Mathematik für Chemiker:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Undetermined |
| Veröffentlicht: |
Weinheim/Bergstr.
Verl. Chemie
1974
|
| Ausgabe: | 2., neubearb. Aufl. |
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Vorwort zur ersten Auflage XVI
Vorwort zur zweiten Auflage XVIII
I. Allgemeine Grundlagen
A. Was ist Mathematik? = 1
B. Die Sprache der Mathematik 3
C. Die verschiedenen Arten des mathematischen Beweises 5
D. Deduktion, Induktion und Intuition in der Mathematik 6
II. Einführung der Zahlen
A. Einige Betrachtungen aus der Mengenlehre 7
1. Begriff der Menge und Operationen mit verschiedenen Mengen 7
2. Relationen und Operationen innerhalb einer Menge 7
B. Natürliche Zahlen 10
1. Definition und Darstellung 10
2. Das Rechnen mit den natürlichen Zahlen 11
3. Zahlentheorie 13
C. Negative Zahlen 14
D. Brüche 15
E. Irrationale Zahlen 17
F. Komplexe Zahlen 18
G. Einige abgeleitete Rechenregeln 21
1. Das Rechnen mit Summen- und Produktzeichen 21
2. Das Rechnen mit Ungleichungen 23
III. Kombinatorik
A. Permutationen 27
B. Variationen 29
C. Kombinationen 31
D. Binomischer Lehrsatz 33
IV. Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungen
A. Matrizen 39
B. Determinanten 42
1. Definition , 42
2. Verfahren zur Berechnung von Determinanten niedriger Ordnung 43
3. Laplacescher Entwicklungssatz 44
4. Das Rechnen mit Determinanten 45
5. Verfahren zur Berechnung von Determinanten beliebiger Ordnung .... 47
6. Unterdeterminanten und Rang einer Matrix 48
7. Lineare Abhängigkeit 50
C. Lineare Gleichungen 52
1. Einleitung 52
2. Inhomogene Gleichungssysteme 53
VI Inhaltsverzeichnis
a) System gleich vieler Gleichungen und Unbekannter mit nicht ver¬
schwindender Koeffizientendeterminante 53
a) Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten S. 53; ß) n Gleichungen
mit n Unbekannten S. 55
b) Allgemeines inhomogenes Gleichungssystem 58
a) Bedingungen für die Lösbarkeit S. 58; ß) Verfahren zum Auffinden
der Lösungen S. 61
3. Homogene Gleichungssysteme 62
a) Diskussion der Lösbarkeit 62
b) Sätze über Lösungen. Fundamentales Lösungssystem 64
c) Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems 65
4. Zusammenhang mit Vektorrechnung und analytischer Geometrie 66
V. Gleichungen höheren Grades
A. Gleichungen mit einer Unbekannten 67
1. Übersicht über die Lösungsmethoden 67
2. Allgemeine Betrachtungen über die Existenz und Eigenschaften der
Lösungen 68
3. Einige Betrachtungen über Polynome 71
B. Gleichungen mit mehreren Unbekannten 71
C. Algebraische und transzendente Zahlen. Konstruktion von Zahlen auf der
Zahlengeraden 72
VI. Unendliche Zahlenfolgen und Reihen
A. Unendliche Zahlenfolgen 75
1. Definition, Bezeichnungen und Beispiele 75
2. Häufungswerte, Grenzwert, Konvergenz und Divergenz 76
3. Konvergenzkriterien 77
4. Das Rechnen mit Grenzwerten 80
B. Unendliche Reihen 82
1. Definition, Bezeichnungen und Beispiele . 82
2. Reihenrest und Güte der Konvergenz 84
3. Konvergenzkriterien 85
4. Das Rechnen mit unendlichen Reihen 89
5. Potenzreihen 90
C. Definition von Zahlen durch Reihen 91
VII. Funktionen
A. Erläuterung des Funktionsbegriffes 95
B. Funktionen einer Veränderlichen 96
1. Darstellung 96
2. Interpolation und Extrapolation 97 :
3. Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion 98
Inhaltsverzeichnis VII
4. Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen 100
5. Diskussion einiger spezieller Funktionen 102
a) Algebraische Funktionen 102
b) Exponentialfunktionen 104
c) Logarithmusfunktionen 106
d) Kreisfunktionen 108
e) Zyklometrische Funktionen 111
f) Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen 112
g) Einige weitere spezielle Funktionen 113
6. Einführung des Begriffs der Stetigkeit 115
a) Allgemeine Definition der Stetigkeit 115
b) Gleichmäßige Stetigkeit 117
c) Grenzwerte, rechts- und linksseitige Stetigkeit 117
7. Zuordnung von Funktionswerten mit Hilfe von Grenzwerten 118
8. Sätze über stetige Funktionen 120
9. Definition von Funktionen durch unendliche Reihen 120
C. Funktionen mehrerer Veränderlicher 122
1. Darstellung 122
2. Einige Betrachtungen über Definitionsbereiche 126
3. Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit 127
4. Quadratische Formen 127
VIII. Vektoralgebra
A. Definition des Skalars und des Vektors 131
B. Algebraische Operationen mit Vektoren • I32
1. Summe von Vektoren 132
2. Differenz von Vektoren 134
3. Zerlegung eines Vektors 134
4. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 135
5. Einheitsvektoren und Darstellung eines Vektors durch die Summe der
aus den Komponenten gebildeten Vektoren 135
6. Skalares Produkt 136
7. Vektorielles Produkt 138
8. Mehrfache Produkte 141
C. Lineare Abhängigkeit und Darstellung in verschiedenen Räumen 143
1. Lineare Abhängigkeit von Vektoren 143
2. Darstellung eines Vektors mit Hilfe eines beliebigen Dreibeins 145
a) Allgemeines Dreibein 145
b) Orthonormiertes Dreibein 149
c) Transformationsgleichungen in Matrixform 151
d) Kovariante und kontravariante Komponenten 152
e) Betrag und skalares Produkt im allgemeinen Fall 153
D. Der n-dimensionale Vektorraum 154
VIII Inhaltsverzeichnis
IX. Analytische Geometrie
A. Aufgaben der analytischen Geometrie 159
B. Beispiele für die analytische Darstellung von Kurven und Flächen 159
1. Darstellung durch Gleichungen in x, y und z 159
a) Ebenes Koordinatensystem 159
b) Räumliches Koordinatensystem 161
2. Parameterdarstellung 167
C. Abbildungen 170
1. Begriff der Abbildung 170
2. Diskussion einiger spezieller Abbildungen 172
a) Parallelverschiebung 172
b) Affine Abbildung mit festliegendem Koordinatenursprung 173
a) Eigenschaften der Abbildung S. 173; ß) Aufeinanderfolge mehrerer
Abbildungen S. 175; y) Umkehrung der Abbildung S. 175; 8) Eigen¬
werte und Eigenvektoren S. 176
c) Drehung und Spiegelung als Sonderfall affiner Abbildungen 180
a) Eigenschaften der Abbildungsmatrizen S. 180; ß) Aufsuchen der
orthogonalen Matrizen zweiter Ordnung S. 182
d) Nichtlineare Abbildungen 185
3. Systematische Unterteilung der Abbildungen; Erlanger Programm 187
D. Koordinatentransformationen 189
1. Allgemeines 189
2. Diskussion einiger spezieller Transformationen 190
a) Affine Transformationen mit festbleibendem Koordinatenursprung . 190
b) Drehung des Koordinatensystems als Sonderfall der affinen Trans¬
formation 193
c) Transformation auf krummlinige Koordinaten 195
3. Änderung einer Abbildungsmatrix bei der Koordinatentransformation 198
a) Allgemeine Transformation. Invarianz der Spur 198
b) Diagonalisierung von Matrizen 200
E. Diskussion der allgemeinen Gleichung zweiten Grades. Hauptachsentrans¬
formation 203
X. Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer Veränderlichen
A. Differentiation von Funktionen 209
1. Die erste Ableitung einer Funktion 209
2. Das Rechnen mit Differentialen 211
3. Differentiation einiger spezieller Funktionen 212
4. Einige allgemeine Regeln für das Differenzieren 214
5. Differentiation weiterer spezieller Funktionen 218
6. Numerisches Differenzieren 222
7. Höhere Ableitungen 223
8. Mittelwertsatz der Differentialrechnung 224
Inhaltsverzeichnis IX
9. Anwendungen des Differenzierens 225
a) Geschwindigkeit 225
b) Näherungsweise Berechnung von Funktionsänderungen 227
B. Integration von Funktionen 228
1. Das bestimmte Integral 228
a) Begriff des bestimmten Integrals 228
b) Beispiele zur Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe der Summen¬
formel 231
c) Einige Sätze über bestimmte Integrale 234
d) Integralabschätzung und Mittelwertsatz der Integralrechnung 234
2. Das unbestimmte Integral 237
a) Definition der Stammfunktion 237
b) Definition des unbestimmten Integrals 238
3. Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe der Stammfunktion ... 239
4. Verfahren zur Integration 241
a) Allgemeines 241
b) Zerlegung des Integrals in eine Summe von Integralen 241
c) Abspaltung eines konstanten Faktors 241
d) Substitution einer neuen Variablen 242
e) Partielle Integration 244
f) Rekursion 245
g) Partialbruchzerlegung 245
h) Definition von Funktionen durch Integrale 248
5. Uneigentliche Integrale 249
6. Anwendungen des Integrierens 252
a) Flächenberechnungen 252
b) Berechnung der Arbeit 253
c) Angenäherte Berechnung von Summen durch Integration 255
7. Stieltjessches Integral und Lebesguesches Integral 256
C. Integration und Differentiation unendlicher Folgen und Reihen von Funktionen 258
D. Taylorsche Reihe 261
1. Aufsuchen der Taylorschen Reihe 261
2. Ableitung einer Formel zur Abschätzung des Restgliedes 263
3. Beispiele für Reihenentwicklungen 264
E. Unbestimmte Ausdrücke; Ordnung von Null- und Unendlichkeitsstellen .... 267
1. Die Ausdrücke 0/0 und x/x 267
2. Weitere unbestimmte Ausdrücke 270
3. Ordnung von Nullstellen und Unendlichkeitsstellen 2 ?1
F. Kurvendiskussion; Maxima und Minima 273
1. Charakteristische Kurvenpunkte 273
2. Bestimmung von Nullstellen 274
3. Bestimmung von Maxima und Minima 275
4. Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten 276
5. Durchführung der Kurvendiskussion 277
6. Andere Extremwertaufgaben 279
X Inhaltsverzeichnis
XI. Differential- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
A. Differentiation 281
1. Begriff der partiellen Ableitung 281
2. Höhere Ableitungen; Satz von Schwarz 283
3. Allgemeine Betrachtungen über die partiellen Ableitungen sowie über
die Existenz einer Tangentialebene 284
4. Das totale Differential 286
5. Differentiation mittelbarer Funktionen 288
6. Differentiation impliziter Funktionen 290
7. Systeme von Funktionen und deren Umkehrung 293
a) Der Begriff der Funktionaldeterminante 293
b) Existenz und Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion 294
8. Schreibweise des partiellen Differentialquotienten in der Thermodynamik
B. Einfaches Integral über eine Funktion mehrerer Veränderlicher 299
1. Eigenschaften des Integrals 299
2. Differentiation des Integrals 299
3. Integration des Integrals 301
4. Besonderheiten bei uneigentlichen Integralen 303
5. Anwendung der Ergebnisse zur Berechnung bestimmter Integrale ..... 304
C. Bereichsintegrale 306
1. Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals 306
2. Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals 307
3. Integrale über Bereiche von mehr als zwei Dimensionen 311
4. Transformation der Variablen als Hilfe zur Integralberechnung 312
5. Anwendungen 315
a) Berechnung von Volumina 315
b) Berechnung von Oberflächen 319
+ QO
c) Berechnung des Integrals j e~°™ dx 320
D. Kurvenintegrale 322
1. Definition und Berechnung 322
2. Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals 326
3. Vollständiges und unvollständiges Differential 330
4. Gaußscher Integralsatz und Greensche Integralformeln 331
E. Flächenintegrale 334
F. Mittelwertsatz und Taylorsche Reihe 337
G. Maxima und Minima 338
1. Charakteristische Flächenpunkte 338
2. Bestimmung von Maxima, Minima und Sattelpunkten 340
3. Bestimmung von Maxima und Minima unter Nebenbedingungen 342
XII. Vektoranalysis und Tensorrechnung
A. Vektoranalysis 349
1. Vektorfelder und Skalarfelder 349
Inhaltsverzeichnis XI
2. Der Gradient 350
3. Konservative Vektorfelder 353
4. Die Divergenz und der Satz von Gauß 355
5. Die Rotation und der Satz von Stokes 358
6. Nablaoperator und Laplaceoperator 359
7. Einige Rechenregeln 360
8. Krummlinige Koordinaten 360
B. Tensorrechnung 363
1. Einfaches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe 363
2. Allgemeine Definition des Tensors zweiter Stufe 367
3. Tensorellipsoid 367
XIII. Funktionentheorie
A. Aufgaben der Funktionentheorie 371
B. Definition und Darstellung von Funktionen einer komplexen Variablen 371
1. Folgen und Reihen von komplexen Zahlen 371
2. Definition von Funktionen 372
3. Einige Rechenregeln für komplexe Zahlen 376
4. Stetigkeit von Funktionen 378
5. Mehrdeutige Funktionen; Riemannsche Fläche 379
C. Differentiation und Integration von Funktionen komplexer Variabler 381
1. Differentiation; Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 381
2. Singuläre Stellen 384
3. Integration 384
4. Wegunabhängigkeit des Integrals 386
5. Das Residuum 388
6. Cauchysche Integralformel 391
D. Reihenentwicklungen von Funktionen einer komplexen Variablen 393
1. Allgemeines über Reihen und Funktionen 393
2. Taylorsche Reihe 394
3. Laurent-Reihe 396
4. Zur Berechnung des Residuums 398
E. Weitere funktionentheoretische Betrachtungen 399
1. Der Identitätssatz für analytische Funktionen 399
2. Analytische Fortsetzung 400
3. Einteilung der Funktionen 401
XIV. Reihenentwicklung nach orthonormierten Funktionensystemen;
Integraltransformationen
A. Fourierreihen und Fourierintegrale 405
1. Fourierreihe einer Funktion von einer Variablen in reeller Schreibweise 405
a) Angabe der Formeln und Beispiele 405
b) Beweis 411
XII Inhaltsverzeichnis
2. Fourierreihe einer Funktion von einer Variablen in komplexer Schreib¬
weise 413
3. Fourierreihe einer Funktion von mehreren Variablen 415
4. Fourierintegral 416
5. Die Deltafunktion 420
B. Darstellung einer Funktion durch eine Reihe aus orthonormierten Funktionen 422
1. Problemstellung; orthonormierte Funktionensysteme 422
2. Reihenentwicklung 424
C. Darstellung einer Funktion durch ein Integral (Integraltransformation) 428
1. Allgemeine Betrachtungen 428
2. Fouriertransformation 429
3. Laplacetransformation 432
D. Operatoren 434
E. Funktionen als Vektoren in unendlich-dimensionalen Räumen 435
1. Deutung einer Funktion f(x) als Vektor 435
2. Transformation einer Funktion in verschiedene Räume. Hilbertraum .. 437
3. Diagonalisierung von Abbildungsmatrizen bzw. Operatoren 442
4. Vereinheitlichung der Schreibweise mit Hilfe von Diracschen bra- und
ket-Symbolen 444
XV. Differentialgleichungen
A. Allgemeine Definitionen und Beispiele 449
1. Gewöhnliche Differentialgleichungen 449
2. Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen 452
3. Partielle Differentialgleichungen 452
4. Aufgaben der Theorie der Differentialgleichungen 453
B. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 454
1. Aussagen über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen 454
a) Gleichungen, die sich in eindeutiger Weise nach y auflösen lassen .. 454
b) Gleichungen, die sich nicht eindeutig nach y auflösen lassen 457
2. Verfahren zur Lösung der linearen Differentialgleichungen 459
a) Allgemeine Betrachtungen 459
b) Lösung der homogenen Gleichung 459
c) Lösung der inhomogenen Gleichung 461
3. Verfahren zur Lösung eines Systems von linearen Differentialgleichungen 463
a) Allgemeine Betrachtungen 463
b) Lösung homogener Systeme 465
a) Untersuchungen über die Lösungsmannigfaltigkeit S. 441; ß) Auf- 465
suchen des allgemeinen Integrals S. 443 467
c) Lösung inhomogener Systeme 471
4. Verfahren zur Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen 472
C. Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 474
1. Allgemeines über die Existenz und Mannigfaltigkeit der Lösungen 474
Inhaltsverzeichnis XIII
2. Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 476
a) Allgemeines 476
b) Differentialgleichung der ungedämpften freien Schwingungen 476
a) Ansatz einer trigonometrischen Funktion S. 476; ß) Ansatz einer 476
reellen Exponentialfunktion S. 480; y) Ansatz einer komplexen 480
Funktion S. 481 481
c) Differentialgleichung der gedämpften freien Schwingungen 482
d) Differentialgleichung erzwungener Schwingungen 484
3. System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten 487
4. Lineare Differentialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten 492
a) Allgemeines über das Lösen von Differentialgleichungen durch Reihen 492
b) Aufsuchen der Lösungen einiger spezieller Differentialgleichungen .. 493
oc) Legendresche Differentialgleichung S. 466; ß) Besselsche Differen- 493
tialgleichung S. 468; y) Einige weitere Differentialgleichungen S. 497 495
D. Randwert- und Eigenwertprobleme 498
! 1. Randwertaufgaben 498
2. Eigenwerte und Eigenfunktionen 501
3. Anwendung der Operatorschreibweise 503
E. Partielle Differentialgleichungen 504
1. Allgemeines 504
2. Aufsuchen der Lösung mit Hilfe des Bernoullischen Produktansatzes . 506
a) Grundsätzliche Betrachtungen zum Lösungsverfahren 506
b) Eindimensionale Wellengleichung (Gleichung der schwingenden Saite) 507
a) Ableitung der partiellen Differentialgleichung S. 507; ß) Aufsuchen
einer speziellen Lösung bei vorgegebenen Anfangs- und Randbedin¬
gungen S. 508; y) Allgemeine Betrachtungen über die Lösungen S. 511
c) Die Gleichung der schwingenden Membran 514
d) Differentialgleichung der Diffusion und Wärmeleitung 518
a) Ableitung und Diskussion der Gleichung S. 490; ß) Diffusion in einem 518
Stab endlicher Länge S. 491; y) Diffusion in einem unendlich langen 519
Stab S. 493 521
! 3. Lösung mit Hilfe von Integraltransformationen 523
! a) Allgemeines 523
¦ b) Methode der Laplacetransformation 524
c) Methode der Fouriertransformation 527
4. Lösung mit Hilfe der Greenschen Funktion 529
a) Allgemeines 529
b) Beispiel einer gewöhnlichen Differentialgleichung 531
1 c) Beispiel einer partiellen Differentialgleichung 534
| XVI. Gruppentheorie
I A. Grundlagen 539
1. Definition der Gruppe 539
2. Konjugierte Elemente und Einteilung in Klassen 542
XIV Inhaltsverzeichnis
B. Symmetriegruppen 544
1. Symmetrieoperationen 544
2. Symmetriegruppen 545
C. Darstellungstheorie 548
1. Grundlagen der Darstellung von Gruppen 548
2. Zusammenhang zwischen verschiedenen Darstellungen 549
3. Irreduzible Darstellungen 551
4. Charaktertafeln 553
5. Darstellung im Vektorraum der Normalkoordinaten 554
a) Allgemeine Betrachtungen 554
b) Anwendung auf Normalschwingungen 557
6. Diagonalisierung von Matrizen. Symmetrische Koordinaten 561
XVII. Wahrscheinlichkeitsrechnung
A. Einleitung 567
1. Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 567
2. Einige Aussagen über zufällige Ereignisse; Ereignisraum 568
3. Zufallsgrößen 569
B. Definition und Berechnung der Wahrscheinlichkeit im Falle diskreter Zufalls¬
größen 570
1. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit 570
2. Wahrscheinlichkeit der Summe von Ereignissen 572
3. Diskussion des Falles gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse 572
4. Bedingte Wahrscheinlichkeit 574
5. Wahrscheinlichkeit des Produktes von Ereignissen 576
6. Totale Wahrscheinlichkeit 577
7. Formeln von Bayes 578
8. Zur axiomatischen Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung 578
C. Definition und Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte im Falle kontinuier¬
licher Zufallsgrößen 580
1. Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte 580
2. Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe zweier Zufallsgrößen 582
D. Kette von n Versuchen 584
1. Kette von voneinander unabhängigen Versuchen (Bernoulli-Schema) . . 584
a) Ableitung der exakten Gleichungen 584
b) Diskussion der Funktion P„(m) 585
c) Näherungsgesetze für große n 587
oc) Formulierung und Diskussion der Grenzwertsätze S. 587; ß) Beweis
der Grenzwertsätze S. 590; y) Beispiele und Anwendungen S. 592
d) Das Galtonsche Brett 594
e) Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen 594
2. Markowsche Ketten 595
a) Definition der Markowschen Kette 595
I
Inhaltsverzeichnis XV
i b) Übergangsmatrix nach m Versuchen 597
c) Grenzwert der Übergangsmatrix 599
E. Stochastische Prozesse 600
1. Definition und Einteilung der stochastischen Prozesse 600
2. Der Poisson-Prozeß 601
3. Diskrete Markowprozesse 603
4. Kontinuierliche Markowprozesse 603
F. Verteilungsfunktionen und Parameter einer Verteilung 604
1. Definition der Verteilungsfunktion 604
2. Die Parameter einer Verteilungsfunktion 606
a) Eindimensionale Zufallsgröße 606
b) Mehrdimensionale Zufallsgröße 609
G. Aufgaben der Statistik 609
XVIII. Fehler- und Ausgleichsrechnung
A. Zufällige und systematische Fehler 611
B. Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen 611
1. Verteilung der Meßwerte und Mittelwert 611
2. Mittlerer Fehler der Einzelmessungen 613
3. Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung 614
4. Praktische Durchführung der Rechnungen 615
, C. Fehlerfortpflanzung 617
1. Fortpflanzung des Fehlers einer Einzelmessung sowie des maximalen
Fehlers 617
2. Fortpflanzung des mittleren Fehlers 619
3. Mittlerer Fehler des Mittelwertes 621
D. Ausgleichsrechnung bei zwei voneinander abhängigen Meßgrößen 622
Antworten und Lösungen 625
Weiterführende Literatur 653
Register 655
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