Fünf Minuten Mathematik: 100 Beiträge der Mathematik-Kolumne der Zeitung Die Welt
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg+Teubner
2008
|
| Ausgabe: | 2. aktualisierte Aufl. |
| Schriftenreihe: | Populär
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XVI, 256 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783834805775 |
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1 Der Zufall lässt sich nicht überlisten 1
Wie wahrscheinlich ist ein Lotto-Hauptgewinn?
2 Bezaubernde Mathematik: Zahlen 4
Der lOOl-Zaubertrick.
3 Wie alt ist der Kapitän? 6
Mathematische Exaktheit. Windchiliformel.
4 Schwindelerregend große Primzahlen 8
Es gibt unendlich viele Primzahlen. Euklids Beweis.
5 Verlust plus Verlust gleich Gewinn: das paradoxe Glücksspiel
des Physikers Juan Parrondo 10
Paradoxien der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Parrondo-, Geburtstags- und Permutationsparadoxon.
6 Bei großen Zahlen versagt die Vorstellung 12
Kettenbriefe. Die Parabel vom Reiskorn.
7 Das Codewort zum Verschlüsseln steht im Telefonbuch 15
Public key cryptography.
Verschlüsseln mit Zufallszahlen.
8 Vom Dorfbarbier, der sich selbst rasiert 18
Russeis Paradoxon.
9 Aufhören, wenn es am schönsten ist? 20
Stoppzeit. Stoppzeitentheorem.
10 Können auch Schimpansen „hohe Literatur schreiben? 22
Der Affe an der Schreibmaschine.
11 Das Geburtstagsparadoxon 24
Wie wahrscheinlich ist ein Doppelgeburtstag?
12
Horror vacui
28
Die leere Menge, Vereinigung und Durchschnitt.
13 Das hinreichende Leid mit der Logik
der Mathematik ist wohl eine Notwendigkeit 30
Notwendig und hinreichend.
14 Wechseln oder nicht wechseln? 32
Ziegen
problem.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Bayes-Formel.
χ
15
In Huberts Hotel
ist immer ein Zimmer frei 40
Huberts Hotel.
16 Viel mehr als
Pi mai
Daumen: die Faszination einer Zahl 42
ћ.
π
in der Bibel. Einfache Abschätzungen.
17 Wie unsichere Zufälle zu berechenbaren Größen werden 44
Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
18 Eine Million Dollar Belohnung: Wie sind die Primzahlen verteilt? 47
Primzahlverteilung. Primzahlsatz. Riemannsche Vermutung.
19 Der fünfdimensionale Kuchen 50
Dimension. Der
vierdimensionale
Würfel (Hypereubus).
20 Die Mädchenhandelsschule 53
Assoziativ- und Kommutativgesetz in der Mathematik und in der Sprache.
21
Fly me to the moon
56
Konkrete Anwendungen der Mathematik.
22 Resteverwertung 58
α
mod b.
Das Rechnen
modulo
einer Zahl. Satz von
Fermat.
23 Streng geheim! 60
Das RSA-Verfahren. Satz von Euler.
24 Bezaubernde Mathematik: Ordnung im Chaos 64
Der Gilbreath-Zaubertrick.
25 Wie nähert man sich einem Genie? 67
Gauß. 17-Eck. Fermat-Primzahlen.
26 Von Halbtönen und zwölften Wurzeln 70
Pythagoreische und chromatische Tonleiter.
27 Man steht immer in der falschen Schlange 72
Warteschlangen.
28 Die Null, eine zu Unrecht unterschätzte Zahl 74
Die Null.
29 Kombiniere! 76
Einige kombinatorische Ergebnisse. Binomialkoeffizienten.
30 Durch Selbststudium zum Genie: Der indische Mathematiker Ramanujan 80
Ramanujan.
xi
31 Ich hasse Mathematik, weil ... 82
Warum ¡st das Fach so unbeliebt?
32 Der Handlungsreisende: der moderne
Odysseus
84
Das Problem des Handlungsreisenden. P^-NP?
33 Quadratur des Kreises 86
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
34 Der Schritt ins Unendliche 91
Induktionsbeweise.
35 Mathematik im CD-Player 94
Codierung. Abtasttheorem.
36 Logarithmen, eine aussterbende Spezies 96
Logarithmen. Multiplikation durch Addition von Logarithmen.
37 Preiswürdige Mathematik 98
Abel-Preis. Fields-Medaillen.
38 Wozu in aller Welt Axiome? 100
Axiomensysteme.
39 Beweise mit dem Computer? ·■ 102
Computerbeweise. Vierfarbenproblem.
40 Lotto: das kleine Glück 104
Wahrscheinlichkeiten für 0, 1.....6 Richtige.
41 Konzentrierte Gedanken: warum Formeln? 106
Vorteile der Formelschreibweise.
Descartes.
42 Wachstum ohne Ende 108
Die Zahl e. Exponentialfunktion.
43 Wie rechnen Quanten? 111
Quantencomputer. QBits.
44 Extrem! 114
Extremwertaufgaben.
Simulated annealing.
45 Unendlich klein? 116
Unendlich kleine Größen.
Nonstandard
analysis.
46 Mathematische Betrachtungen in der Leitzentrale der Feuerwehr 118
Fehler 1. und 2. Art.
xii
47 Der erste mathematische Beweis ist schon 2500 Jahre alt 120
Die Elemente des Euklid. Satz von Thaies.
48 !n der Mathematik gibt es Transzendenz, doch mit Mystik
hat das nichts zu tun 123
Hierarchie der Zahlen: natürliche, ganze, rationale, . . . Zahlen.
49 Kann man jede gerade Zahl als Summe von zwei Primzahlen schreiben? 126
Gold bach-
Vermutung.
50 Von der Unfähigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten richtig umzukehren 129
Bayes-Formel.
51 Milliardär oder
Billionär
132
Bezeichnungsweisen in verschiedenen Sprachen.
52 Mathematik und Schach 134
Spielregeln
vs.
Axiome.
53 „Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben 136
Mathematik und Realität. Wie wird Mathematik angewendet?
54 Ein Pater eröffnete im 17. Jahrhundert die Jagd
nach immer größeren Primzahlen 139
Primzahlrekorde.
55 Die schönste Formel wurde im 18. Jahrhundert in Berlin entdeckt 142
0 — 1 +
βίπ
. Reihenentwicklungen für Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus.
56 Die erste wirklich komplizierte Zahl 144
Die Wurzel aus Zwei ¡st irrational.
57 P=NP: Ist Glück in der Mathematik manchmal entbehrlich? 146
P- und NP-Probleme.
58 Glückwunsch zum 32. Geburtstag! 148
Verschiedene Zahlendarstellungen.
59 Buffons Nadel 150
Das BufFonsche Experiment zur Bestimmung von
π.
60 Von heiß nach kalt: Kontrolliertes Abkühlen löst Optimierungsprobleme 153
Simulated annealing.
Das Problem des Handlungsreisenden.
61 Wer hat nicht bezahlt? 156
Nichtkonstruktive Existenzbeweise. Schubkastenprinzip.
Xlii
62 Was kann Statistik? 158
Qualitätskontrolle mit Statistik.
63 Von Pferden und Finanzmärkten: Arbitrage 160
Arbitrage. Optionen. Preisfestsetzung nach dem Arbitrageprinzip.
64 Risiko ade: Optionen 162
Put- und Call-Optionen.
65 Passt die Mathematik zur Welt? 164
Sind die Folgerungen aus den Axiomen „plausibel ? Banach-Tarski-Paradoxon.
66 Mathematik, die man hören kann 166
Fourier-Analyse.
Der Sinus als Eigenfrequenz einer
„black box .
67 Der Zufall als Komponist 170
Mozarts Würfelkompositionen.
68 Hat der Würfel ein schlechtes Gewissen? 172
Ist der Zufall gedächtnislos?
69 Erdbeereis kann tödlich sein! 174
Lügen mit Statistik.
70 Wohlstand für alle! l 176
Kettenbriefe in einer unendlichen Welt.
71 Bitte kein Risiko! 178
Hedging in
der Finanzmathematik.
72 Der mathematische Nobelpreis 180
Abelpreis.
73 Der Zufall als Rechenknecht: Monte-Carlo-Verfahren 183
Wie berechnet man Flächeninhalte mit einem Zufallsgenerator?
74 Die „fusselige Logik 186
Fuzzy-Logik. Fuzzy-Steuerung.
75 Geheime Nachrichten in der Bibel? 188
Zahlenmystik. Bibelcode. Gesetz der kleinen Zahlen.
76 Wie verknotet kann ein Knoten sein? 191
Knotentheorie.
К
noten
invarianten.
77 Wieviel Mathematik braucht der Mensch? 194
Wozu Mathematik?
XIV
78 Groß, größer, am größten 196
Hierarchien der Unendlichkeit. Das Cantorsche Diagonalverfahren.
79 Das ist wahrscheinlich richtig 198
Wahrscheinlichkeitstheoretische Beweise. Nachweis der Primzahleigenschaft.
Shor-Algorithmus für Quantencomputer.
80 Ist die Welt „krumm ? 200
Nichteuklidische Geometrien.
81 Gibt es eine mathematische DIN-Norm? 202
Die mathematische Fachsprache ist (bis auf wenige Ausnahmen) standardisiert.
82 Der überstrapazierte Schmetterling 204
Chaostheorie. Lineare Probleme.
83 Garantiert reich! 206
Das Phänomen der großen Zahlen.
84 Traue keinem über 30 208
Lässt die mathematische Kreativität im Alter schnell nach?
85 Gleichheit in der Mathematik 209
Der Gleichheitsbegriff hängt vom jeweiligen Zusammenhang ab.
86 Zauberhafte Invarianten 210
Mathematik und Zaubern.
87
Mathematics go cinema
213
Wie wird Mathematik im Film dargestellt?
88 Die liegende Acht: Unendlich 214
Wie rechnen Mathematiker mit der Unendlichkeit?
89 Mehr Rand in Büchern! 216
Das Fermat-Problem. La
descente infinie.
90 Mathematik macht Organe sichtbar 218
Computertomographie.
Inverse
Probleme.
91 Ein Gehirn im Computer 220
Neuronale Netze. Perzeptron.
92
Cogito, ergo
sum
223
Descartes. Kartesisches
Koordinatensystem.
XV
93 Hat die Welt ein Loch? 226
Poincaré-
Problem.
94 Komplexe Zahlen sind gar nicht so kompliziert, wie der Name suggeriert 228
Komplexe Zahlen.
95 Der Grafiker Mauritz Escher und die Unendlichkeit 231
Mauritz Escher: Parkettierungen.
96 Eine Eins am Anfang ist viel wahrscheinlicher als eine Zwei 234
Das Benfordsche Gesetz.
97 Das Leipziger Rathaus und die Sonnenblume 236
Der goldene Schnitt. Fibonacci-Folge. Kettenbrüche.
98 Information optimal verpackt 240
Codierungstheorie. Kontrollbits.
Hamming-Code.
99 Vier Farben reichen immer 243
Das Vierfarbenproblem. Graphen.
100 Mit Mathematik zum Milliardär 247
Der Google-Algorithmus.
f-
Register ■ 250
Literatur-Empfehlungen 254
xvi
|
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Inhalt
1 Der Zufall lässt sich nicht überlisten 1
Wie wahrscheinlich ist ein Lotto-Hauptgewinn?
2 Bezaubernde Mathematik: Zahlen 4
Der lOOl-Zaubertrick.
3 Wie alt ist der Kapitän? 6
Mathematische Exaktheit. Windchiliformel.
4 Schwindelerregend große Primzahlen 8
Es gibt unendlich viele Primzahlen. Euklids Beweis.
5 Verlust plus Verlust gleich Gewinn: das paradoxe Glücksspiel
des Physikers Juan Parrondo 10
Paradoxien der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Parrondo-, Geburtstags- und Permutationsparadoxon.
6 Bei großen Zahlen versagt die Vorstellung 12
Kettenbriefe. Die Parabel vom Reiskorn.
7 Das Codewort zum Verschlüsseln steht im Telefonbuch 15
Public key cryptography.
Verschlüsseln mit Zufallszahlen. '
8 Vom Dorfbarbier, der sich selbst rasiert 18
Russeis Paradoxon.
9 Aufhören, wenn es am schönsten ist? 20
Stoppzeit. Stoppzeitentheorem.
10 Können auch Schimpansen „hohe Literatur" schreiben? 22
Der Affe an der Schreibmaschine.
11 Das Geburtstagsparadoxon 24
Wie wahrscheinlich ist ein Doppelgeburtstag?
12
Horror vacui
28
Die leere Menge, Vereinigung und Durchschnitt.
13 Das hinreichende Leid mit der Logik
der Mathematik ist wohl eine Notwendigkeit 30
Notwendig und hinreichend.
14 Wechseln oder nicht wechseln? 32
Ziegen
problem.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Bayes-Formel.
χ
15
In Huberts Hotel
ist immer ein Zimmer frei 40
Huberts Hotel.
16 Viel mehr als
Pi mai
Daumen: die Faszination einer Zahl 42
ћ.
π
in der Bibel. Einfache Abschätzungen.
17 Wie unsichere Zufälle zu berechenbaren Größen werden 44
Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
18 Eine Million Dollar Belohnung: Wie sind die Primzahlen verteilt? 47
Primzahlverteilung. Primzahlsatz. Riemannsche Vermutung.
19 Der fünfdimensionale Kuchen 50
Dimension. Der
vierdimensionale
Würfel (Hypereubus).
20 Die Mädchenhandelsschule 53
Assoziativ- und Kommutativgesetz in der Mathematik und in der Sprache.
21
Fly me to the moon
56
Konkrete Anwendungen der Mathematik.
22 Resteverwertung 58
α
mod b.
Das Rechnen
modulo
einer Zahl. Satz von
Fermat.
23 Streng geheim! 60
Das RSA-Verfahren. Satz von Euler.
24 Bezaubernde Mathematik: Ordnung im Chaos 64
Der Gilbreath-Zaubertrick.
25 Wie nähert man sich einem Genie? 67
Gauß. 17-Eck. Fermat-Primzahlen.
26 Von Halbtönen und zwölften Wurzeln 70
Pythagoreische und chromatische Tonleiter.
27 Man steht immer in der falschen Schlange 72
Warteschlangen.
28 Die Null, eine zu Unrecht unterschätzte Zahl 74
Die Null.
29 Kombiniere! 76
Einige kombinatorische Ergebnisse. Binomialkoeffizienten.
30 Durch Selbststudium zum Genie: Der indische Mathematiker Ramanujan 80
Ramanujan.
xi
31 Ich hasse Mathematik, weil . 82
Warum ¡st das Fach so unbeliebt?
32 Der Handlungsreisende: der moderne
Odysseus
84
Das Problem des Handlungsreisenden. P^-NP?
33 Quadratur des Kreises 86
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
34 Der Schritt ins Unendliche 91
Induktionsbeweise.
35 Mathematik im CD-Player 94
Codierung. Abtasttheorem.
36 Logarithmen, eine aussterbende Spezies 96
Logarithmen. Multiplikation durch Addition von Logarithmen.
37 Preiswürdige Mathematik 98
Abel-Preis. Fields-Medaillen.
38 Wozu in aller Welt Axiome? 100
Axiomensysteme.
39 Beweise mit dem Computer? ·■ 102
Computerbeweise. Vierfarbenproblem.
40 Lotto: das kleine Glück 104
Wahrscheinlichkeiten für 0, 1.6 Richtige.
41 Konzentrierte Gedanken: warum Formeln? 106
Vorteile der Formelschreibweise.
Descartes.
42 Wachstum ohne Ende 108
Die Zahl e. Exponentialfunktion.
43 Wie rechnen Quanten? 111
Quantencomputer. QBits.
44 Extrem! 114
Extremwertaufgaben.
Simulated annealing.
45 Unendlich klein? 116
Unendlich kleine Größen.
Nonstandard
analysis.
46 Mathematische Betrachtungen in der Leitzentrale der Feuerwehr 118
Fehler 1. und 2. Art.
xii
47 Der erste mathematische Beweis ist schon 2500 Jahre alt 120
Die Elemente des Euklid. Satz von Thaies.
48 !n der Mathematik gibt es Transzendenz, doch mit Mystik
hat das nichts zu tun 123
Hierarchie der Zahlen: natürliche, ganze, rationale, . . . Zahlen.
49 Kann man jede gerade Zahl als Summe von zwei Primzahlen schreiben? 126
Gold bach-
Vermutung.
50 Von der Unfähigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten richtig umzukehren 129
Bayes-Formel.
51 Milliardär oder
Billionär
132
Bezeichnungsweisen in verschiedenen Sprachen.
52 Mathematik und Schach 134
Spielregeln
vs.
Axiome.
53 „Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben" 136
Mathematik und Realität. Wie wird Mathematik angewendet?
54 Ein Pater eröffnete im 17. Jahrhundert die Jagd
nach immer größeren Primzahlen 139
Primzahlrekorde.
55 Die schönste Formel wurde im 18. Jahrhundert in Berlin entdeckt 142
0 — 1 +
βίπ
. Reihenentwicklungen für Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus.
56 Die erste wirklich komplizierte Zahl 144
Die Wurzel aus Zwei ¡st irrational.
57 P=NP: Ist Glück in der Mathematik manchmal entbehrlich? 146
P- und NP-Probleme.
58 Glückwunsch zum 32. Geburtstag! 148
Verschiedene Zahlendarstellungen.
59 Buffons Nadel 150
Das BufFonsche Experiment zur Bestimmung von
π.
60 Von heiß nach kalt: Kontrolliertes Abkühlen löst Optimierungsprobleme 153
Simulated annealing.
Das Problem des Handlungsreisenden.
61 Wer hat nicht bezahlt? 156
Nichtkonstruktive Existenzbeweise. Schubkastenprinzip.
Xlii
62 Was kann Statistik? 158
Qualitätskontrolle mit Statistik.
63 Von Pferden und Finanzmärkten: Arbitrage 160
Arbitrage. Optionen. Preisfestsetzung nach dem Arbitrageprinzip.
64 Risiko ade: Optionen 162
Put- und Call-Optionen.
65 Passt die Mathematik zur Welt? 164
Sind die Folgerungen aus den Axiomen „plausibel"? Banach-Tarski-Paradoxon.
66 Mathematik, die man hören kann 166
Fourier-Analyse.
Der Sinus als Eigenfrequenz einer
„black box".
67 Der Zufall als Komponist 170
Mozarts Würfelkompositionen.
68 Hat der Würfel ein schlechtes Gewissen? 172
Ist der Zufall gedächtnislos?
69 Erdbeereis kann tödlich sein! 174
Lügen mit Statistik.
70 Wohlstand für alle! l' 176
Kettenbriefe in einer unendlichen Welt.
71 Bitte kein Risiko! 178
Hedging in
der Finanzmathematik.
72 Der mathematische Nobelpreis 180
Abelpreis.
73 Der Zufall als Rechenknecht: Monte-Carlo-Verfahren 183
Wie berechnet man Flächeninhalte mit einem Zufallsgenerator?
74 Die „fusselige" Logik 186
Fuzzy-Logik. Fuzzy-Steuerung.
75 Geheime Nachrichten in der Bibel? 188
Zahlenmystik. Bibelcode. Gesetz der kleinen Zahlen.
76 Wie verknotet kann ein Knoten sein? 191
Knotentheorie.
К
noten
invarianten.
77 Wieviel Mathematik braucht der Mensch? 194
Wozu Mathematik?
XIV
78 Groß, größer, am größten 196
Hierarchien der Unendlichkeit. Das Cantorsche Diagonalverfahren.
79 Das ist wahrscheinlich richtig 198
Wahrscheinlichkeitstheoretische Beweise. Nachweis der Primzahleigenschaft.
Shor-Algorithmus für Quantencomputer.
80 Ist die Welt „krumm"? 200
Nichteuklidische Geometrien.
81 Gibt es eine mathematische DIN-Norm? 202
Die mathematische Fachsprache ist (bis auf wenige Ausnahmen) standardisiert.
82 Der überstrapazierte Schmetterling 204
Chaostheorie. Lineare Probleme.
83 Garantiert reich! 206
Das Phänomen der großen Zahlen.
84 Traue keinem über 30 208
Lässt die mathematische Kreativität im Alter schnell nach?
85 Gleichheit in der Mathematik 209
Der Gleichheitsbegriff hängt vom jeweiligen Zusammenhang ab.
86 Zauberhafte Invarianten 210
Mathematik und Zaubern.
87
Mathematics go cinema
213
Wie wird Mathematik im Film dargestellt?
88 Die liegende Acht: Unendlich 214
Wie rechnen Mathematiker mit der Unendlichkeit?
89 Mehr Rand in Büchern! 216
Das Fermat-Problem. La
descente infinie.
90 Mathematik macht Organe sichtbar 218
Computertomographie.
Inverse
Probleme.
91 Ein Gehirn im Computer 220
Neuronale Netze. Perzeptron.
92
Cogito, ergo
sum
223
Descartes. Kartesisches
Koordinatensystem.
XV
93 Hat die Welt ein Loch? 226
Poincaré-
Problem.
94 Komplexe Zahlen sind gar nicht so kompliziert, wie der Name suggeriert 228
Komplexe Zahlen.
95 Der Grafiker Mauritz Escher und die Unendlichkeit 231
Mauritz Escher: Parkettierungen.
96 Eine Eins am Anfang ist viel wahrscheinlicher als eine Zwei 234
Das Benfordsche Gesetz.
97 Das Leipziger Rathaus und die Sonnenblume 236
Der goldene Schnitt. Fibonacci-Folge. Kettenbrüche.
98 Information optimal verpackt 240
Codierungstheorie. Kontrollbits.
Hamming-Code.
99 Vier Farben reichen immer 243
Das Vierfarbenproblem. Graphen.
100 Mit Mathematik zum Milliardär 247
Der Google-Algorithmus.
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Literatur-Empfehlungen 254
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