Les équations aux dérivées partielles en physique et en mécanique des milieux continus:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | French |
| Veröffentlicht: |
Paris
Masson
1976
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Préface v
Avant-propos 1
Avertissement sur la terminologie et les notations adoptées 3
Chapitre premier. - Considérations générales sur les équations aux dérivées partielles 5
1.1. Introduction 5
1.2. Notion d analycité 6
1.3. Sur quelques caractères généraux des solutions des équations aux dérivées par¬
tielles 7
Principe de superposition 11
1.4. Conditions aux frontières 12
1.5. Systèmes normaux 15
1.6. Théorème d existence et d unicité 17
1.7. Le problème de Cauchy 19
Proposition du problème de Cauchy 19
Enoncé du théorème d existence et d unicité 20
Démonstration du théorème d existence et d unicité 25
1.8. Solutions généralisées 33
1.9. Transformation de Legendre 34
Application à l intégration des équations aux dérivées partielles 37
Cas de n variables 39
Chapitre 2. - Modèles mathématiques utilisés en mécanique et en physique 40
2.1. Introduction 40
2.2. Phénomènes vibratoires 40
Diffusions et équilibres thermiques 41
2.3. Mécanique des milieux continus. Théorie de l élasticité 42
Les équations de l aérodynamique et de l hydrodynamique 44
Théorème de Bernoulli 49
Théorème de Lagrange 50
2.4. Electromagnétisme. Les équations de Maxwell 52
Les équations de Maxwell en coordonnées curvilignes orthogonales: 57
2.5. Ondes acoustiques 58
2.6. Equations des télégraphistes 60
Chapitre 3. - Equations du premier ordre 62
3.1. Cône de Monge 62
3.2. Equations quasi-linéaires: 64
3.3. Courbes caractéristiques et surfaces intégrales 68
3.4. Problème de Cauchy dans le cas des équations quasi-linéaires 74
3.5. Equations du premier ordre. Cas général 80
Méthode de Lagrange-Charpit 84
Problème de Cauchy dans le cas de l équation générale du premier ordre 88
vii
viii TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 4. - Equations du second ordre 90
4.1 Introduction 90
4.2. Classification des équations du second ordre: 90
4.3. Classification des équations dans le cas de deux variables indépendantes 92
Remarque 99
4.4. Equations de type mixte 99
4.5. Courbes caractéristiques et problème de Cauchy dans le cas de l équation
quasi-linéaire à deux variables 101
4.6. Autres propriétés des courbes caractéristiques 105
Intégrale intermédiaire : 107
4.7. Cas de l équation générale du second ordre: 109
Chapitre 5. - Equations hyperboliques. Propagations d ondes 114
5.1. Equation des cordes vibrantes. Solution de d Alembert 114
5.2. Corde vibrante. Analyse de Fourier 118
5.3. L équation des ondes. Principe de Huyghens 121
Cas des ondes cylindriques 125
Solution de l équation des ondes exprimée à l aide des potentiels retardés .... 126
5.4. Propagation en milieu dispersif 127
5.5. Résolution de l équation hyperbolique linéaire par la méthode des approxima¬
tions successives 130
Problème de Goursat 133
5.6. Aperçus complémentaires sur le rôle des caractéristiques 134
5.7. Méthode de Riemann 135
Chapitre 6. - Potentiels newtoniens. Equation de Laplace 140
6.01. Fonctions harmoniques 140
6.1. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions harmoniques 143
6.2. Problème de Dirichlet 145
Problème de Neumann 146
6.3. Fonctions harmoniques et représentation conforme 147
6.4. Résolution des problèmes de Dirichlet et de Neumann 149
Formules de Green 149
Lemme de Green 150
Propriétés des fonctions harmoniques dans IR3 déduites des formules et du
lemme de Green 152
Sur une nouvelle définition de l harmonicité 154
La fonction de Green 156
Solution du problème intérieur de Dirichlet pour un domaine sphérique 157
Problème extérieur de Dirichlet 160
6.5. Problème de Neumann 162
6.6. Méthode de séparation des variables 163
Coordonnées ellipsoïdales 167
6.7. Equation de Helmholtz 170
Membranes vibrantes circulaires 173
L équation de Helmholtz et la condition de Sommerfeld 174
Chapitre 7. - L équation de diffusion 176
7.1. L équation de diffusion de la chaleur 176
La solution fondamentale 177
Sur quelques propriétés fondamentales des solutions 177
7.2. Le problème du «mun de Fourier 178
Théorème 178
7.3. Cas de la barre infinie 181
7.4. Transformées de Laplace 182
Index alphabétique des matières 187
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