Verfügbarkeit: Suites de Sturm, indice de Maslov et périodicité de Bott

Suites de Sturm, indice de Maslov et périodicité de Bott:

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Bibliographische Detailangaben
Hauptverfasser:	Barge, Jean (VerfasserIn), Lannes, Jean 1947- (VerfasserIn)
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Veröffentlicht:	Basel [u.a.] Birkhäuser 2008
Schriftenreihe:	Progress in mathematics Volume 267
Schlagworte:	Indices de Maslov K-théorie Topologie algébrique Algebraic topology K-theory Maslov index Sturmsche Kette Bott-Periodizität Maslov-Index K-Theorie
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adam_text	TABLE DES MATI` ERES 1 INTRODUCTION 1.1 INTERPR´ ETATION DE LA TH´ EORIE DES SUITES DE STURM EN TERMES DE SIGNATURES ET DINDICE DE MASLOV . . . . . . . . . . . . 1 1.2 ´ ENONC´ E DU TH´ EOR` EME FONDAMENTAL DE LA K-TH´ EORIE HERMITIENNE ET ESQUISSE DE NOTRE D´ EMONSTRATION . . . . . . . . . 4 1.3 RELATION AVEC LA P´ ERIODICIT´ E DE BOTT . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 PLAN DU M´ EMOIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 CONSEILS DE LECTURE POUR LE LECTEUR PRESS´ E . . . . . . . . . . . . . 11 AVERTISSEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 CR´ EDITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 ALG` EBRE LIN´ EAIRE SYMPLECTIQUE 2.1 D´ EFINITIONS ET NOTATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 FORMES DE STURM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 R´ EDUCTION SYMPLECTIQUE, FORMES G´ EN´ ERATRICES . . . . . . . . . . . 23 2.4 RAFFINEMENTS DE LA PROPOSITION 2.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 SUR LA COMPOSANTE CONNEXE* DU POINT BASE DANS LA LAGRANGIENNE INFINIE 3.1 LA PROPOSITION CL´ E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 RELATIONS ENTRE LA PROPOSITION 3.1.1 ET LA TH´ EORIE DE RANICKI [RA4] [RA1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 COMPL´ EMENTS : FORMES PRIMITIVES, FORMES DENLACEMENT . . . . . 37 3.3.1 FORMES PRIMITIVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.2 LAGRANGIENS ET FORMES DENLACEMENT . . . . . . . . . . . 42 VI TABLE DES MATI` ERES 4 LE TH´ EOR` EME FONDAMENTAL DE LA K -TH´ EORIE HERMITIENNE, ` A LA KAROUBI-VILLAMAYOR 4.1 ´ ENONC´ E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 D´ EMONSTRATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 INDICE DE MASLOV DUN QUASI-LACET DE LAGRANGIENS . . . . . . . . 59 4.4 COMMENTAIRES SUR LA D´ EFINITION DE LINDICE DE MASLOV, RELATION AVEC LA TH´ EORIE DE RANICKI (SUITE) . . . . . . . . . . . . 62 4.5 UN AVATAR DU GROUPE ( * 0 F )( R ) : LE GROUPE V( R ) DE KAROUBI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.1 LE GROUPE V( R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.2 LIENS ENTRE LES GROUPES V( R ) ET ( * 0 F )( R ) . . . . . . . . 73 4.5.3 RETOUR SUR LA D´ EFINITION DE LINDICE DE MASLOV . . . . . . 75 4.6 INDICE DE MASLOV ET FORMES DENLACEMENT SUR K [ T ] ( K UN CORPS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.7 VERSIONS TOPOLOGIQUES DU TH´ EOR` EME 4.2.10 . . . . . . . . . . . . 82 4.8 BANDE-ANNONCE DU CHAPITRE 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5 SUITES DE STURM ET H 2 DE LHOMOMORPHISME HYPERBOLIQUE 5.1 LEXTENSION CENTRALE CANONIQUE DE ESP( R ) GL( R ) PAR V( R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 D´ EMONSTRATIONS CONCERNANT LHOMOMORPHISME µ . . . . . . . . . 97 5.3 D´ EMONSTRATIONS CONCERNANT LHOMOMORPHISME * . . . . . . . . . 104 5.4 INTERPR´ ETATION DE LISOMORPHISME A( R ) = V( R ) EN TERMES DHOMOLOGIE DES GROUPES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6 G´ EN´ ERALISATIONS 6.1 LE CAS LIN´ EAIRE (P´ ERIODICIT´ E DE BOTT COMPLEXE) . . . . . . . . . 126 6.2 LE CAS BILIN´ EAIRE (P´ ERIODICIT´ E DE BOTT R´ EELLE) . . . . . . . . . . 131 6.2.1 D´ EFINITION DES FONCTEURS L I . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2.2 RELATION ENTRE L I +1 ET S L I POUR I * 0 (MOD 2) . . . . 142 6.2.3 RELATION ENTRE L I +1 ET * G M L I POUR I * 1 (MOD 2) . . . 146 APPENDICES A TECHNOLOGIE DES FORMES DE STURM A.1 VERSION MATRICIELLE DE LA PROPOSITION 2.2.2 . . . . . . . . . . . . 159 A.2 SUR LES FORMES DE STURM NON-D´ EG´ EN´ ER´ EES . . . . . . . . . . . . . 161 A.3 CALCUL DE D´ ETERMINANTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 TABLE DES MATI` ERES VII A.4 IDENTIT´ E DU TRIN* OME ET FORMES DE STURM . . . . . . . . . . . . . 165 A.5 FORMES DE STURM ET R´ ESIDU DE FORMES BILIN´ EAIRES SYM´ ETRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 B D´ EMONSTRATION DE LA PROPOSITION 2.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 C SUR LE GRAPHE BIPARTITE ASSOCI´ E` A LA RELATION DE TRANSVERSALIT´ E DES LAGRANGIENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 D INVARIANCE HOMOTOPIQUE DU * W 1 D.1 SUR LINVARIANT DE WITT DUN LAGRANGIEN LIBRE . . . . . . . . . . . 186 D.2 LE LEMME DE PARDON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 D.3 LIN´ EARISATION ` A LA BALMER [ BA ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 D.4 D´ EMONSTRATION DU TH´ EOR` EME D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 R´ EF´ ERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
adam_txt	TABLE DES MATI` ERES 1 INTRODUCTION 1.1 INTERPR´ ETATION DE LA TH´ EORIE DES SUITES DE STURM EN TERMES DE SIGNATURES ET DINDICE DE MASLOV . . . . . . . . . . . . 1 1.2 ´ ENONC´ E DU TH´ EOR` EME FONDAMENTAL DE LA K-TH´ EORIE HERMITIENNE ET ESQUISSE DE NOTRE D´ EMONSTRATION . . . . . . . . . 4 1.3 RELATION AVEC LA P´ ERIODICIT´ E DE BOTT . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 PLAN DU M´ EMOIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 CONSEILS DE LECTURE POUR LE LECTEUR PRESS´ E . . . . . . . . . . . . . 11 AVERTISSEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 CR´ EDITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 ALG` EBRE LIN´ EAIRE SYMPLECTIQUE 2.1 D´ EFINITIONS ET NOTATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 FORMES DE STURM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 R´ EDUCTION SYMPLECTIQUE, FORMES G´ EN´ ERATRICES . . . . . . . . . . . 23 2.4 RAFFINEMENTS DE LA PROPOSITION 2.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 SUR LA COMPOSANTE CONNEXE* DU POINT BASE DANS LA LAGRANGIENNE INFINIE 3.1 LA PROPOSITION CL´ E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 RELATIONS ENTRE LA PROPOSITION 3.1.1 ET LA TH´ EORIE DE RANICKI [RA4] [RA1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 COMPL´ EMENTS : FORMES PRIMITIVES, FORMES DENLACEMENT . . . . . 37 3.3.1 FORMES PRIMITIVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.2 LAGRANGIENS ET FORMES DENLACEMENT . . . . . . . . . . . 42 VI TABLE DES MATI` ERES 4 LE TH´ EOR` EME FONDAMENTAL DE LA K -TH´ EORIE HERMITIENNE, ` A LA KAROUBI-VILLAMAYOR 4.1 ´ ENONC´ E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 D´ EMONSTRATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 INDICE DE MASLOV DUN QUASI-LACET DE LAGRANGIENS . . . . . . . . 59 4.4 COMMENTAIRES SUR LA D´ EFINITION DE LINDICE DE MASLOV, RELATION AVEC LA TH´ EORIE DE RANICKI (SUITE) . . . . . . . . . . . . 62 4.5 UN AVATAR DU GROUPE ( * 0 F )( R ) : LE GROUPE V( R ) DE KAROUBI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.1 LE GROUPE V( R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.2 LIENS ENTRE LES GROUPES V( R ) ET ( * 0 F )( R ) . . . . . . . . 73 4.5.3 RETOUR SUR LA D´ EFINITION DE LINDICE DE MASLOV . . . . . . 75 4.6 INDICE DE MASLOV ET FORMES DENLACEMENT SUR K [ T ] ( K UN CORPS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.7 VERSIONS TOPOLOGIQUES DU TH´ EOR` EME 4.2.10 . . . . . . . . . . . . 82 4.8 BANDE-ANNONCE DU CHAPITRE 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5 SUITES DE STURM ET H 2 DE LHOMOMORPHISME HYPERBOLIQUE 5.1 LEXTENSION CENTRALE CANONIQUE DE ESP( R ) GL( R ) PAR V( R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 D´ EMONSTRATIONS CONCERNANT LHOMOMORPHISME µ . . . . . . . . . 97 5.3 D´ EMONSTRATIONS CONCERNANT LHOMOMORPHISME * . . . . . . . . . 104 5.4 INTERPR´ ETATION DE LISOMORPHISME A( R ) = V( R ) EN TERMES DHOMOLOGIE DES GROUPES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6 G´ EN´ ERALISATIONS 6.1 LE CAS LIN´ EAIRE (P´ ERIODICIT´ E DE BOTT COMPLEXE) . . . . . . . . . 126 6.2 LE CAS BILIN´ EAIRE (P´ ERIODICIT´ E DE BOTT R´ EELLE) . . . . . . . . . . 131 6.2.1 D´ EFINITION DES FONCTEURS L I . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2.2 RELATION ENTRE L I +1 ET S L I POUR I * 0 (MOD 2) . . . . 142 6.2.3 RELATION ENTRE L I +1 ET * G M L I POUR I * 1 (MOD 2) . . . 146 APPENDICES A TECHNOLOGIE DES FORMES DE STURM A.1 VERSION MATRICIELLE DE LA PROPOSITION 2.2.2 . . . . . . . . . . . . 159 A.2 SUR LES FORMES DE STURM NON-D´ EG´ EN´ ER´ EES . . . . . . . . . . . . . 161 A.3 CALCUL DE D´ ETERMINANTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 TABLE DES MATI` ERES VII A.4 IDENTIT´ E DU TRIN* OME ET FORMES DE STURM . . . . . . . . . . . . . 165 A.5 FORMES DE STURM ET R´ ESIDU DE FORMES BILIN´ EAIRES SYM´ ETRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 B D´ EMONSTRATION DE LA PROPOSITION 2.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 C SUR LE GRAPHE BIPARTITE ASSOCI´ E` A LA RELATION DE TRANSVERSALIT´ E DES LAGRANGIENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 D INVARIANCE HOMOTOPIQUE DU * W 1 D.1 SUR LINVARIANT DE WITT DUN LAGRANGIEN LIBRE . . . . . . . . . . . 186 D.2 LE LEMME DE PARDON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 D.3 LIN´ EARISATION ` A LA BALMER [ BA ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 D.4 D´ EMONSTRATION DU TH´ EOR` EME D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 R´ EF´ ERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
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