Strategien.94
2.3 Hilfen im Lösungsprozess.97
V
Begriffslernen und Begriffslehren (H.-G. Weigand).99
1 Zum Prozess der Begriffsbildung.99
1.1 Mentale Modelte.100
L2 Phänomene als Ausgangspunkte.101
2 Lernen geometrischer Begriffe.103
2.1 Aafbau angemessener Vorstellungen.103
2.2 Erwerb von Kenntnissen.,.109
2.3 Aneignung von Fähigkeiten.110
3 Das Definieren geometrischer Begriffe.Hl
3.1 Logische Aspekte von Definitionen.111
3.2 DefiaitioneB im Geometrieunterricht.113
3.3 Genetische und charakterisierende Definitionen.114
4 Strategien des Begriffsiehrens.115
4.1 Kurzfristiges Lehren geometrischer Begriffe.116
4.2 Mittelfristiges Lehren geometrischer Begriffe.117
4.3 Langfristiges Lehren geometrischer Begriffe. 119
VI
Ebeae Figuren und Körper (J. Roth und G. Wittmann).123
1 Lehren und Lernen von Figuren und Körpern.123
IJ laterne
ond
externe Bezüge.,.„.,. 123
1.2 Bedeutung operativer Begriffsbildangen.124
2 Dreiecke.,.,.,.„,„.,. 126
2.1 Dreiecke als Grundbausteine.127
2.2 Dreiecksgrundformen.,.„.„.129
з
3
Vierecke.133
3.1 Begriffsumfang der Vierecksbegriffe.133
3.2 Viereckseigenschaften und Haus der Vierecke.135
4 Körper.139
4.1 Lernen der Körpergrundformen.140
4.2 Körpermodelle und-netze.144
5 Raumvorstellung und Kopfgeometrie.147
5.1 Raumvorstellung.147
5.2 Kopfgeometrie.151
VII
Flächeninhalt und Volumen
(S.
Kuntze).157
1 Messen als Leitidee für Flächeninhalts- und Volumenbestimmung .158
1.1 Ziele.158
! .2 Flächen- und Volumenmessung im Laufe der Schuljahre.159
1.3 Aspekte des Messens.159
1.4 Kontexte des Messens.161
2 Flächeninhaltsbegriff und Volumenbegriff.166
2.1 Flächeninhalte und Volumina als Größenbereiche.167
2.2 Flächeninhaltsbegriff.168
2.3 Auslegen bzw. Ausfüllen.172
2.4 Zerlegen und Ergänzen. 174
2.5 Flächen- und Körperverwandlungen.177
2.6 Approximieren von Flächen- und Rauminhalten.179
2.7 Zusammenhinge: Flächeninhalts- und Volurnenformeta.182
2.8 Funktionale Zusammenhänge bei Flächeninhaltsformela.183
3 Ausblicke.184
VIO
Symmetrie und Kongruenz (B. Schmidt-Thieme und H.-G. Weigand) 187
1 Mathematische Grandlagen von Symmetrie und Kongruenz.,. 187
1.1 Symmetrie. 187
1.2 Kongruenzabbildungen. 1S9
L3 Kongruenz.190
2 Symmetrie als Umweltphänomen._. 190
3 Zum Lernen des Symmetriebegriffs.192
4 Der Symmetriebegriff zu Beginn der Sekundarstufe
í
.196
4.1 Symmetrische Figuren. 196
4.2 Achsenspiegelung. 198
4.3 Anwendungen der Symmetrie.
Î99
5 Kongruenz. 203
5.1 Bedeutung von Abbildungen. 203
5.2 Zuginge zam Kongraenzbegriff.204
5.3 Begröndangen der Kongraenzsätze. 206
Inhaltsverzeichnîs
5.4 Kongruenzbeweise
versus
Abbildimgsbeweise.208
5.5 Symmetrie und Kongruenz im Raum.210
IX
Ähnlichkeit (R. HÖlzl).215
1 Ähnlichkeit in Figuren.216
1.1 Phänomen „Ähnlichkeit".216
1.2 Die Strahlensätze.220
1.3 Die Umkehrang der Strahlensätze.223
2 Ähnlichkeitsabbildutigen.225
2.1 Geometrische Abbildungen.225
2.2 Die zentrische Streckung.227
2.3 Die Ähnlichkeitssätze.229
3 Anwendungen der Ähnlichkeitslehre.230
3.1 Der Satz des
Pythagoras
.230
3.2 Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks.233
3.3 Der Goldene Schnitt.234
3.4 Ausblick.237
X
Trigonometrie
(A. Filler)
.239
1 Bedeutung der Trigonometrie in der Sekundarstufe
1
.240
1.1 Bezüge zu früheren Inhalten des Mathematikunterrichts.240
Î.2
Algebraisiemng: Von KonstraMonea zu Berechnungen.241
Ï.3
Mit Dreiecken
Konstruktions-
und Vermessungsprobleme lösen 243
2 Einstiege in die Trigonometrie.244
2.Î
Vergleich zweier Einstiege.244
2.2 Sinus, Kosinus and Tangens am rechtwinkligen Dreieck. 246
3 Eigenschaften und Anwendungen voh Sinus, Kosinus und Tangens 250
3.1 Näherungswerte bestimmen und auswerten.250
3.2 Exakte Bestimmung einiger Funktionswerte.251
3.3 Zusammenhänge zwischen Sinus,
Kosinus
und Tangens.252
3.4 Lösea von Übungs- und Anwendungsaufgaben. 253
3.5 Berechnungen in beüebigea Dreiecken.255
3.6 Anwendungen der Trigonometrie in der Raumgeometrie.256
4 TrigOHOffletrische Funktionen.258
4.1 Sinus, Kosinus und Tangens
Яг
beliebige Winkeigröße».258
4.2 Graphen der trigonometrischen Funktionen.,. 260
5 Ausblicke.,„„.„.„».„.„,.,.,.„.262
XI
Geomeöie
ond
Geometrieunterricht (H.-G. Weigand). 265
і
Geometrie als JBrdmessuiig**,.,.,.,.,.,„.,„.,.266
Î.1
Geometrie als praktische Lebenshilfe. 266
1.2 Geometrie
ani
die Darstellung unserer Umwelt.266
5
2
Geometrie
und die Macht des Denkens. 267
2.1 Thaies von
Milet
.267
2.2
Pythagoras
von
Samos.
268
2.3
Platon
.268
3 Die Elemente des Euklid.269
3.1 Definitionen.270
3.2
Postulate
.270
3.3 Axiome.271
4 Huberts Grundlagen der Geometrie.272
4.1 Zum Wesen mathematischer Objekte.272
4.2 Axiome.273
4.3 Euklid versus Hubert.274
5 Der Geometrieunterricht — Hin zu Euklid.275
5.1 Praktischer Aspekt.275
5.2 Schule des Denkens.276
6 Der Geometrieunterricht - Weg von Euklid.277
6.1 Bewegliche Geometrie.277
6.2 Abbildungsgeometrie.278
6.3 Kongraenzgeometrie.279
6.4 Aktuelle Strömungen.280
Literatur:.283
Stichwortverzeichnis.301 |
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