Mathematische Modellierung: eine Einführung in zwölf Fallstudien
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Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2009
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Was ist mathematische Modellierung? 1
1 Zur Entwicklung des Modellbegriffs........................ 1
1.1 Die mathematisch-naturwissenschaftliche Methode............ 1
1.2 Der Modellbegriff............................. 2
1.3 Der Modellierungsprozess......................... 4
2 Modellierungsrezepte und -instrumente ...................... 5
2.1 Ein paar Grundregeln............................ 5
2.2 Simulationswerkzeuge........................... 8
3 Klassifikationen mathematischer Modelle..................... 8
3.1 Klassifikation nach der Durchsichtigkeit der Modelle........... 8
3.2 Klassifikation nach der eingesetzten Mathematik............. 12
I Statische Modelle 15
Diskrete Strukturen 17
4 Erstellung von Ligaplänen............................. 17
4.1 Anforderungen an Spielpläne ....................... 18
4.2 Darstellung von Spielplänen........................ 22
4.3 Konstruktion einfacher Spielpläne..................... 22
4.4 Konstruktion kompletter Spielpläne.................... 23
4.5 Zusammenfassung............................. 28
4.6 Lösungen der Aufgaben.......................... 28
5 Mathematische Gesetzmäßigkeiten in der Blattstellungslehre........... 29
5.1 Einführung................................. 29
5.2 Fibonaccizahlen und Goldener Winkel................... 33
5.3 Modellierung der Spiralbildung...................... 35
5.4 Zusammenfassung............................. 43
5.5 Lösungen der Aufgaben.......................... 44
6 Optimale Routenplanung bei der Müllabfuhr.................... 44
6.1 Einführung................................. 44
6.2 Modellierung als graphentheoretisches Problem.............. 46
6.3 Konstruktion von Eulergraphen und-teuren................ 47
6.4 Algorithmen zur Bestimmung von Eulertouren in Eulergraphen..... 48
6.5 Verbindung von ungeraden Knoten .................... 51
6.6 Eine optimale Route für Modelstown................... 52
6.7 Zusammenfassung............................. 55
Inhaltsverzeichnis
Bewertungs- und Zielfunktionen 57
7 Qualitätsprüfung nicht gewebter Vliesstoffe.................... 57
7.1 Einführung................................. 57
7.2 Verwendung konventioneller Abstandsmaße................ 59
7.3 Löcher und Lochmaße........................... 62
7.4 Weitere Maße zur Beurteilung von Vliesen................ 67
7.5 Zusammenfassung............................. 68
8 Optimale Stationierung von Rettungshubschraubern................ 69
8.1 Einführung................................. 69
8.2 Ein allgemeiner Modellrahmen....................... 72
8.3 Probleme mit einem Hubschrauber..................... 74
8.4 Der allgemeine Fall: Zwölf Modelle.................... 81
8.5 Eine Lösungsheuristik........................... 84
8.6 Zusammenfassung............................. 88
8.7 Lösungen der Aufgaben.......................... 88
II Dynamische Modelle 91
Diskrete Prozesse 93
9 Bevölkerungswachstum unter Berücksichtigung der Altersstruktur........ 93
9.1 Einführung................................. 93
9.2 Modellentwicklung............................. 96
9.3 Daten und Prognosen............................ 98
9.4 Langzeitanalyse und Indikatoren des Bevölkerungswachstums...... 103
9.5 Zusammenfassung............................. 111
9.6 Lösungen der Aufgaben.......................... 112
10 VerdrängungsWettbewerb von Eichhörnchen.................... 112
10.1 Einführung................................. 112
10.2 Modellierung als Markov-Kette...................... 114
10.3 Auswertung des Eichhörnchen-Modells.................. 118
10.4 Zusammenfassung............................. 120
10.5 Lösungen der Aufgaben.......................... 120
Kontinuierliche Prozesse 121
11 Wachstum der Weltbevölkerung.......................... 121
11.1 Einführung................................. 121
11.2 Allgemeine Überlegungen zur Modellierung des Wachstums....... 123
11.3 Konstante Wachstumsgeschwindigkeit: Lineares Wachstum ....... 124
11.4 Konstante Wachstumsrate: Exponentielles Wachstum........... 125
11.5 Zeitabhängige Wachstumsrate....................... 128
11.6 Eine Prognose ............................... 133
11.7 Zusammenfassung............................. 135
11.8 Lösungen der Aufgaben.......................... 135
Inhaltsverzeichnis XI
12 Auftreten von Eis- und Wannzeiten ........................ 135
12.1 Einführung................................. 135
12.2 Mathematische Modellbildung....................... 136
12.3 Entdimensionalisierung .......................... 139
12.4 Gleichgewichtspunkte und ihre Stabilität ................. 140
12.5 Zusammenfassung............................. 143
13 Stabilität des Golfstroms.............................. 144
13.1 Einführung................................. 144
13.2 Mathematische Modellbildung....................... 146
13.3 Entdimensionalisierung .......................... 148
13.4 Gleichgewichtspunkte und ihre Stabilität ................. 148
13.5 Zusammenfassung............................. 153
13.6 Lösungen der Aufgaben.......................... 153
14 Ein mikroskopisches Verkehrsfluss-Modell .................... 153
14.1 Einführung................................. 153
14.2 Mathematische Modellbildung....................... 154
14.3 Entdimensionalisierung .......................... 156
14.4 Eine Gleichgewichtslösung mit Stabilitätsanalyse............. 156
14.5 Weitergehende Analysen.......................... 162
14.6 Zusammenfassung............................. 164
15 Ein makroskopisches Verkehrsfluss-Modell.................... 164
15.1 Einführung................................. 164
15.2 Mathematische Modellbildung....................... 165
15.3 Entdimensionalisierung .......................... 166
15.4 Die Charakteristiken-Methode....................... 168
15.5 Integrallösungen.............................. 170
15.6 Sprungbedingungen............................ 173
15.7 Verdünnungswellen............................. 177
15.8 Entropiebedingungen............................ 178
15.9 Zusammenfassung............................. 184
Anhang: Mathematische Werkzeuge 187
A Lineare Iterationsprozesse ............................. 189
A.l Allgemeine Lösung und Fundamentalsysteme............... 189
A.2 Langzeitverhalten der Lösungen...................... 191
B Gewöhnliche Differentialgleichungen....................... 193
B.l Existenz und Eindeutigkeit von Anfangswertaufgaben.......... 193
B.2 Attraktivität und Stabilität von Gleichgewichtspunkten.......... 194
C Hopf-Verzweigung................................. 196
Literaturverzeichnis 199
Sachverzeichnis 203
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