Vorlesungen über Zahlentheorie: 1. Erste bis dreiunddreissigste Vorlesung
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Berlin [u.a.]
Springer
1901
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis des ersten Bandes.
Einleitung..........................................................
Erste Vorlesung.....................................................
Einleitung. Alter, Begründung und Abgrenzung der Arithmetik. —
Geschichte der Arithmetik. Die orientalia eben Völker. Die Arith-
metik bei den Griechen. — Euklid. Die Elemente. Vollkommene
Zahlen. Anzahl aller Primzahlen. Jede arithmetische Reihe ent-
hält unendlich viele Primzahlen. — Diophant. Theon. Hypatia. —
Die Araber. Die arabischen Ziffern.
N
Zweite Vorlesung......................................................
Niedergang der Wissenschaften im Mittelalter. — Die Arithmetik im
siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert. — Fermat und einige von
seinen Sätzen. — Beweis des sog. kleinen Fermatschen Satzes. — Die
Polygonalzahlen. — Der sog. grofse Fermatsehe Satz: Die Gleichung
xnyn = zn ist nur für n =- 2 in ganzen Zahlen lösbar. — Euler;
sein Leben und einige seiner arithmetischen Arbeiten. — Die voll-
kommenen und die befreundeten Zahlen. — Diophantisehe Probleme.
— Eulers Ijösung des Fermatschen Problemes in den Fällen n — 2
und n = 4. — Die Pellsche Gleichung. — Das Reciprocitätsgesetz.
•— Legendrc und sein Essai sur la theorie des nombres.
Dritte Vorlesung....................................................
Die beiden Hauptrichtungen der Arithmetik im neunzehnten Jahr-
hundert. — Gauss und der systematische Aufbau der Arithmetik in
den disquisitiones arilkmcticae. — Inhaltsübersicht. — Das Problem
der Kreisteilnng. — Dirichlot, Jaeobi, Kummer. — Theorie der alge-
braischen Zahlen; arithmetische Behandlung dieses Problemes. —
Dirichlet und die Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlen-
theorie. — Beispiele: Die Binomial- und Polynomialkoefücicnten sind
ganze Zahlen. — Einige Untersuchungen Eulers aus diesem Gebiete.
Erster Teil. Teilbarkeit und Kongruenz iin Gebiete der Zahlen
Vierte Vorlesung....................................................
Systematische Arithmetik. — Der Zahlbegriff. — Die Ordnungszahlen.
— Die Kardinalzahlen. — Der Begriff der Anzahl. — Addition. —
Vertauschbarkeit der Summanden. — Die Multiplikation. — Ver-
tauschbarkeit der Faktoren eines Produktes.
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57—64
XU Inhaltsverzeichnis des ersten Bandes.
Füni te Vorlesung.................................................
Die Dekomposition der Zahlen. — Bestimmung der Teiler einer Zahl.
— Die Anzahl der auszuführenden Operationen ist endlich. — Auf-
stellung aller Teiler einer Zahl. — Die Primzahlen. — Elementare
Eigenschaften der Primzahlen. — Zerlegung einer Zahl in ihre Prim-
faktoren. — Beweis der Eindeutigkeit jener Zerlegung.
Sechste Vorlesung.................................................
Darstellung der ganzen Zahlen durch ihre Exponentensysteme. —
Die Teilbarkeit einer Zahl durch eine andere. — Die gemeinsamen
Teiler zweier Zahlen und ihr grülster gemeinsamer Teiler. — Teiler-
fremde Zahlen. — Die gemeinsamen Multipla zweier Zahlen und ihr
kleinstes gemeinsames Vielfaches. — Ausdehnung auf beliebig viele
Zahlen. — Hauptsätze über die Teilbarkeit der ganzen Zahlen. —
Die Summe der wteD Potenzen aller Divisoren einer Zahl.
Siebente Vorlesung................................................
Die Kongruenz der Zahlen. — Kongruenz und Äquivalenz. — Die
Grundregeln für das Rechnen mit Kongruenzen. — Kongruenzen für
einen Primzahlmodul. — Anwendungen.
Achte Vorlesung...................................................
Die höheren Kongruenzen..^ Aufsuchung ihrer Wurzeln. — Haupt-
sätze über die höheren Kongruenzen. — Anzahl der Wurzeln einer
Kongruenz. — Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Anwen-
dungen: Der Wilsonsche und der Eermatsche Satz.
Neunte Vorlesung..................................................
Lineare Kongruenzen. Bedingung für ihre Auflösbarkeit. Anzahl
ihrer Wurzeln. — Auflösung der linearen Kongruenzen; erste Me-
thode: Reduktion auf lineare Kongruenzen für einen Primzahlmodul.
— Die Einheiten modulo p. ·— Beweis des Wilsonschen Satzes. —
Zweite Auflösungsmethode mit Hülfe der Theorie der Kettenbrüche.
Zehnte Vorlesung..................................................
Anwendung der Theorie der linearen Kongruenzen. — Die Einheiten
und die Teiler der Null für einen zusammengesetzten Modul m. —
Die Anzahl rp im) der Einheiten modulo m. — Die Verallgemeinerung
des Fermatschen Satzes. — Bestimmung der Zahl tphn). — Die Ver-
allgemeinerung des Wilsonschen Satzes.
Elfte Vorlesung...................................................
Die Invarianten der Kongruenz. —· Arithmetische und analytische
Invarianten. — Jede Invariante der Kongruenz ist eine symmetrische
Funktion aller kongruenten Zahlen. — Arithmetische Untersuchung
der Fundamentalinvariante der Kongruenz.
Zweiter Teil. Die Rationalitätsbereiche und die Theorie der Modiü-
systeme........................................................
Zwölfte Vorlesung.................................................
Die Kongruenz nach einem Modulsystem. — Teiler eines Modul-
systems. — Äquivalente Modulsystemc. — Reduktion der Modnl-
systeme. — Theorie der ganzzahligen Formen. — Äquivalente Formen.
— Einheitsformen.
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Inhaltsverzeichnis des ersten Bandes.
Dreizehnte Vorlesung................................................
Die Rationalitätsbereiche. - Allgemeine Theorie der Modulsysteme.
— Allgemeine Theorie der Formen. — Der grölste gemeinsame Teiler
zweier Divisorensysteme. — Die Komposition der Modulsysteme. —
Anwendungen. — Die Verallgemeinerung des Fermatschen Theorcmes.
Vierzehnte Vorlesung .... ....................................
Der Rationalitätsbereich von einer Veränderlichen. — Das Eukli-
dische Verfahren znr Bestimmung des gröfsten gemeinsamen Teilers
für diesen Bereich. — Die Modulsysteme erster und zweiter Stufe.
— Beispiele. — Reine und gemischte Modul Systeme zweiter Stufe.
Fünfzehnte Vorlesung................................................
Die reinen Divisorensysteme erster Stufe oder, die ganzen ganz-
zahligen Funktionen. — Ihre Zerlegung in_ irreduktible Faktoren. —
Beweis der Eindeutigkeit dieser Zerlegung. — Hülfssätze.
Sechzehnte Vorlesung................................................
Die reinen Divisorcusysteme zweiter Stufe. — Ihre charakteristischen
Eigenschaften. — Die Anzahl der inkongruenten Gröfsen ist stets
endlich. — Die Einheiten. Verallgemeinerung des Fermatschen
Satzes. — Komplementäre Einheiten.
Siebzehnte Vorlesung............................................ . . .
Die Dekomposition der reinen Modulsysteme zweiter Stufe (՛»։, f.(x)).
— Zerlegung derselben in die Systeme (p f.ix)). — Reduktion der
einfachsten Systeme (p, f.ix))· — Reduktion der Systeme (p /՝.(x))
und (p3, f^X)). — Die reduzierte Form der Systeme zweiter Stufe.
Achtzehnte Vorlesung................................................
Erste Reduktion eines beliebigen Modulsystemes (f! f , · · · ff). —
Weitere Reduktion desselben Systemes. - - Beweis, dafs das so ge-
fundene System ein reduziertes ist.
Neunzehnte Vorlesung................................................
Die Teiler modulo p der ganzen Funktionen von x. — Der gröfste
gemeinsame Teiler modulo p. — Die Primiunktionen modulo p. —
Die Primmodulsysteme (ß, Pix)). — Ihre Analogie mit den Prim-
zahlen. —- Eindeutigkeit der Zerlegung der ganzen Funktionen in
Primfaktoren modulo p. — Zerlegung des Systemes (p, fix)). — Prim-
modulsysteme und unzerlegbare Modulsysteme. — Untersuchung des
Bereiches [_՛*] für ein Primmodulsystem. — Der Fermatscho Satz und
der Wilsonsche Satz für ein Primmodulsystem. — Zerlegung der
Funktion xv — x modulo p. — Die einfachen Modulsysteme. — Ihre
Fundamentaleigenschaften. — Dekomposition oines beliebigen Divi-
sorensystemes in einfache Systeme.
Zwanzigste Vorlesung................................................
Die Modulsysteme im Bereiche von mehreren Veränderlichen. — Die
Zerlegung der ganzen Gröfsen in ihre Primfaktoren. — Die Ratio-
nalitätsboreiche {x, y, · ■ · g ). - Der Rang oder die Stufe der Divi-
sorensysteme. — Geometrische Anwendungen. — Die unzerlegbaren
und die Primmodulsysteme. — Der Bereich {.·», y, g} und die zu-
gehörigen Primmodulsysteme. — Modulsysteme und Linearformen.
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XTV Inhaltsverzeichnis des ersten Bandes.
Dritter Teil. Anwendung der Analysis aiifProbleme der Zalilentheorie
Eiuundzwanzigstc Yorlesung.........................................
Zahlensysteme. — Neue Begründung der Fundamentaleigenschaften
der Funktion qp (w). — Beweis einer arithmetischen Identität. — Die
Zahlen e . — Die summatorischen Funktionen. — Anwendungen:
Die Fundamentaleigenschaft der Zahlen sm. —· Berechnung der Po-
tenzsummen aller inkongruenten Einheiten modulo m.
Zweiundzwanzigsto Yorlesung........................................
Analytischer Beweis deT eindeutigen Zerlegbarkeit der Zahlen in ihre
Primfaktoren. — Die Diriehletschen Reihen. — Ihre Konvergenz, —
Eine Funktion kann nur auf eine Art durch eine Dirichletsche Reihe
dargestellt werden. — Anwendungen: Analytische Begründung arith-
metischer Sätze. — Bestimmung der Anzahl und der Summe aller
Teiler einer Zahl. — Untersuchung der Punktion tp(n). — Analy-
tischer Beweis des Satzes, dafs die Anzahl aller Primzahlen unend-
lich grofs ist. — Analytischer Beweis arithmetischer Reprocitäts-
gleichungen. — Anwendungen.
Dreiundzwanzigste Vorlesung........................................
Die Kreisteilnngsfunktionen xn— 1. — Die primitiven Funktionen
i n (:r) und ihre Eigenschaften. — Die Berechnung der primitiven
Funktionen. — Die Kreisteilungsgleichungen und die Wurzeln der
Einheit. — Die primitiven Mten Einheitswurzeln. — Anwendungen:
Die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze.
Vierundzwanzigsto Vorlesung........................................
Die arithmetische Punktion (M, Ar). — Ihre genaue Berechnung.
- Anwendung: Bestimmung der Anzahl aller Primzahlen unterhalb
einer gegebenen Grenze. — Näherungsweise Berechnung der Funk-
tion (M, N). — Die arithmetische Funktion 2^ (Ä, D). — Ihr ge-
nauer Wert. — Näherungsweise Berechnung dieser Funktion. —
Anwendung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dafs zwei beliebige
Zahlen teilerfremd sind. — Der Mittelwert arithmetischer Funk-
tionen. — Berechnung des Mittelwertes mit Hülfe der Eulerschen
Summen formel. — Anwendungen. — Berechnung des Mittelwertes
mit Hülfe der Dirichletschen Reihen.
Fünfundzwanzigste Vorlesung........................................
Die arithmetischen Funktionen von Zahlensystemen und ihre Mittel-
werte. — Anwendungen: Die mittleren Werte der Funktionen q (n)
und · — Über die arithmetischen Funktionen, welche von den
n
Divisoren einer Zahl abhängen und über die Mittelwerte derselben.
— Die gröfseren und kleineren Divisoren einer Zahl.
Scehsundzwanzigste Vorlesung.......................................
Der Mittelwort für die Anzahl der Divisoren. ■— Folgerungen aus
diesem Resultate. — Die Summe der Divisoren. — Die Summe der
reziproken Teiler. — Die Summe der Logarithmen aller Teiler. —
Der Überschufs der Teiler von der Form in -f- 1 über die von der
Form in — 1 und der Mittelwert dieser Anzahl.
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242—374
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Inhaltsverzeichnis des ersten Bandes.
Vierter Teil. Allgemeine Theorie der Polen/reste und Beweis des
Satzes iiher die arithmetische Progression..........................
Sicbenundzwanzigste Vorlesung......................................
Theorie der Potenzreste für einen zusammengesetzten und für einen
Primzalilmodul. — Einteilung der Einheiten niodulo p nach dem Ex-
ponenten, zu welchem sie gehören. — Die primitiven Wurzeln. —
Theorie der Indices für einen Primzahlmodul. Jacobis „Canon
arithmetieus“. - Anwendungen: Din Auflösung linearer Kongruenzen.
— Beweis des Wilsonschen Satzes. — Auflösung der reinen Kon-
gruenzen für einen Primzahlmodul.
Achtundzwanzigstc Vorlesung........................................
Die höheren Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Die Bedin-
gung für die Existenz einer Kongruenzwurzel. — Erste Ilerleitung
der Bedingungen für die Existenz von S inkongruenten Wurzeln
einer Kongruenz. — Die Systeme oder Matrizen. — Der Rang der
Systeme. — Zweite Ilerleitung der Bedingungen für die Existenz
von s inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz. — Die recurriercnden
Reihen. — Ihre Ordnung. — Die Ordnung von ganzzahligen recur-
rierenden Reihen für einen Primzahlmodul. — Der Grad des gröfsten
gemeinsamen Teilers zweier ganzzahligen Funktionen für einen Prim-
zahlniodul.
Neunundzwmnzigste Vorlesung........................................
Einteilung der Einheiten für einen zusammengesetzten Modul nach
dem Exponenten, zu welchem sie gehören. — Existenzbeweis für
die primitiven Wurzeln in Bezug auf eine Primzahlpotenz und das
Doppelte einer solchen. — Die Einheiten modulo 2T. — Die Index-
systeme der Einheiten für zusammengesetzte Moduln. — Anwen-
dungen: Die Darstellung aller nicht äquivalenten reduzierten Brüche
mit gegebenem Kenner. Die Entwickelung rationaler Brüche nach
fallenden Potenzen einer Grundzahl. Die Anzahl der periodischen
und nichtperiodischen Glieder dieser Entwickelung. — Anwendung
auf die Theorie der Dezimalbrüche.
Dreifsigste Vorlesung . ........................................
Es giebt unendlich viele Primzahlen von der Form mh -f- r, sobald
(։«., »·) = 1 ist. — Beweis dieses Satzes für einige spezielle Fälle. —
Schärfere Formulierung der Aufgabe. — Die Charaktere einer Zahl
r modulo m. — Grundeigenschaften der Charaktere. — Der LTaupt-
charakter, die reciproken und die ambigen Charaktere.
Einunddreifsigste Vorlesung........................................
Beispiel: Der Fall m = 4. Die Anzahl der Primzahlen von der
Form An -)- 1 und An — 1 ist unendlich grofs. — Aufstellung der
Grundgleichung. — Abschätzung ihrer einzelnen Bestandteile. —
Spezialisierung der Grundglcichung für die beiden möglichen Fälle
und Beweis des Dirichletschen Satzes.
Zweiunddreifsigstc Vorlesung.......................................
Der allgemeine Satz über die Primzahlen in einer arithmetischen
Reihe. — Vereinfachung der Aufgabe. — Aufstellung der Grund-
gleichung. — Abschätzung ihrer Glieder. — Spezialisierung der
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375—496
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451—464
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XVI
Inhaltsverzeichnis des ersten Bandes.
Grundglcichung: Die dem Hauptcharakter entsprechende Gleichung.
— Die den übrigen Charakteren entsprechende Gleichung. — Be-
weis des Dirichletschen Satzes. — Folgerung: Die Primzahlen ver-
teilen sieh nahezu gleichmäfsig auf die p(t«) Reihen mx r.
Dreiunddreifsigste Vorlesung..........................................
Beweis, dafs die ( p (m) — 1) Reihen ~ VOn verscbicden
sind. — Die den ambigen Charakteren entsprechenden Reihen. —
Angabe einer unteren Grenze für ihren Zahlwert. — Die den kom-
plexen Charakteren entsprechenden Reihen. — Bestimmung einer
unteren Grenze für den absoluten Betrag derselben. — Über die An-
wendung der Dirichletsohen Methoden auf höhere Probleme der
Arithmetik. — Die linearen, die quadratischen und die allgemeinen
zerlegbaren Formen. — Die Theorie der Einheiten.
Anmerkungen zum ersten Bande
Seite
4S0 -490
497—ii09
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