Einführung in die höhere Mathematik: für Studierende und zum Selbststudium 2 Differentialrechnung - Unendliche Reihen - Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Hirzel
1972
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| Ausgabe: | 14. Aufl. |
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H.V.MANGOLDTS EINFUEHRUNG IN DIE HOEHERE MATHEMATIK FUER STUDIERENDE UND
ZUM SELBSTSTUDIUM SEIT DER SECHSTEN AUFLAGE NEU HERAUSGEGEBEN UND
ERWEITERT VON KONRAD KNOPP E. O. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER
UNIVERSITAET TUEBINGEN ZWEITER BAND DIFFERENTIALRECHNUNG * UNENDLICHE
REIHEN ELEMENTE DER DIFFERENTIALGEOMETRIE UND DER FUNKTIONENTHEORIE 14.
AUFLAGE MIT 115 FIGUREN IM TEXT S. HIRZEL VERLAG LEIPZIG 1972 I
INHALTSVERZEICHNIS ERSTER ABSCHNITT GRUNDREGELN DER DIFFERENTIALRECHNUNG
FUER FUNKTIONEN EINER VERAENDERLICHEN BEGRIFF UND BEDEUTUNG EINES
DIFFERENTIALQUOTIENTEN NR. SEITE I. EINLEITENDE BETRACHTUNGEN I 2.
DIFFERENTIALRECHNUNG UND INTEGRALRECHNUNG 9 3. DIFFERENZIERBARKEIT 11 4.
EINSEITIGE UND UNENDLICHE ABLEITUNGEN. . . . -. 16 5.
DIFFERENZIERBARKEIT IN EINEM INTERVALL 18 6. GEOMETRISCHE UND
PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER ABLEITUNG 19 GRUNDREGELN DER
DIFFERENTIALRECHNUNG 7. VORBEMERKUNGEN 20 8. DIFFERENTIATIONEN EINER
KONSTANTEN UND DER FUNKTION X 23 9. DIFFERENTIATION EINER SUMME 24 10.
DIFFERENTIATION EINES PRODUKTES 25 11. DIFFERENTIATION EINER POTENZ 27
12. DIFFERENTIATION EINES QUOTIENTEN 28 13 DIFFERENTIATION DER
RATIONALEN FUNKTIONEN 29 14. DIFFERENTIATION DER EXPONENTIALFUNKTION 30
15. DIFFERENTIATION DER LOGARITHMEN. NATUERLICHE LOGARITHMEN 3T 16.
DIFFERENTIATION DER KREIS- UND HYPERBELFUNKTIONEN 34 17 DIFFERENTIATION
EINER MITTELBAREN FUNKTION 36 18. DIFFERENTIATION DER ALLGEMEINEN POTENZ
UND DER WURZELN 41 19. DIFFERENTIATION EINER INVERSEN FUNKTION 45 20.
DIFFERENTIATION DER ZYKLOMETRISCHEN UND DER AREA-FUNKTIONEN 48 21.
DIFFERENZIERBARKEIT GESCHLOSSENER ANALYTISCHER AUSDRUECKE 53 22.
STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT 56 23. GRUENDE FUER DIE
UNZULAENGLICHKEIT DER ANSCHAUUNG UND FUER DIE BEVORZUGUNG DIFFE-
RENZIERBARER FUNKTIONEN 60 24. VERMISCHTE UEBUNGSAUFGABEN 63 VII
INHALTSVERZEICHNIS ZWEITER ABSCHNITT DIFFERENTIALE. MITTELWERTSATZ.
TAYLORSCHER SATZ DIFFERENTIALE. MITTELWERTSATZ NR. SEITE 25. DAS
DIFFERENTIAL EINER FUNKTION /(#) 67 26. VORTEILE DER DIFFERENTIELLEN
SCHREIBWEISE 70 27. DIE BEDEUTUNG DES VORZEICHENS DER ABLEITUNG 72 28.
DER SATZ VON ROLLE 74 29. DER MITTELWERTSATZ DER DIFFERENTIALRECHNUNG 76
30. EINFACHSTE ANWENDUNGEN DES MITTELWERTSATZES 78 31. ERWEITERUNG DES
MITTELWERTSATZES 80 ABLEITUNGEN UND DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG 32.
DIE ABLEITUNG F'(X) ALS FUNKTION VON X 81 33. ABLEITUNGEN ZWEITER UND
HOEHERER ORDNUNG 83 34. PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER ZWEITEN ABLEITUNG 84
35. DIE HOEHEREN ABLEITUNGEN DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 86 36. DIE
HOEHEREN ABLEITUNGEN EINER SUMME UND EINES PRODUKTES 89 37. DIE HOEHEREN
ABLEITUNGEN EINER MITTELBAREN FUNKTION 90 38. HOEHERE DIFFERENZEN 91 39.
DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG 94 40. GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DER ZWEITEN
ABLEITUNG. KONVEXITAET UND KONKAVITAET 96 41. ERMITTLUNG DER GESTALT DES
GEOMETRISCHEN BILDES EINER FUNKTION 101 42. NEWTONS NAEHERUNGSVERFAHREN
ZUR AUFLOESUNG EINER GLEICHUNG UND DIE REGULA FALSI 104 DER TAYLORSCHE
SATZ 43. ENTWICKLUNG EINER GANZEN RATIONALEN FUNKTION NACH POTENZEN
EINES ZUWACHSES IHRES ARGUMENTES 110 44. DIE SAETZE VON TAYLOR UND
MACLAURIN IN 45. BEWEIS DER SAETZE VON TAYLOR UND MACLAURIN 114
ENTWICKLUNG DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 46. BEDEUTUNG DES TAYLORSCHEN
SATZES 116 47. DARSTELLUNG DER EXPONENTIALFUNKTION 118 48. BERECHNUNG
DER EXPONENTIALFUNKTION, INSBESONDERE DER ZAHLE 118 49. IRRATIONALITAET
VON E . . . . * 122 50. ENTWICKLUNG DER FUNKTIONEN SIN* UND COS* 123 51.
ENTWICKLUNG DER LOGARITHMUSFUNKTION 125 52. BERECHNUNG DER LOGARITHMEN
127 53. ALLGEMEINE EXPONENTIALFUNKTION UND ALLGEMEINE POTENZ 13 2 54.
ERWEITERUNG DES BINOMIALLEHRSATZES , 133 55. ENTWICKLUNG DER FUNKTION
ARCTG* 137 56. BERECHNUNG DER ZAHL N 139 57. ENTWICKLUNG DER FUNKTION
ARESIN* 142 VIII INHALTSVERZEICHNIS DRITTER ABSCHNITT MINIMA UND MAXIMA.
GRENZWERTE MINIMA UND MAXIMA NR. SEITE 58. BEGRIFF EINES MINIMUMS ODER
MAXIMUMS 144 59. BEDINGUNGEN FUER DAS AUFTRETEN EINES MINIMUMS ODER
MAXIMUMS 145 60. BEISPIELE 150 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN 61. ALLGEMEINE
BEMERKUNGEN UEBER DIE BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN 164 62. ERSTE
GRUNDAUFGABE: BESTIMMUNG DES GRENZWERTES EINES BRUCHES, DESSEN ZAEHLER
UND NENNER BEIDE GEGEN NULL STREBEN 169 63. ZWEITE GRUNDAUFGABE:
BESTIMMUNG DES GRENZWERTES EINES BRUCHES, DESSEN NENNER GEGEN +00 ODER
*00 STREBT 174 64. ZURUECKFUEHRUNG ANDERER AUFGABEN AUF DIE GRUNDAUFGABEN
. 178 65. ZUSAETZE 180 UNENDLICH KLEIN, UNENDLICH GROSS 66. UNENDLICH
KLEIN WERDENDE FUNKTIONEN 183 67. VON VERSCHIEDENER ORDNUNG UNENDLICH
KLEIN WERDENDE FUNKTIONEN 184 68. VON VERSCHIEDENER ORDNUNG UNENDLICH
GROSS WERDENDE FUNKTIONEN 187 69. 0 UND 0 189 VIERTER ABSCHNITT
UNENDLICHE REIHEN 70. VORBEMERKUNGEN 194 71. UNENDLICHE REIHEN 195 72.
KONVERGENZ UND DIVERGENZ 19S 73. DIE TAYLORSCHE REIHE 201 REIHEN MIT
POSITIVEN GLIEDERN 74. DAS I. HAUPTKRITERIUM . . . 204 75. DIE BEIDEN
VERGLEICHSKRITERIEN 207 76. DAS WURZEL- UND DAS QUOTIENTENKRITERIUM 211
REIHEN MIT BELIEBIGEN GLIEDERN 77. DAS II. HAUPTKRITERIUM 214 78. DAS
RECHNEN MIT KONVERGENTEN REIHEN 216 79. ABSOLUTE KONVERGENZ 221 80.
BEDINGTE UND UNBEDINGTE KONVERGENZ 224 81. DER GROSSE UMORDNUNGSSATZ .
228 82. MULTIPLIKATION UNENDLICHER REIHEN 233 83. DAS ABELSCHE
KONVERGENZKRITERIUM '. , 237 INHALTSVERZEICHNIS POTENZREIHEN NR. SEITE
84. KONVERGENZRADIUS EINER POTENZREIHE 239 85. IDENTITAETSSATZ FUER
POTENZREIHEN 242 86. TRANSFORMATION AUF EINEN NEUEN MITTELPUNKT.
STETIGKEIT UND DIFLERENZIERBARKEIT 246 87. DIE TAYLORSCHEN REIHEN 249
88. DER ABELSCHE GRENZWERTSATZ 250 89. DAS RECHNEN MIT POTENZREIHEN *
253 90. EINSETZEN EINER POTENZREIHE IN EINE ANDERE 256 91. BEMERKUNGEN
UND BEISPIELE ' 259 92. DIVISION DURCH EINE POTENZREIHE 261 93. DIE
BERNOUILLISCHEN ZAHLEN 264 94. UEBUNGSAUFGABEN 266 FUNKTIONENFOLGEN.
REIHEN MIT VERAENDERLICHEN GLIEDERN 95. ERKLAERUNGEN 266 96. GLEICHMAESSIGE
UND UNGLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 269 97. GLIEDWEISE GRENZUEBERGAENGE 273 98.
KRITERIEN FUER GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 277 99. ANWENDUNGEN UND BEISPIELE
, 279 100. BEISPIEL EINER DURCHWEG STETIGEN, NIRGENDS DIFFERENZIERBAREN
FUNKTION . . . 280 UNENDLICHE PRODUKTE 101. UNENDLICHE PRODUKTE 283 102.
UNENDLICHE PRODUKTE MIT POSITIVEN GLIEDERN 285 103. PRODUKTE MIT
BELIEBIGEN GLIEDERN. ABSOLUTE KONVERGENZ 287 104. NICHT-ABSOLUTE
KONVERGENZ 289 FUENFTER ABSCHNITT GRENZWERTE UND STETIGKEIT DER
FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN PUNKTMENGEN IN MEHRDIMENSIONALEN
RAEUMEN 105. MEHRDIMENSIONALE RAEUME 291 106. ABSTAND.
DREIECKSUNGLEICHUNG. INTERVALLE. KUGELN. UMGEBUNGEN 293 107. GERADEN.
POLYGONZUEGE. KURVEN. VEKTOREN 296 108. KOORDINATENTRANSFORMATION 298
109. PUNKTMENGEN IN W-DIMENSIONALEN RAEUMEN : 300 NO. HAEUFUNGSPUNKTE 301
IN. PUNKTFOLGEN. KONVERGENZ 303 H2. WEITERE ERKLAERUNGEN UND SAETZE 304
113. GEBIETE, KONTINUA 305 FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 114.
FESTE UND VERAENDERLICHE STELLEN. FUNKTIONEN 307 115. GEOMETRISCHE
DARSTELLUNG EINER FUNKTION VON MEHREREN VERAENDERLICHEN . . 309 116.
GRENZWERTE 311 117. STETIGKEIT 3 " X INHALTSVERZEICHNIS NR. SEIT 118.
STETIGKEIT EINER MITTELBAREN FUNKTION 315 119. SAETZE UEBER FUNKTIONEN,
DIE IN EINEM ABGESCHLOSSENEN BEREICHE STETIG SIND. . 318 SECHSTER
ABSCHNITT AUSDEHNUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG AUF FUNKTIONEN VON
MEHREREN VERAENDERLICHEN PARTIELLE ABLEITUNGEN 120. PARTIELLE ABLEITUNGEN
ERSTER ORDNUNG 321 121. PARTIELLE ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG . 326 122.
HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DIE GUELTIGKEIT DER GLEICHUNG F XV = F BX *
* * 329 123. UNABHAENGIGKEIT PARTIELLER ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG VON
DER REIHENFOLGE DER DIFFERENTIATIONEN 334 124. VOLLSTAENDIGE
DIFFERENZIERBARKEIT UND VOLLSTAENDIGE DIFFERENTIALE . . . . * . 335 125.
RICHTUNGSABLEITUNG. GRADIENT 342 126. AUSDEHNUNG DER REGEL FUER DIE
DIFFERENTIATION EINER MITTELBAREN FUNKTION. . 343 127. AUSDEHNUNG DES
MITTELWERTSATZES 348 128. AUSDEHNUNG DES TAYLORSCHEN SATZES 350 129.
HARMONISCHE FUNKTIONEN 353 SIEBENTER ABSCHNITT UNENTWICKELTE FUNKTIONEN
MINIMA UND MAXIMA DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN
UNENTWICKELTE FUNKTIONEN 130. GLEICHUNGEN ZWISCHEN MEHREREN
VERAENDERLICHEN 358 131. UNENTWICKELTE ODER IMPLIZITE FUNKTIONEN 359 132.
HOEHERE ABLEITUNGEN EINER UNENTWICKELTEN FUNKTION . . . 367 133.
UNENTWICKELTE FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 370 134. SYSTEME
UNENTWICKELTER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN . . . . 374 135.
ABBILDUNG EBENER BEREICHE 378 136. INVERSE ABBILDUNGEN 382 MINIMA UND
MAXIMA DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 137. MINIMA UND MAXIMA
DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN . . . . 386 138. BEISPIELE
392 139. MINIMA UND MAXIMA MIT NEBENBEDINGUNGEN 394 ACHTER ABSCHNITT DIE
BEGRIFFE KURVE UND FLAECHE 140. NOTWENDIGKEIT EINER GENAUEN ERKLAERUNG 398
141. STETIGE KURVEN 398 142. BEISPIELE 400 XI INHALTSVERZEICHNIS * I NR:
,' SEITE 143. BEISPIEL EINER PEANOKURVE 406 144. JORDANSCHE KURVENSTUECKE
410 145. DIE V. KOCHSCHE KURVE 412 146. REKTIFIZIERBARE KURVEN. WEGE 415
147. GLATTE KURVEN 416 148. STETIG GEKRUEMMTE UND ANALYTISCHE
KURVENSTUECKE 417 149. PARAMETERDARSTELLUNG EINES KURVENSTUECKS 418 150.
DARSTELLUNG EINES EBENEN KURVENSTUECKS DURCH EINE GLEICHUNG. IMPLIZITE
UND EXPLIZITE DARSTELLUNG . . . : 420 151. DARSTELLUNG EINES RAEUMLICHEN
KURVENS'TUECKS DURCH ZWEI GLEICHUNGEN . . . . 424 152. DARSTELLUNG EINES
KURVENSTUECKS IN POLARKOORDINATEN 425 153. DER BEGRIFF FLAECHE 426 154.
DARSTELLUNG EINES FLAECHENSTUECKS DURCH EINE EINZIGE GLEICHUNG 430 NEUNTER
ABSCHNITT KURVEN UND FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG KURVEN ZWEITER ORDNUNG 155.
GLEICHWERTIGKEIT ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN 433 156. PARABEL, ELLIPSE,
HYPERBEL. . 434 157. AUSARTUNGEN . 444 158. ZURUECKFUEHRUNG DER GLEICHUNG
ZWEITEN GRADES AUF MOEGLICHST EINFACHE FORMEN 444 159. ZUSAMMENFASSUNG '
. . . . 450 FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 160. DIE HAUPTACHSENTRANSFORMATION »
457 161. UEBERSICHT UEBER DIE FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 461 ZEHNTER
ABSCHNITT ELEMENTE DER DIFFERENTIALGEOMETRIE TANGENTEN UND NORMALEN 162.
TANGENTE, NORMALE UND NORMALEBENE 471 163. GLEICHUNGEN VON TANGENTE,
NORMALE UND NORMALEBENE 473 164. RICHTUNGSKOSINUS DER TANGENTE EINER
EBENEN KURVE . 475 165. RICHTUNGSKOSINUS DER TANGENTE EINER RAEUMLICHEN
KURVE 478 166. BEISPIELE UND UEBUNGSAUFGABEN 480 167. TANGENTENEBENE
EINES FLAECHENSTUECKS 487 KRUEMMUNG EBENER KURVENSTUECKE 168.
KRUEMMUNGSMITTELPUNKT ALS GRENZLAGE DES SCHNITTPUNKTES ZWEIER NORMALEN
491 169. KRUEMMUNGSKREIS ALS GRENZLAGE EINES KREISES DURCH DREI PUNKTE .
. . . . 495 170. KRUEMMUNG EINES DURCH EINE EINZIGE GLEICHUNG GEGEBENEN
KURVENSTUECKS . . 499 171. ART DER BERUEHRUNG VON KURVE UND KRUEMMUNGSKREIS
, . . . . 501 172. EVOLUTE 503 173. BEISPIELE UND UEBUNGSAUFGABEN 506 XII
FFPT ' INHALTSVERZEICHNIS EINHUELLENDE EBENER KURVENSCHAREN NR. , SEITE ]
174. BEISPIELE 513 175. EINHUELLENDE EINER EINFACH-UNENDLICHEN EBENEN
KURVENSCHAR 519 176. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DAS VORHANDENSEIN
EINER EINHUELLENDEN . . . 519 177. SCHNITTPUNKTE BENACHBARTER KURVEN
EINER SCHAR 525 ELFTER ABSCHNITT ZAHLENFOLGEN MIT KOMPLEXEN GLIEDERN UND
FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 178. VORBEMERKUNGEN 529
ZAHLENFOLGEN UND UNENDLICHE REIHEN MIT KOMPLEXEN GLIEDERN 179.
ZAHLENFOLGEN MIT KOMPLEXEN GLIEDERN 530 180. PUNKTMENGEN IN DER EBENE
DER KOMPLEXEN ZAHLEN. GEBIETE UND WEGE . . 534 181. UNENDLICHE REIHEN
UND PRODUKTE MIT KOMPLEXEN GLIEDERN 536 182. POTENZREIHEN,
KONVERGENZKREIS * 539 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 183.
FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 539 184. GRENZWERTE VON
FUNKTIONEN 541 185. STETIGKEIT 543 186. DURCH POTENZREIHEN DARGESTELLTE
FUNKTIONEN 543 187. REIHEN MIT VERAENDERLICHEN GLIEDERN
(FUNKTIONENFOLGEN) 544 DIE ELEMENTAREN ANALYTISCHEN FUNKTIONEN 188.
POLYNOME. FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 545 189. PRODUKTDARSTELLUNG DER
GANZEN RATIONALEN FUNKTIONEN 550 190. RATIONALE FUNKTIONEN.
TEILBRUCHZERLEGUNG 553 191. DIE EXPONENTIALFUNKTION 557 192. DIE
TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 560 193. DIE HYPERBELFUNKTIONEN *. 565 194.
DIE LOGARITHMUSFUNKTION . . .' .* 566 195. DIE ALLGEMEINE POTENZ 568
196. DIE ZYKLOMETRISCHEN UND DIE AREA-FUNKTIONEN 571 ZWOELFTER ABSCHNITT
ANALYTISCHE FUNKTIONEN UND KONFORME ABBILDUNG GRUNDREGELN DER
DIFFERENTIALRECHNUNG FUER FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 197.
BEGRIFF DER DIFFERENZIERBARKEIT. ANALYTISCHE FUNKTIONEN 574 198. DIE
CAUCHY-RIEMANNSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 577 199. DIE LAPLACESCHE
DIFFERENTIALGLEICHUNG 578 200. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DIE
DIFFERENZIERBARKEIT 580 XIII INHALTSVERZEICHNIS NR. . STILE 201.
GRUNDREGELN DER FLFFERENTIALRECHNUNG 581 202. DIFFERENTIATION INVERSER
FUNKTIONEN 583 203. DIFFERENTIATION DES LOGARITHMUS, DER ZYKLOMCTRISCHEN
UND DER AREA-FUNK- TIONEN 585 KONFORME ABBILDUNG 204. ABBILDUNG DURCH
REGULAERE FUNKTIONEN. KONFORME ABBILDUNG 588 205. BEISPIELE 591 206.
ABBILDUNG DURCH GANZE LINEARE FUNKTIONEN 597 207. DIE ABBILDUNG DURCH W
= \JZ. REZIPROKE RADIEN 599 208. DER PUNKT 00 (UNENDLICH) 603 209.
SPIEGELUNG AN EINEM BELIEBIGEN KREISE 604 210. REZIPROKE RADIEN IM RAEUME
605 2TI. STEREOGRAPHISCHE PROJEKTION. DIE RIEMANNSCHE ZAHLENKUGEL 608
212. ABBILDUNG DURCH BELIEBIGE LINEARE FUNKTIONEN. FIXPUNKTE.
DOPPELVERHAELTNISSE 611 NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS ZUM ZWEITEN BANDE 6I*
MATHEMATISCHE ZEICHEN TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN
SINUS KOSINUS TANGENS KOTANGENS ARKUSSINUS (HAUPTWERT) ARKUSKOSINUS
(HAUPTWERT) ARKUSTANGENS (HAUPTWERT) ARKUSKOTANGENS (HAUPTWERT) SINUS
HYPERBOLICUS KOSINUS HYPERBOLICUS TANGENS HYPERBOLICUS KOTANGENS
HYPERBOLICUS AREA-SINUS HYPERBOLICUS AREA-COSINUS HYPERBOLICUS
AREA-TANGE.NS HYPERBOLICUS AREA-COTANGENS HYPETBOLICUS * IN KLAMMERN
ABKUERZUNG NACH TGL. SIN COS TG CTG ARESIN ARECOS ARCTG ARECTG @IN OJ 29
TG 9TT IN 2IROF TG %I TG (SIN)* (COS) (TAN) (COT) (ARESIN)
(ARECOS) (ARCTAN) (ARCCOT) (SINH) (COSH) (TANH) (COTH) (ARSINH) (ARCOSH)
(ARTANH) (ARCOTH) XIV |
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