Einstieg in die Wirtschaftsmathematik:
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2009
|
| Ausgabe: | 7., aktualisierte Aufl. |
| Schriftenreihe: | Studienbücher Wirtschaftsmathematik
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 443 S. 240 mm x 170 mm |
| ISBN: | 9783834807069 |
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Inhaltsverzeichnis
Zeichenerklärung 13
1 Grundlagen 15
1.1 Instrumente der Elementarmathematik 15
1.1.1 Zahlbereiche. Zahlendarstellung 15
1.1.2 Rechnen mit Zahlen 17
1.1.3 Bruchrechnung 20
1.1.4 Potenzrechnung 22
1.1.5 Binomische Formeln. Partialdivision 24
1.1.6 Wurzelrechnung 28
1.1.7 Logarithmenrechnung 30
1.1.8 Rechenregeln und Auflösung von Gleichungen 31
1.1.9 Koordinatensysteme 35
1.1.10 Winkelbeziehungen 38
1.1.11 Komplexe Zahlen 38
1.2 Darstellung von Funktionen einer Variablen 40
1.2.1 Formen der Darstellung 42
1.2.2 Operationen mit Funktionen 43
1.2.3 Wichtige spezielle Funktionen 47
1.3 Ergänzende Fragen 59
1.3.1 Intervalle 59
1.3.2 Auflösung von Ungleichungen 61
1.3.3 Absolute Beträge 62
1.4 Analytische Geometrie 64
1.4.1 Geradengleichungen in der Ebene 65
1.4.2 Geraden und Ebenen im Raum 70
1.4.3 Grafische Darstellung von Ungleichungssystemen 72
1.5 Zahlenfolgen und Zahlenreihen 74
1.5.1 Grundbegriffe 74
1.5.2 Arithmetische Folgen und Reihen 76
1.5.3 Geometrische Folgen und Reihen 77
1.5.4 Grenzwerte von Zahlenfolgen 78
1.5.5 Konvergenz von Reihen 82
2 Logik und Mengenlehre 83
2.1 Aussagenlogik 83
2.1.1 Aussagen 83
2.1.2 Aussagenverbindungen 85
2.1.3 Quantoren 88
2.1.4 Einfache Schlussweisen 89
2.2 Mengenlehre 91
2.2.1 Grundbegriffe 91
2.2.2 Mengenrelationen 93
2.2.3 Mengenoperationen 94
2.2.4 Abbildungen und Funktionen 96
3 Finanzmathematik 99
3.1 Zins- und Zinseszinsrechnung 99
3.1.1 Einfache Verzinsung 100
3.1.2 Zinseszinsrechnung 103
3.1.3 Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung 104
3.1.4 Methoden der mehrperiodigen Investitionsrechnung . 106
3.1.5 Gemischte Verzinsung 108
3.1.6 Unterjährige Verzinsung 109
3.2 Rentenrechnung 111
3.2.1 Grundbegriffe der Rentenrechnung 111
3.2.2 Vorschüssige Renten 112
3.2.3 Nachschüssige Renten 113
3.2.4 Grundaufgaben der Rentenrechnung 115
3.2.5 Ewige Rente 117
3.3 Tilgungsrechnung 119
3.3.1 Grundbegriffe. Formen der Tilgung 119
3.3.2 Ratentilgung 120
3.3.3 Annuitätentilgung 120
3.3.4 Tilgungspläne 122
3.4 Renditerechnung 124
4 Lineare Algebra 129
4.1 Matrizen. Vektoren. Vektorräume 129
4.1.1 Begriff der Matrix 129
4.1.2 Spezielle Matrizen 130
4.1.3 Matrizenrelationen 132
4.1.4 Operationen mit Matrizen 134
4.1.5 Lineare Vektorräume 136
4.2 Matrizenmultiplikation 138
4.2.1 Skalarprodukt 138
4.2.2 Produkt von Matrizen 139
4.2.3 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation 141
4.2.4 Anwendungen der Matrizenmultiplikation 142
4.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 148
4.3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems 149
4.3.2 Darstellungsformen von LGS 150
4.3.3 Begriff der Lösung eines LGS 151
4.3.4 Lineare Gleichungssysteme mit Einheitsmatrix 154
4.3.5 Elementare Umformungen eines LGS 155
4.4 Gauß'scher Algorithmus 156
4.4.1 Anwendung elementarer Umformungen 156
4.4.2 Ablaufplan des Gauß'schen Algorithmus 160
4.4.3 Lösungsdarstellung 161
4.4.4 Numerische Aspekte 163
4.4.5 Zusammenfassende Bemerkungen 164
4.5 Lineare Unabhängigkeit 167
4.5.1 Linearkombination 167
4.5.2 Begriff der linearen Unabhängigkeit 170
4.5.3 Basis und Rang 172
4.5.4 Zur Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme 176
4.6 Matrizeninversion 177
4.6.1 Definition der inversen Matrix 177
4.6.2 Anwendungen der Matrizeninversion 181
4.7 Determinanten 186
4.7.1 Definition der Determinante 186
4.7.2 Eigenschaften von Determinanten 189
4.7.3 Anwendungen der Determinantenrechnung 192
4.7.4 Definitheit von Matrizen 194
4.7.5 Die Cramer'sche Regel 196
4.7.6 Zusammenfassende Bemerkungen 197
5 Lineare Optimierung 199
5.1 Gegenstand der linearen Optimierung 200
5.1.1 Betrachtung einer Modellsituation 201
5.1.2 Bestandteile einer LOA. Lösungsbegriff 202
5.2 Modellierung und grafische Lösung von LOA 204
5.2.1 Modellierung typischer Problemstellungen 205
5.2.2 Grafische Lösung von LOA 211
5.3 Theorie der linearen Optimierung 221
5.3.1 Überführung in die Gleichungsform 221
5.3.2 Basislösungen und Eckpunkte 226
5.3.3 Eigenschaften von LOA . . . . : 229
5.4 Simplexmethode für Optimierungsaufgaben in Gleichungsform . . 230
5.4.1 Grundidee 230
5.4.2 Auswahl der aufzunehmenden Basisvariablen 234
5.4.3 Auswahl der auszuschließenden Basisvariablen 235
5.4.4 Ablaufplan des Simplexalgorithmus 237
5.4.5 Beispiele. Rechenkontrollen 241
5.4.6 Sonderfälle 244
5.5 Zwei-Phasen-Methode 248
5.5.1 Grundidee 248
5.5.2 Mögliche Fälle 250
5.5.3 Beispiele 252
5.6 Dualität in der linearen Optimierung 254
5.6.1 Konstruktion der dualen Aufgabe 254
5.6.2 Dualitätsbeziehungen 257
5.6.3 Ökonomische Interpretation der Dualvariablen 259
6 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen 266
6.1 Grenzwert und Stetigkeit 266
6.1.1 Grenzwert von Funktionen 267
6.1.2 Stetigkeit von Funktionen 270
6.1.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 271
6.2 Die Ableitung einer Funktion 272
6.2.1 Das Tangentenproblem 274
6.2.2 Differenzial 277
6.2.3 Differenziationsregeln 279
6.2.4 Höhere Ableitungen 282
6.2.5 Taylor-Entwicklung einer Funktion 283
6.3 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe von Ableitungen 287
6.3.1 Monotonie und Beschränktheit 288
6.3.2 Extremwerte 290
6.3.3 Wendepunkte. Krümmungsverhalten 295
6.3.4 Kurvendiskussion 299
6.3.5 Beispiele zur Kurvendiskussion 302
6.3.6 Anwendungen in der Marginalanalyse 305
6.4 Numerische Methoden der Nullstellenberechnung 311
6.4.1 Intervallhalbierung 313
6.4.2 Sekantenverfahren. Regula Falsi 314
6.4.3 Newton-Verfahren 316
7 Funktionen mehrerer Veränderlicher 318
7.1 Begriff und Beispiele 318
7.1.1 Funktionsbegriff 318
7.1.2 Beispiele für Funktionen mehrerer Veränderlicher 320
7.2 Grenzwert und Stetigkeit 323
7.3 Differenziation von Funktionen mehrerer Veränderlicher 329
7.3.1 Begriff der Differenzierbarkeit 329
7.3.2 Partielle Ableitungen und Elastizitäten 330
7.3.3 Gradient einer Funktion. Verschiedene Interpretationen . 334
7.3.4 Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Hesse-Matrix . . 338
7.3.5 Vollständiges Differenzial 339
7.3.6 Implizite Funktionen 342
8 Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher 347
8.1 Extremwerte ohne Nebenbedingungen 347
8.1.1 Notwendige und hinreichende Extremwertbedingungen . . 348
8.1.2 Beispiele 352
8.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen 354
8.2.1 Allgemeine Aufgabenformulierung 355
8.2.2 Die Eliminationsmethode 356
8.2.3 Die Lagrange-Methode 363
8.2.4 Interpretation der Lagrange'schen Multiplikatoren . 370
8.3 Methode der kleinsten Quadratsumme 372
8.3.1 Problemstellung. Lineare Regression 372
8.3.2 Allgemeinere Ansatzfunktionen 379
9 Integralrechnung 383
9.1 Das unbestimmte Integral 384
9.1.1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen 384
9.1.2 Integrationsregeln 385
9.2 Das bestimmte Integral 387
9.2.1 Integralbegriff für Funktionen einer Variablen 387
9.2.2 Integrierbarkeit. Eigenschaften bestimmter Integrale . . . 390
9.2.3 Numerische Integration 392
9.2.4 Uneigentliche Integrale 394
9.2.5 Doppelintegral 396
9.3 Anwendungen der Integralrechnung 399
9.3.1 Untersuchung von Wachstumsprozessen 400
9.3.2 Kurzer Ausblick auf Differenzialgleichungen 403
Lösungen zu den Aufgaben 405
Klausurbeispiel 425
Literaturverzeichnis 436
Sachwortverzeichnis 437 |
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Zeichenerklärung 13
1 Grundlagen 15
1.1 Instrumente der Elementarmathematik 15
1.1.1 Zahlbereiche. Zahlendarstellung 15
1.1.2 Rechnen mit Zahlen 17
1.1.3 Bruchrechnung 20
1.1.4 Potenzrechnung 22
1.1.5 Binomische Formeln. Partialdivision 24
1.1.6 Wurzelrechnung 28
1.1.7 Logarithmenrechnung 30
1.1.8 Rechenregeln und Auflösung von Gleichungen 31
1.1.9 Koordinatensysteme 35
1.1.10 Winkelbeziehungen 38
1.1.11 Komplexe Zahlen 38
1.2 Darstellung von Funktionen einer Variablen 40
1.2.1 Formen der Darstellung 42
1.2.2 Operationen mit Funktionen 43
1.2.3 Wichtige spezielle Funktionen 47
1.3 Ergänzende Fragen 59
1.3.1 Intervalle 59
1.3.2 Auflösung von Ungleichungen 61
1.3.3 Absolute Beträge 62
1.4 Analytische Geometrie 64
1.4.1 Geradengleichungen in der Ebene 65
1.4.2 Geraden und Ebenen im Raum 70
1.4.3 Grafische Darstellung von Ungleichungssystemen 72
1.5 Zahlenfolgen und Zahlenreihen 74
1.5.1 Grundbegriffe 74
1.5.2 Arithmetische Folgen und Reihen 76
1.5.3 Geometrische Folgen und Reihen 77
1.5.4 Grenzwerte von Zahlenfolgen 78
1.5.5 Konvergenz von Reihen 82
2 Logik und Mengenlehre 83
2.1 Aussagenlogik 83
2.1.1 Aussagen 83
2.1.2 Aussagenverbindungen 85
2.1.3 Quantoren 88
2.1.4 Einfache Schlussweisen 89
2.2 Mengenlehre 91
2.2.1 Grundbegriffe 91
2.2.2 Mengenrelationen 93
2.2.3 Mengenoperationen 94
2.2.4 Abbildungen und Funktionen 96
3 Finanzmathematik 99
3.1 Zins- und Zinseszinsrechnung 99
3.1.1 Einfache Verzinsung 100
3.1.2 Zinseszinsrechnung 103
3.1.3 Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung 104
3.1.4 Methoden der mehrperiodigen Investitionsrechnung . 106
3.1.5 Gemischte Verzinsung 108
3.1.6 Unterjährige Verzinsung 109
3.2 Rentenrechnung 111
3.2.1 Grundbegriffe der Rentenrechnung 111
3.2.2 Vorschüssige Renten 112
3.2.3 Nachschüssige Renten 113
3.2.4 Grundaufgaben der Rentenrechnung 115
3.2.5 Ewige Rente 117
3.3 Tilgungsrechnung 119
3.3.1 Grundbegriffe. Formen der Tilgung 119
3.3.2 Ratentilgung 120
3.3.3 Annuitätentilgung 120
3.3.4 Tilgungspläne 122
3.4 Renditerechnung 124
4 Lineare Algebra 129
4.1 Matrizen. Vektoren. Vektorräume 129
4.1.1 Begriff der Matrix 129
4.1.2 Spezielle Matrizen 130
4.1.3 Matrizenrelationen 132
4.1.4 Operationen mit Matrizen 134
4.1.5 Lineare Vektorräume 136
4.2 Matrizenmultiplikation 138
4.2.1 Skalarprodukt 138
4.2.2 Produkt von Matrizen 139
4.2.3 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation 141
4.2.4 Anwendungen der Matrizenmultiplikation 142
4.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 148
4.3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems 149
4.3.2 Darstellungsformen von LGS 150
4.3.3 Begriff der Lösung eines LGS 151
4.3.4 Lineare Gleichungssysteme mit Einheitsmatrix 154
4.3.5 Elementare Umformungen eines LGS 155
4.4 Gauß'scher Algorithmus 156
4.4.1 Anwendung elementarer Umformungen 156
4.4.2 Ablaufplan des Gauß'schen Algorithmus 160
4.4.3 Lösungsdarstellung 161
4.4.4 Numerische Aspekte 163
4.4.5 Zusammenfassende Bemerkungen 164
4.5 Lineare Unabhängigkeit 167
4.5.1 Linearkombination 167
4.5.2 Begriff der linearen Unabhängigkeit 170
4.5.3 Basis und Rang 172
4.5.4 Zur Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme 176
4.6 Matrizeninversion 177
4.6.1 Definition der inversen Matrix 177
4.6.2 Anwendungen der Matrizeninversion 181
4.7 Determinanten 186
4.7.1 Definition der Determinante 186
4.7.2 Eigenschaften von Determinanten 189
4.7.3 Anwendungen der Determinantenrechnung 192
4.7.4 Definitheit von Matrizen 194
4.7.5 Die Cramer'sche Regel 196
4.7.6 Zusammenfassende Bemerkungen 197
5 Lineare Optimierung 199
5.1 Gegenstand der linearen Optimierung 200
5.1.1 Betrachtung einer Modellsituation 201
5.1.2 Bestandteile einer LOA. Lösungsbegriff 202
5.2 Modellierung und grafische Lösung von LOA 204
5.2.1 Modellierung typischer Problemstellungen 205
5.2.2 Grafische Lösung von LOA 211
5.3 Theorie der linearen Optimierung 221
5.3.1 Überführung in die Gleichungsform 221
5.3.2 Basislösungen und Eckpunkte 226
5.3.3 Eigenschaften von LOA . . . . : 229
5.4 Simplexmethode für Optimierungsaufgaben in Gleichungsform . . 230
5.4.1 Grundidee 230
5.4.2 Auswahl der aufzunehmenden Basisvariablen 234
5.4.3 Auswahl der auszuschließenden Basisvariablen 235
5.4.4 Ablaufplan des Simplexalgorithmus 237
5.4.5 Beispiele. Rechenkontrollen 241
5.4.6 Sonderfälle 244
5.5 Zwei-Phasen-Methode 248
5.5.1 Grundidee 248
5.5.2 Mögliche Fälle 250
5.5.3 Beispiele 252
5.6 Dualität in der linearen Optimierung 254
5.6.1 Konstruktion der dualen Aufgabe 254
5.6.2 Dualitätsbeziehungen 257
5.6.3 Ökonomische Interpretation der Dualvariablen 259
6 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen 266
6.1 Grenzwert und Stetigkeit 266
6.1.1 Grenzwert von Funktionen 267
6.1.2 Stetigkeit von Funktionen 270
6.1.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 271
6.2 Die Ableitung einer Funktion 272
6.2.1 Das Tangentenproblem 274
6.2.2 Differenzial 277
6.2.3 Differenziationsregeln 279
6.2.4 Höhere Ableitungen 282
6.2.5 Taylor-Entwicklung einer Funktion 283
6.3 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe von Ableitungen 287
6.3.1 Monotonie und Beschränktheit 288
6.3.2 Extremwerte 290
6.3.3 Wendepunkte. Krümmungsverhalten 295
6.3.4 Kurvendiskussion 299
6.3.5 Beispiele zur Kurvendiskussion 302
6.3.6 Anwendungen in der Marginalanalyse 305
6.4 Numerische Methoden der Nullstellenberechnung 311
6.4.1 Intervallhalbierung 313
6.4.2 Sekantenverfahren. Regula Falsi 314
6.4.3 Newton-Verfahren 316
7 Funktionen mehrerer Veränderlicher 318
7.1 Begriff und Beispiele 318
7.1.1 Funktionsbegriff 318
7.1.2 Beispiele für Funktionen mehrerer Veränderlicher 320
7.2 Grenzwert und Stetigkeit 323
7.3 Differenziation von Funktionen mehrerer Veränderlicher 329
7.3.1 Begriff der Differenzierbarkeit 329
7.3.2 Partielle Ableitungen und Elastizitäten 330
7.3.3 Gradient einer Funktion. Verschiedene Interpretationen . 334
7.3.4 Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Hesse-Matrix . . 338
7.3.5 Vollständiges Differenzial 339
7.3.6 Implizite Funktionen 342
8 Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher 347
8.1 Extremwerte ohne Nebenbedingungen 347
8.1.1 Notwendige und hinreichende Extremwertbedingungen . . 348
8.1.2 Beispiele 352
8.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen 354
8.2.1 Allgemeine Aufgabenformulierung 355
8.2.2 Die Eliminationsmethode 356
8.2.3 Die Lagrange-Methode 363
8.2.4 Interpretation der Lagrange'schen Multiplikatoren . 370
8.3 Methode der kleinsten Quadratsumme 372
8.3.1 Problemstellung. Lineare Regression 372
8.3.2 Allgemeinere Ansatzfunktionen 379
9 Integralrechnung 383
9.1 Das unbestimmte Integral 384
9.1.1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen 384
9.1.2 Integrationsregeln 385
9.2 Das bestimmte Integral 387
9.2.1 Integralbegriff für Funktionen einer Variablen 387
9.2.2 Integrierbarkeit. Eigenschaften bestimmter Integrale . . . 390
9.2.3 Numerische Integration 392
9.2.4 Uneigentliche Integrale 394
9.2.5 Doppelintegral 396
9.3 Anwendungen der Integralrechnung 399
9.3.1 Untersuchung von Wachstumsprozessen 400
9.3.2 Kurzer Ausblick auf Differenzialgleichungen 403
Lösungen zu den Aufgaben 405
Klausurbeispiel 425
Literaturverzeichnis 436
Sachwortverzeichnis 437 |
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